第六章 万有引力定律

第二节 万有引力定律：1课时

开普勒三定律：特别是开普勒第三定律是难点

1、牛顿的思考

2、公式的理解

3、引力恒量的测定

4、例题：星球表面重力加速度

1、思路一：万有引力即为重力：（1）称量地球质量；（2）星球上空重力加速度？

2、思路二：万有引力作为向心力：（1）环绕线速度；（发射速度？）；（2）周期、角速度；（3）称量天体质量；（4）涉及密度；（5）变轨问题？

 黄金代换：\(GM = g{R^2}\)

公元2世纪

地心说：地球静止不动，是宇宙的中心；太阳、月亮和行星等所有天体都绕地球运动

一、人类早期对天体运动的认识

公元16世纪

日心说：太阳是宇宙的中心，地球和其他行星围绕太阳运动。

一、人类早期对天体运动的认识

视频链接

开普勒第一定律（轨道定律）：各行星都在椭圆轨道上绕太阳运行，太阳在椭圆的一个焦点上

二、行星运动的规律

开普勒第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等

可以解释行星在近日点运动快、在远日点运动慢

二、行星运动的规律

开普勒第三定律（周期定律）：行星绕太阳运行的椭圆轨道半长轴 \(a\) 的三次方与周期 \(T\) 的二次方之比是一个常量

\(k\) 是一个与行星无关的常量

二、行星运动的规律

开普勒第三定律（周期定律）：行星绕太阳运行的椭圆轨道半长轴 \(a\) 的三次方与周期 \(T\) 的二次方之比是一个常量

开普勒第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等

开普勒第一定律（轨道定律）：各行星都在椭圆轨道上绕太阳运行，太阳在椭圆的一个焦点上

二、行星运动的规律

2．17 世纪，天文学家哈雷观察到一颗彗星，这颗彗星绕太阳运行的轨道示意图如图所示。彗星最近飞临地球的时间是在 1986 年。在如图位置飞临地球阶段，彗星运动速度的大小如何变化？简述理由。

4．天文学家发现一颗小行星沿近似圆形轨道绕太阳运行，测得该轨道的平均半径约为地球公转轨道半径的 3 倍。这颗小行星绕太阳运行的周期大约是多少年？

一、人类早期对天体运动的认识

二、行星运动的规律

开普勒第三定律（周期定律）：行星绕太阳运行的椭圆轨道半长轴 \(a\) 的三次方与周期 \(T\) 的二次方之比是一个常量，即 \(\frac{r^3}{T^2}= k\)

开普勒第二定律（面积定律）：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等

开普勒第一定律（轨道定律）：各行星都在椭圆轨道上绕太阳运行，太阳在椭圆的一个焦点上

地心说：托勒密

日心说：哥白尼

一、万有引力定律

思想实验——牛顿大炮

• 水平抛出一个苹果，它将沿曲线落回地面；苹果抛出得越快，它就会落得越远。

• 如果把苹果抛出得足够快，它就可以绕过地球表面的大部分圆周，甚至能永远不会落回地面而变成绕地球运行

一、万有引力定律

一、万有引力定律

思想实验——牛顿大炮

• 地球对苹果的引力。地球对月亮的引力、太阳对行星的引力，任何两个物体之间的引力本质上都完全相同。

• 水平抛出一个苹果，它将沿曲线落回地面；苹果抛出得越快，它就会落得越远。

• 如果把苹果抛出得足够快，它就可以绕过地球表面的大部分圆周，甚至能永远不会落回地面而变成绕地球运行

一、万有引力定律

所有物体之间都存在的相互吸引力叫做万有引力

一、万有引力定律

对于万有引力定律的表达式 \(F = G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}\) ，下列说法正确的是（    ）
A．表达式中的 \(G\) 为引力常量，其数值是人为规定的
B．当 \(r\) 趋近于零时，万有引力趋于无穷大
C．此表达式仅适用于计算质点间万有引力的大小
D．\(m_1\) 与 \(m_2\) 之间的引力总是大小相等，与 \(m_1\)、\(m_2\) 是否相等无关

P57 例1

一、万有引力定律

两艘质量各为 \(1 \times 10^7 \rm{kg}\) 的轮船相距 \(100 \rm{m}\) 时，它们之间的万有引力大小相当于（    ）

A．一个人的重量               B．一个鸡蛋的重量

C．一个西瓜的重量           D．一头牛的重量

P58 /6

二、引力常量的测定

卡文迪什扭秤实验

二、引力常量的测定

卡文迪什扭秤实验

  第三章 相互作用与力的平衡 第一节 生活中常见的力

  二、弹力

二、引力常量的测定

（1）在___________发现万有引力定律 100 多年以后，英国物理学家__________利用如图实验装置测出了引力常量，图中 A 是_____________，M 是___________，该实验运用____________方法，将一般物体间几乎可以忽略的引力显现出来并定量测量。

（2）（多选）为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采取的主要措施是（    ）

A．减小石英丝的直径              B．增大T形架横梁的长度

C．利用平面镜对光线的反射  D．增大刻度尺与平面镜的距离

P60 /9

课本例题

已知地球的质量 \( m_地 = 5.972 \times 10^{24} \rm{kg} \)，地球半径 \( r_地 = 6.371\times 10^6 \rm{m} \)。利用万有引力定律计算地球表面重力加速度 \(g\) 的大小。

已知火星质量是地球质量的 \(k\) 倍，半径是地球半径的 \(p\) 倍，地球表面的重力加速度为 \(g\)，忽略星球的自转，则火星表面的重力加速度为（    ）

A．\(kg\)     B．\(pg\)    C．\(\frac{k}{p} g\)      D．\(\frac{k}{p_2} g\)

P59 /4

课本例题

已知地球的质量 \( m_地 = 5.972 \times 10^{24} \rm{kg} \)，地球半径 \( r_地 = 6.371\times 10^6 \rm{m} \)。利用万有引力定律计算地球表面重力加速度 \(g\) 的大小。

分析：地球表面的物体所受到的重力近似等于地球对物体的万有引力。由引力常量、地球质量和半径可以计算地球表面的重力加速度。

解：设地球上有一物体的质量为 \(m\)，物体所受重力为 \(mg\)，地球对物体的万有引力为 G\(\frac{{{m_地}m}}{{r_地^2}}\)，由 mg = G\(\frac{{{m_地}m}}{{r_地^2}}\) 可得

\[g = G\frac{{{m_地}}}{{r_地^2}} = 6.67 \times {10^{ - 11}} \times \frac{{5.972 \times {{10}^{24}}}}{{{{(6.371 \times {{10}^6})}^2}}}{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2} \approx 9.81{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}\]

思路 1：重力近似等于万有引力

得：\(g = \frac{Gm_地}{r^2}\)

一、称量天体的质量——地球

思路 1：重力近似等于万有引力

一、称量天体的质量——太阳

思路 2：万有引力作为向心力

一、称量天体的质量

已知引力常量为 \(G\)，地球半径为 \(R\)，月球和地球之间的距离为 \(r\)，月球绕地球的运转周期为 \(T_1\)，地球的自转周期为 \(T_2\)，地球表面的重力加速度为 \(g\)。请根据已知条件写出两种估算地球质量的方法并求得结果 。

P63/9

一、称量天体的质量

我国月球探测计划嫦娥工程已经启动，“嫦娥一号”探月卫星也已发射。设想“嫦娥一号”靠近月球表面做匀速圆周运动，测得飞行 \(n\) 圈所用的时间为 \(t\)，已知月球半径为 \(R\)，引力常量为 \(G\)，月球质量分布均匀。求 ：
（1）“嫦娥一号”绕月球飞行的周期；
（2）月球的质量；
（3）月球表面的重力加速度。

P65/10

一、称量天体的质量

某恒星的质量是地球质量的 \(p\) 倍，该恒星的半径是地球半径的 \(q\) 倍，则该恒星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度大小之比为________，恒星与地球的密度之比为 ___________。

P65/8

二、万有引力定律对天文学的其他贡献

本节课知识点总结

\(g = \frac{GM}{r^2}\)

\(M = \frac{gr^2}{G}\)

\(M = \frac{{4{\pi ^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}\)

……？

\(g_0 = \frac{GM}{R^2}\)

\(g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}\)

思路 2：万有引力作为向心力

三、行星、（人造）地球卫星的运动规律

三、行星、（人造）地球卫星的运动规律

2021年5月15日，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器成功着陆火星。研究火星是人类探索向火星移民的一个重要步骤。假设火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动，火星轨道在地球轨道外侧，如图，与地球相比较，下列说法正确的是（    ）

A．火星运行周期较大                B．火星运行速度较大

C．火星运行角速度较大            D．火星运行的向心加速度较大

P62/例2

三、行星、（人造）地球卫星的运动规律

若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为 3∶2，则火星与地球绕太阳运动的（    ）

A．公转周期之比为 27∶8        B．线速度大小之比为 \(\sqrt{3}\) ∶\(\sqrt{2}\) 

C．角速度之比为 \(2\sqrt{2}\) ∶\(3\sqrt{3}\)         D．向心加速度大小之比为 9∶4

P63/5

三、行星、（人造）地球卫星的运动规律

当卫星贴着地表飞行时，地球半径 \(r_地\) 可代替卫星到地心的距离 \(r\)

三、行星、（人造）地球卫星的运动规律

第一宇宙速度：7.9 km/s，在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度。

第二宇宙速度：11.2 km/s，摆脱地球引力的束缚，成为围绕太阳运行的“人造行星”。

第三宇宙速度：16.7 km/s，摆脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去。

三、行星、（人造）地球卫星的运动规律

P69/10

已知某卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为 \(T\)，地球半径为 \(R\)，地球表面重力加速度为 \(g\)，引力常量为 \(G\)。求：
（1）地球的密度 \(ρ\)；
（2）该卫星距离地球表面的高度 \(h\)。

三、行星、（人造）地球卫星的运动规律

地球同步地球卫星

必在地球赤道平面

周期与地球自转周期相同，即 \(T\) = 24 h

离地球表面高度为一确定值：

\(g = \frac{GM}{r^2}\)

\(M = \frac{g_0R^2}{G}\)

\(g_0 = \frac{GM}{R^2}\)

\(g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}\)

黄金代换

开普勒第三定律

已知地球表面的自由落体加速度为 g，地球半径为 R，则地球的“第一宇宙速度”是   \(\sqrt{gR}\)。

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