第七章机械能守恒定律

第七章机械能守恒定律

第一节

功

一、功

第一节

功

一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了位移，我们就说这个力对物体做了机械功，简称功。

功是标量

单位： $\rm{J}$ （焦耳）， $1{\rm{J}} = 1{\rm{N}} \cdot {\rm{m}}$

W=Fs

W=Fs

式中， $F$ 表示物体受到的力， $s$ 表示物体在力的方向上发生的位移大小

二、功的计算

第一节

功

如图所示，用同样的力 $F$ 拉同一物体，在甲（光滑水平面）、乙（粗糙水平面）、丙（光滑斜面）、丁（粗糙斜面）上通过同样的距离，则对于拉力 $F$ 的做功情况，下列判断正确的是（）

（A）甲做功最少（B）丁做功最多

（C）做功一样多（D）无法比较

P93/3

三、正功与负功

第一节

功

当 $\theta= \frac{\pi}{2}$ 时， $\cos \theta=0$ ， $W=0$ ，这时力的方向与位移的方向垂直，力不做功。

当 $\frac{\pi}{2}＜\theta≤ \pi$ 时， $\cos \theta＜0$ ， $W＜0$ ，这时力做负功，或者说物体克服力做功。

当 $0≤\theta＜\frac{\pi}{2}$ 时， $\cos \theta＞0$ ， $W＞0$ ，这时力做正功。

注意：虽然功有正负，但功是标量，符号并不表示方向。

第一节

功

如图，某高炉的料车轨道与水平面成 60° 角，全长 80 m，车与料的总质量为 8 t。已知轨道对车的摩擦阻力为 4 000 N，料车用绳索牵引并做匀速运动。 $g$ 取 $10 \rm{m/s^2}$ ，求每提升一车料时，
（1）绳索拉力所做的功；
（2）车克服重力所做的功；
（3）车克服摩擦力所做的功；
（4）轨道对车的支持力所做的功。

四、计算总功的两种方法

第一节

功

如图所示，长度 $l\ = 1 \rm{m}$ 、质量 $m = 5 \rm{kg}$ 的均质硬杆一端由光滑铰链固定于天花板上的 $O$ 点。在杆的另一端施加水平恒力 $F = 10 \rm{N}$ ，使杆由竖直位置绕 $O$ 点转过角度 $θ = 37°$ ， $g$ 取 $10 \rm{m/s^2}$ ，求此过程中各力对杆所做的总功。

第一节

功

如图所示，质量 $m = 30 \rm{kg}$ 的儿童从滑梯顶端 A 点滑下，经长 $l = 12 \rm{m}$ 的旋转滑道到达底端 B 点，A、B 两点间的水平距离 $x = 4 m$ ，高度差 $h = 3 \rm{m}$ 。若下滑过程中阻力 $F_阻$ 的大小恒为 $60 \rm{N}$ ， $g$ 取 $10 \rm{m/s^2}$ 。求下滑过程中重力 $G$ 和阻力 $F_阻$ 对儿童所做的总功。

第二节

功率

二、平均功率和瞬时功率

第二节

功率

10．一质量为 $1 \rm{kg}$ 的小球从距地面 $30 \rm{m}$ 的高处自由下落， $g$ 取 $10 \rm{m/s^2}$ 。求：
（1）在前 $2 \rm{s}$ 内重力所做的功；
（2）在前 $2 \rm{s}$ 内重力做功的平均功率；
（3）在 $2 \rm{s}$ 末重力做功的瞬时功率。

P102/10

二、平均功率和瞬时功率

第二节

功率

6．用水平恒力 $F$ 作用在一个物体上，使该物体沿光滑水平面在力的方向移动距离 $s$ ， $F$ 做的功为 $W_1$ ，功率为 $P_1$ ；再用同样的水平力 $F_2$ 使该物体在粗糙的水平面上在力的方向上移动距离 $s$ ， $F$ 做的功为 $W_2$ ，功率为 $P_2$ 。则（）

A． $W_1$ < $W_2$ ， $P_1$ > $P_2$

B． $W_1$ > $W_2$ ， $P_1$ > $P_2$

C． $W_1$ = $W_2$ ， $P_1$ > $P_2$

D． $W_1$ < $W_2$ ， $P_1$ = $P_2$

P101/6

第二节

功率

从 $P ＝ Fv$ 可以看出，汽车、火车等交通工具和各种起重机械，当发动机的输出功率 $P$ 一定时，牵引力 $F$ 与速度 $v$ 成反比。

四、机车启动问题

发动机输出的功率不能无限制地增大，所以汽车上坡时司机要用“换挡”的办法减小速度，来得到较大的牵引力。

第二节

功率

四、机车启动问题

某型号汽车发动机的额定功率为 60 kW，在水平路面上行驶时受到的阻力是 1 800 N，求：

（1）发动机在额定功率下汽车匀速行驶的速度。

（2）假定汽车匀速行驶速度为 54 km/h 时受到的阻力不变，此时发动机输出的实际功率是多少？

1、匀速行驶

P=F_牵v

P=F_牵v

匀速行驶时：

F_牵=f

F_牵=f

P=fv

P=fv

所以：

F_牵

F_牵

f

第二节

功率

四、机车启动问题

受到恒定阻力 $f$ 的汽车以额定功率 $P$ 启动时，我们发现随着速度 $v$ 增大，牵引力 $F$ 减小，原因是______________________________。从而，根据__________________________，可得加速度 $a$ 变小，直到加速度 $a = 0$ 时，速度达到最大 $v_m$ 。

2、恒定功率启动

P106/9

F_牵

F_牵

f

v

a

$v$ 增大

F_牵=\frac{P}{v}

F_牵=\frac{P}{v}

$F_牵$ 减小

a=\frac{F_牵-f}{m}

a=\frac{F_牵-f}{m}

$a$ 减小

最后

$a=0$ ，速度最大 $v_m=\frac{P}{f}$

F_牵

F_牵

f

v

a

F_牵

F_牵

f

v_m

v_m

a=0

a=0

第二节

功率

四、机车启动问题

一列车总质量 $M$ = 500 t，机车发动机的额定功率 $P = 6×10^5$ W，在水平轨道上行驶时，轨道对列车的阻力 $f$ 是车重的 0.01 倍， $g$ 取 $10 m/s^2$ 。
（1）求列车行驶的最大速度 $v_m$ ；
（2）若发动机以额定功率 $P$ 工作，行驶速度 $v$ = 1 m/s 时，求列车的瞬时加速度大小 $a$ ；
（3）若以 36 km/h 速度匀速行驶时，求发动机的实际功率 $P^′$ ；

2、恒定功率启动

P108/10

F_牵

F_牵

f

v_m=?

v_m=?

a=0

a=0

F_牵

F_牵

f

v

a

F_牵

F_牵

f

v=1m/s

v=1m/s

a=?

a=?

第二节

功率

四、机车启动问题

3、匀加速启动

一列车总质量 $M$ = 500 t，机车发动机的额定功率 $P = 6×10^5$ W，在水平轨道上行驶时，轨道对列车的阻力 $f$ 是车重的 0.01 倍， $g$ 取 $10 m/s^2$ 。
（4）若列车从静止开始，保持 $0.5 \rm{m/s^2}$ 的加速度做匀加速运动，求这一过程维持的最长时间 $t$ 。

F_牵

F_牵

f

v

a=0.5 \rm{m/s^2}

a=0.5 \rm{m/s^2}

F_牵

F_牵

f

思考：之后车做怎样的运动？

思考：此过程中发动机的功率 $P$ 如何变化？

第二节

功率

四、机车启动问题

3、匀加速启动

（多选）一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前 $5 \rm{s}$ 内做匀加速直线运动， $5 \rm{s}$ 末达到额定功率，之后保持以额定功率运动，其 $v-t$ 图像如图。已知汽车的质量 $m = 1×10^3 \rm{kg}$ ，汽车受到地面的阻力为车重的 $0.1$ 倍，则下列说法正确的是（）
A．汽车在前 $5 \rm{s}$ 内的牵引力为 $5×10^3$ N
B．汽车速度为 $25 \rm{m/s}$ 时的加速度为 $3 \rm{m/s^2}$
C．汽车的额定功率为 $80 \rm{kW}$
D．汽车的最大速度为 $80 \rm{m/s}$

第三节

动能动能定理

一、动能

物体由于运动而具有的能量称为动能（kinetic energy）

运动物体的动能与物体的质量和速度有关，物体的质量越大，速度越大，其动能就越大。

用符号 $E_k$ 表示

$E_k = mv$ ???

能的单位与功的单位相同，也是焦（J）

标量，没有方向

第三节

动能动能定理

一、动能

如何计算动能？

{F_合} = ma = m\frac{{v_t^2 - v_0^2}}{{2s}}

{F_合} = ma = m\frac{{v_t^2 - v_0^2}}{{2s}}

{F_合}s = \frac{1}{2}mv_t^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = {E_{kt}} - {E_{k0}}

{F_合}s = \frac{1}{2}mv_t^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = {E_{kt}} - {E_{k0}}

可以用力做的功进行量度

动能：物体质量与速度的二次方乘积的一半

结论

{E_k} = \frac{1}{2}m{v^2}

{E_k} = \frac{1}{2}m{v^2}

第三节

动能动能定理

一、动能

7．光滑水平面上一运动的磁铁动能为 $E_k$ ，若其吸引一静止的相等质量的铁球后，二者共同运动速度变为原来的一半，则总动能为（）

A． $2E_k$ B． $E_k$ C． $\frac{E_k}{2}$ D． $\frac{E_k}{4}$

P110/7

第三节

动能动能定理

一、动能

一个质量为 $1 \rm{kg}$ 的小球，以 $3 \rm{m/s}$ 的速度沿水平方向向墙壁运动，碰撞后以原来的速率反向弹回，则在碰撞过程中，小球的速度变化了_m/s，动能变化了_J。

P110/9

\Delta {E_k} = \frac{1}{2}mv_t^2 - \frac{1}{2}mv_0^2

\Delta {E_k} = \frac{1}{2}mv_t^2 - \frac{1}{2}mv_0^2

\Delta {E_k} \ne \frac{1}{2}m{({v_t} - {v_0})^2}

\Delta {E_k} \ne \frac{1}{2}m{({v_t} - {v_0})^2}

注意

第三节

动能动能定理

二、动能定理

{F_合}s = \frac{1}{2}mv_t^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = {E_{kt}} - {E_{k0}}= \Delta E_k

{F_合}s = \frac{1}{2}mv_t^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = {E_{kt}} - {E_{k0}}= \Delta E_k

{F_合} = ma = m\frac{{v_t^2 - v_0^2}}{{2s}}

{F_合} = ma = m\frac{{v_t^2 - v_0^2}}{{2s}}

物体受到的合力所做的功等于物体动能的变化量

动能定理

青出于蓝而胜于蓝

{F_合} = ma

{F_合} = ma

牛顿第二定律

a = \frac{{v_t^2 - v_0^2}}{{2s}}

a = \frac{{v_t^2 - v_0^2}}{{2s}}

运动学公式

第三节

动能动能定理

二、动能定理

{W_合} = \Delta E_k= {E_{kt}} - {E_{k0}}

{W_合} = \Delta E_k= {E_{kt}} - {E_{k0}}

物体受到的合力所做的功等于物体动能的变化量

$W_合 >0$ 时， $\Delta E_k > 0$ ，表示合外力做正功，动能增加；

$W_合 < 0$ 时， $\Delta E_k < 0$ ，表示合外力做正功，动能减小

前情回顾：计算 $W_合$ 的两种方法

先分别求出各力做的功，再求这些功的代数和（推荐）

先求各力的合力，再求合力做的功

动能定理对于变力做功和曲线运动依然成立

第三节

动能动能定理

二、动能定理

解决高中力学问题的三把钥匙

牛顿第二定律

F_合=ma

F_合=ma

合力产生加速度

动能定理

W_合=\Delta{E_k}

W_合=\Delta{E_k}

合力做功改变动能

动量定理

F_合\Delta{t}=m\Delta{v}

F_合\Delta{t}=m\Delta{v}

合力的冲量改变动量

第三节

动能动能定理

课本P84/7

如图所示，质量为 $m$ 的物体在水平拉力 $F$ 的作用下，由静止开始沿粗糙水平面向前运动 $s_1$ 后，撤去拉力 $F$ 已知物体与水平面间的摩擦力为 $F_f$ 。求：
（1）刚撤去拉力时，物体的速度 $v$ ；
（2）物体滑行的最大距离 $s_2$ 。

解：（1）

a_1 = \frac{{F - {F_f}}}{m}

a_1 = \frac{{F - {F_f}}}{m}

v = \sqrt {2a{s_1}} = \sqrt {\frac{{2(F - {F_f}){s_1}}}{m}}

v = \sqrt {2a{s_1}} = \sqrt {\frac{{2(F - {F_f}){s_1}}}{m}}

（2）

a_2 = \frac{{F_f}}{m}

a_2 = \frac{{F_f}}{m}

{s_2} = \frac{{0 - {v^2}}}{{ - 2{a_2}}} = \frac{{(F - {F_f}){s_1}}}{{{F_f}}}

{s_2} = \frac{{0 - {v^2}}}{{ - 2{a_2}}} = \frac{{(F - {F_f}){s_1}}}{{{F_f}}}

牛顿第二定律

解：（1）

Fs_1-{F_f}s_1 = \frac{1}{2}mv^2-0

Fs_1-{F_f}s_1 = \frac{1}{2}mv^2-0

v = \sqrt {\frac{{2(F - {F_f}){s_1}}}{m}}

v = \sqrt {\frac{{2(F - {F_f}){s_1}}}{m}}

（2）

-F_fs_2 = 0-\frac{1}{2}mv^2

-F_fs_2 = 0-\frac{1}{2}mv^2

{s_2} = \frac{m{v^2}}{{ 2{F_f}}} = \frac{{(F - {F_f}){s_1}}}{{{F_f}}}

{s_2} = \frac{m{v^2}}{{ 2{F_f}}} = \frac{{(F - {F_f}){s_1}}}{{{F_f}}}

动能定理

第三节

动能动能定理

P115/9

9．某人将一个质量为 2 kg 的物体从高 10 m 处以 10 m/s 的初速度水平抛出，落地时速度的大小为 12 m/s．则人在抛物体的过程中所做的功为__________ J，物体在飞行过程中，空气阻力对物体做的功为__________ J。（ $g$ 取 $10 \rm{m/s^2}$ ）

可以解决变力做功问题

第三节

动能动能定理

可以解决变力做功问题

3．一个质量为 2 kg 的物体在空中从静止开始下落，受到的空气阻力与速度的关系为 $f = 0.5v^2$ ，下落 20 m 高度时速度已达最大，则这一过程克服空气阻力做的功为（ $g$ 取 $10 \rm{m/s^2}$ ）（）

A．360 J B．400 J C．300 J D．40 J

第三节

动能动能定理

可以解决曲线运动的过程

如图所示，长 $l = 1 \rm{m}$ 的轻质细绳下端悬挂质量 $m = 1 \rm{kg}$ 的钢球，对钢球施加水平恒力 $F = 10 \rm{N}$ ，将小球从最低点 A 由静止开始拉动，且拉动过程中细绳始终绷直。若不计空气阻力， $g$ 取 $10 \rm{m/s^2}$ ，求：
（1）细线转过 $θ = 30°$ 时，钢球的速度大小 $v_1$ ；

（2）细线转过的最大角度？

课本P68/6

第三节

动能动能定理

处理过程较复杂的问题时有明显的优越性

如图，一质量为 $m$ 的小球自松软泥土的地面上方高为 $h$ 处自由下落，小球最终陷入泥土的深度为 $d$ ，不计空气阻力，重力加速度为 $g$ ，则泥土对小球的平均阻力大小为（）

A． $\frac{mgh}{d}$ B． $\frac{mg(h + d)}{d}$ C． $\frac{mgd}{h}$ D． $\frac{mg(h + d)}{h}$

P115/5

解：前半段自由落体运动

a = \frac{v^2}{ 2d }=\frac{h}{d}

a = \frac{v^2}{ 2d }=\frac{h}{d}

v = \sqrt {2gh}

v = \sqrt {2gh}

后半段，匀减速直线运动

f=mg+m\frac{h}{d}

f=mg+m\frac{h}{d}

f-mg=ma=m\frac{h}{d}

f-mg=ma=m\frac{h}{d}

牛顿第二定律

第三节

动能动能定理

二、动能定理

预备知识

\Delta {E_k} = \frac{1}{2}mv_t^2 - \frac{1}{2}mv_0^2

\Delta {E_k} = \frac{1}{2}mv_t^2 - \frac{1}{2}mv_0^2

1、计算 $W$ 的两种方法

先分别求出各力做的功，再求这些功的代数和

先求各力的合力，再求合力做的功

2、计算 $W$

第四节

重力势能

由于物体高度改变而变化的能量叫做重力势能（gravitational potential energy），用 $E_p$ 表示

如图所示，在水平桌面上铺一块厚薄均匀的泡沫板，让半径相同、质量不同的实心小球从不同的高度自由下落到泡沫板上，根据撞击产生凹痕的深浅猜想小球的重力势能与哪些因素有关。

结论：质量 $m$ 越大，高度 $h$ 越大，重力势能越大

$E_p = mh$ ???

第四节

重力势能

一、重力做功的特点

W_G=mgs \cos {\theta} = mgh =mgh_A-mgh_B

W_G=mgs \cos {\theta} = mgh =mgh_A-mgh_B

重力是恒力，根据恒力做功的计算式

质量为 $m$ 的物体沿任意路径由 A 运动到 B

重力做功与路径无关，仅取决于始、末位置

质量为 $m$ 的物体沿任意路径由 B 运动到 A

W_G=mgs \cos (\pi-{\theta}) = -mgh =mgh_B-mgh_A

W_G=mgs \cos (\pi-{\theta}) = -mgh =mgh_B-mgh_A

第四节

重力势能

二、重力势能

可以用重力做的功进行量度

W_G= mgh_A-mgh_B = E_{pA}-E_{pB}

W_G= mgh_A-mgh_B = E_{pA}-E_{pB}

E_p=mgh

E_p=mgh

结论：

注意：重力势能是物体和地球这一体系所共有的。只是为了简单起见，我们说物体具有重力势能

第四节

重力势能

二、重力势能

高度具有相对性，但高度差是绝对的

珠穆拉玛峰，海拔高度为 $h = 8844 \rm{m}$

吐鲁番盆地艾丁湖，海拔高度 $h = －161\rm{ m}$

高度差 $\Delta h =9005 m$

高度正值比负值大

通常取海平面为零高度位置

高度是相对的，与零高度选取有关

高度差是绝对的，与零高度选取无关

第四节

重力势能

二、重力势能

由于高度 $h$ 具有相对性，所以重力势能也是相对的，只有在选取了重力势能为零的参考平面以后才能确定重力势能。
物理学中将重力势能为零的参考平面称为零势能面， $h$ 就是物体相对于零势能面的高度。零势能面一般都是根据研究需要设定的。
若物体处于零势能面以上，则 $h ＞ 0$ ， $E_p ＞ 0$ ；处于零势能面以下，则 $h ＜ 0$ ， $E_p ＜ 0$ 。

可以用重力做的功进行量度

第四节

重力势能

如图所示，树上与 A 等高的 P 处有一个质量 m = 0.3 kg的苹果下落。求：

（1）以 A 所在水平面为零势能面，求 P 处苹果的重力势能 $E_p$ ；

（2）以 C 所在水平面为零势能面，求 P 处苹果的重力势能 $E_p$ ；

（3）苹果由 P 落至 D 的过程中，苹果重力势能的变化量 $\Delta E_p$ ；

（4）苹果由 P 落至 D 的过程中，求重力所做的功 $W_G$ 。

第四节

重力势能

三、重力做功与重力势能变化量的关系

注意：重力势能取决于零势能面位置的选取，但重力势能的变化量与零势能面的选取无关

\Delta {E_p} = {E_{pt}} - {E_{p0}}

\Delta {E_p} = {E_{pt}} - {E_{p0}}

重力势能变化量

{W_G} = - \Delta {E_p}

{W_G} = - \Delta {E_p}

物体下降，重力做正功， $W_G ＞ 0$ ，物体重力势能减少， $ΔE_p ＜ 0$ ；

物体上升，重力做负功或物体克服重力做功， $WG ＜ 0$ ，物体重力势能增大， $ΔE_p ＞ 0$ 。

第四节

重力势能

三、重力做功与重力势能变化量的关系

如图，总长为 $2 \;\rm{m}$ 的光滑匀质铁链，质量为 $10 \;\rm{kg}$ ，跨过一光滑的轻质定滑轮。开始时铁链的两底端相齐，当略有扰动时某一端开始下落， $g$ 取 $10 \;\rm{m/s^2}$ ，则从铁链刚开始下落到铁链刚脱离滑轮这一过程中，重力对铁链做了多少功？重力势能如何变化？

P126/10

第四节

重力势能

四、弹性势能

{W_弹} = - \Delta {E_p}

{W_弹} = - \Delta {E_p}

弹力做正功， $W_弹＞ 0$ ，弹性势能减少， $ΔE_p ＜ 0$ ；

弹力做负功或物体克服弹力做功， $W_弹＜ 0$ ，弹性势能增大， $ΔE_p ＞ 0$ 。

与重力做功和重力势能变化量的关系完全相同

第四节

重力势能

四、弹性势能

如图，在光滑的水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力 $F$ 作用下物体处于静止状态。当撤去 $F$ 后，物体将向右运动，在物体向右运动过程中，下列说法正确的是（）
A．弹簧的弹性势能逐渐减小
B．弹簧的弹性势能逐渐增大
C．弹簧的弹性势能先增大再减小
D．弹簧的弹性势能先减小再增大

P125/3

前情回顾

W=Fs \cos \theta

W=Fs \cos \theta

{W_G} = ±mg \Delta h

{W_G} = ±mg \Delta h

功

\bar P = \frac{W}{t} = F\bar v

\bar P = \frac{W}{t} = F\bar v

P = Fv

P = Fv

功率

{E_k} = \frac{1}{2}m{v^2}

{E_k} = \frac{1}{2}m{v^2}

E_p=mgh

E_p=mgh

能

E_{p弹}

E_{p弹}

与形变量、劲度系数有关，公式不做要求

{W_合} = \Delta {E_k}

{W_合} = \Delta {E_k}

功是能量转化的量度

{W_G} = - \Delta {E_p}

{W_G} = - \Delta {E_p}

{W_弹} = - \Delta {E_{p弹}}

{W_弹} = - \Delta {E_{p弹}}

第五节

机械能守恒定律

二、机械能守恒定律

在只有重力和弹力做功的系统内，动能与势能相互转化，机械能总量不变。这就是机械能守恒定律。

理论推导

由动能定理：

{W_合} = \Delta {E_k}

{W_合} = \Delta {E_k}

W' + {W_G} + {W_E} = \Delta {E_k}

W' + {W_G} + {W_E} = \Delta {E_k}

将重力所做的功 $W_G$ 、弹力所做的功 $W_E$ 分离出来，并用 $W'$ 表示除重力和弹力以外其他力所做功的代数和

W' - \Delta {E_p} = \Delta {E_k}

W' - \Delta {E_p} = \Delta {E_k}

根据重力、弹力做功的特点，用 $\Delta E_p$ 表示重力势能与弹性势能变化量的代数和

W' = \Delta {E_p} + \Delta {E_k} = \Delta {E}

W' = \Delta {E_p} + \Delta {E_k} = \Delta {E}

即

若 $W' = 0$ ，则 $\Delta E = 0$

第五节

机械能守恒定律

二、机械能守恒定律

表达式：

\frac{1}{2}mv_1^2 + mg{h_1} = \frac{1}{2}mv_2^2 + mg{h_2}

\frac{1}{2}mv_1^2 + mg{h_1} = \frac{1}{2}mv_2^2 + mg{h_2}

{E_{k0}} + {E_{p0}} = {E_{kt}} + {E_{pt}}

{E_{k0}} + {E_{p0}} = {E_{kt}} + {E_{pt}}

或

第五节

机械能守恒定律

二、机械能守恒定律

p128/例3

（多选）如图，质量为 $m$ 的物体，以速度 $v_A$ 从离地为 $H$ 的 A 点抛出，当它落到距离地面高为 $h$ 的 B 点时，速度为 $v_B$ ，在不计空气阻力的情况下，下列说法正确的是（取地面为零势能面）（）
A．物体在 A 点的机械能是 $mgh + \frac{1}{2}mv{_B^2}$
B．物体在 B 点的机械能是 $mgh + \frac{1}{2}mv{_B^2}$
C．物体着地时的机械能是 $mgh + \frac{1}{2}mv{_A^2}$
D．物体着地时的机械能是 $mgH + \frac{1}{2}mv{_A^2}$

第五节

机械能守恒定律

二、机械能守恒定律

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如图，一质量为 60 kg 的探险者在丛林探险，为了从一绝壁到达水平地面，探险者将一根粗绳缠绕在粗壮树干上，拉住绳子的另一端，从绝壁边缘的 A 点由静止开始荡向低处，到达最低点 B 时脚恰好触到地面，此时探险者的重心离地面的高度为 0.5 m。已知探险者在 A 点时重心离地面的高度为 8.5 m。以地面为零势能面，不计空气阻力， $g$ 取 $10 \;\rm{ m/s^2}$ 。探险者可视为位于其重心处的一个质点。求：
（1）探险者在 A 点时的重力势能；
（2）探险者运动到 B 点时的速度大小；
（3）探险者运动到重心离地面 5 m 高处时的机械能。