第九章静电场

第一节

静电现象电荷

第一节

静电现象电荷

三、电荷量

物体所带电荷的多少叫做电荷量，电荷量用 $Q$ 或 $q$ 来表示，是标量。电荷量的国际单位是 $\rm C$ ，读作库仑，简称库。常用的更小的单位是 $\mu \rm C$ ，读作微库。

1 \rm \mu C＝10^{-6} \rm C

1 \rm \mu C＝10^{-6} \rm C

1、元电荷表示电量，不是电子或是质子本身。
2、所有带电体的电量都是元电荷的整数倍。

带电体的电荷量都等于最小电荷量 $e$ 的整数倍。最小电荷量 $e$ 就叫做元电荷。

e=1.6 \times 10^{-19}\rm C

e=1.6 \times 10^{-19}\rm C

元电荷 $e$

注意

1、所有带电体的电量都是元电荷的整数倍。
2、元电荷表示电量，不是电子或是质子本身。

第二节

电荷的相互作用库仑定律

第二节

电荷的相互作用库仑定律

一、电荷间的相互作用

静电力：

静止电荷之间的相互作用力

静电力的大小与哪些因素有关？

与带电体间的距离有关，距离越小，作用力越大

与两电荷的电荷量的大小有关，电荷量越大，作用力越大

通过丝线偏离竖直方向的角度 $\theta$ 大小判断小球受到的静电力作用的大小；偏角越大表示小球受到的静电力越大

第二节

电荷的相互作用库仑定律

二、库仑定律

如何定量探究电荷间相互作用力的规律？

困难 3：当时还没有度量电荷量的单位

解决 3：利用电荷在两个相同金属球之间的等量分配原理

q

\frac{q}{2}

\frac{q}{2}

\frac{q}{4}

\frac{q}{4}

第二节

电荷的相互作用库仑定律

二、库仑定律

与带电体间的距离有关，距离越小，作用力越大

与两电荷的电荷量的大小有关，电荷量越大，作用力越大

静电力大小

定性结论

定量结论

与电荷量的乘积成正比

与电荷之间的距离的二次方成反比

F \propto \frac{{{q_1}{q_2}}}{{{r^2}}}

F \propto \frac{{{q_1}{q_2}}}{{{r^2}}}

第二节

电荷的相互作用库仑定律

二、库仑定律

万有引力定律：自然界中任何两个物体都相互吸引，相互间引力的大小与物体质量的乘积成正比，与它们之间距离的二次方成反比。

F = G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}

F = G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}

$G$ 叫做引力常量， $G = 6.67 \times {10^{ - 11}}{\rm{N}} \cdot {{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{/k}}{{\rm{g}}^{\rm{2}}}$

库仑定律：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力的大小跟它们的电荷量的乘积成正比，跟它们之间距离的二次方成反比。方向在它们的连线上。

F = k\frac{{{q_1}{q_2}}}{{{r^2}}}

F = k\frac{{{q_1}{q_2}}}{{{r^2}}}

$k$ 叫做静电力常量， $k = 9.0 \times {10^9}\;{\rm{N}} \cdot {{\rm{m}}^{\rm{2}}}/{{\rm{C}}^{\rm{2}}}$

类比法

适用条件：真空静止点电荷

第二节

电荷的相互作用库仑定律

二、库仑定律

如图所示，真空中有两个点电荷 $q_1$ 和 $q_2$ ，它们的电荷量分别是 $+ 4.0×10^{-9} \rm{C}$ 和 $− 2.0×10^{−9} \;\rm{C}$ ，两点电荷间相距 $10 \;\rm{cm}$ ，求这两个点电荷间的相互作用力。（已知静电力常量 $k = 9×10^9 \;\rm{N·m^2/C^2}$ ）

1、物理量都要采用国际单位制；

2、点电荷的电荷量用绝对值代入；

3、库仑力的方向可以通过同号电荷相互排斥、异号电荷相互吸引来直接判断。

根据牛顿第三定律， $F_{21}= F_{12} = 7.2 \times {10^{ - 6}}\;{\rm{N}}$

{F_{12}} = k\frac{{\left| {{q_1}} \right| \cdot \left| {{q_2}} \right|}}{{{r^2}}} = 9 \times {10^9} \times \frac{{4 \times {{10}^{ - 9}} \times 2.0 \times {{10}^{ - 9}}}}{{{{(0.10)}^2}}}\;{\rm{N}} = 7.2 \times {10^{ - 6}}\;{\rm{N}}

{F_{12}} = k\frac{{\left| {{q_1}} \right| \cdot \left| {{q_2}} \right|}}{{{r^2}}} = 9 \times {10^9} \times \frac{{4 \times {{10}^{ - 9}} \times 2.0 \times {{10}^{ - 9}}}}{{{{(0.10)}^2}}}\;{\rm{N}} = 7.2 \times {10^{ - 6}}\;{\rm{N}}

解：

方向为沿 $q_1$ 、 $q_2$ 连线指向 $q_1$

第二节

电荷的相互作用库仑定律

二、库仑定律

已知氢原子中质子的质量为 $m_1 = 1.67×10^{−27}\;\rm{kg}$ ，电子的质量为 $m_2 = 9.1×10^{−31}\;\rm{kg}$ ，在氢原子内质子和电子间的距离为 $r = 5.3×10^{−11}\;\rm{m}$ ，求氢原子中质子与电子之间的库仑力和万有引力大小的比值。（已知引力常量 $G = 6.67×10^{−11}\;\rm {N·m^2/kg^2}$ ，静电力常量 $k = 9×10^9\;\rm{ N·m^2/C^2}$ ，元电荷 $e = 1.6×10^{−19}\rm{C}$ ）

可见：在微观带电粒子的相互作用中，静电力的大小远大于万有引力的大小

{F_1} = k\frac{{{q_1}{q_2}}}{{{r^2}}}，{F_2} = G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}

{F_1} = k\frac{{{q_1}{q_2}}}{{{r^2}}}，{F_2} = G\frac{{{m_1}{m_2}}}{{{r^2}}}

\begin{array}{l}\frac{{{F_1}}}{{{F_2}}} = \frac{{k\left| {{q_1}} \right| \cdot \left| {{q_2}} \right|}}{{G{m_1}{m_2}}}\\ = \frac{{9.0 \times {{10}^9} \times 1.6 \times {{10}^{ - 19}} \times 1.6 \times {{10}^{ - 19}}}}{{6.67 \times {{10}^{ - 11}} \times 1.67 \times {{10}^{ - 27}} \times 9.1 \times {{10}^{ - 31}}}}\\ \approx 2.3 \times {10^{39}}\end{array}

\begin{array}{l}\frac{{{F_1}}}{{{F_2}}} = \frac{{k\left| {{q_1}} \right| \cdot \left| {{q_2}} \right|}}{{G{m_1}{m_2}}}\\ = \frac{{9.0 \times {{10}^9} \times 1.6 \times {{10}^{ - 19}} \times 1.6 \times {{10}^{ - 19}}}}{{6.67 \times {{10}^{ - 11}} \times 1.67 \times {{10}^{ - 27}} \times 9.1 \times {{10}^{ - 31}}}}\\ \approx 2.3 \times {10^{39}}\end{array}

解：

第三节

电场力电场强度

一、电场

电荷间相互作用就是靠电场来传递的

如何解释 $q_A$ 对 $q_B$ 有电场力的作用

如何解释 $q_B$ 对 $q_A$ 也有电场力的作用

+

$q_A$

$q_B$

1、 $q_A$ 周围存在电场

2、 $q_B$ 在此电场中会受到电场力

$F_{AB}$

+

1、 $q_B$ 周围也存在电场

2、 $q_A$ 在此电场中会受到电场力

$F_{BA}$

$q_A$

$q_B$

第三节

电场力电场强度

三、电场强度

如何定量描述电场力的性质？

当试探电荷 B 的位置不变而电荷量 $q$ 发生变化时，其受到的电场力 $F$ 也随之变化，但电场力 $F$ 与试探电荷的电荷量 $q$ 之比 $\frac{F}{q}$ 不变

这个比的大小可以反映电场中电场的强弱程度

$F$

$+q$

$+2q$

$+3q$

$2F$

$3F$

注意

这个比是由电场本身决定，与试探电荷 $q$ 无关

$m$

$V$

$2m$

$2V$

$3m$

$3V$

类似的有：密度 $\rho = \frac{m}{V}$ 是由材质本身决定的，与 $m$ 、 $V$ 无关

第三节

电场力电场强度

三、电场强度

如何定量描述电场力的性质？

放入电场中某点的电荷所受的电场力 $F$ 和其电荷量 $q$ 之比叫做该点的电场强度，用符号 $E$ 表示

电场强度 $E$ 是矢量。

物理学中规定，电场中某点电场强度的方向跟正电荷在该点所受电场力的方向相同（即与负电荷受力方向相反）

E = \frac{F}{q}

E = \frac{F}{q}

注意

电场强度由电场本身决定，与试探电荷 $q$ 无关

单位：N/C，读作牛每库

第三节

电场力电场强度

三、电场强度

如何定量描述电场力的性质？

【例题】（多选）若在电场中的某点 A 放一试探电荷 $+ q$ ，它所受到的电场力大小为 $F$ ，方向水平向右。下列说法正确的是（）
A．在 A 点放一个负试探电荷，A 点的电场强度方向为水平向左
B．在 A 点放一个负试探电荷，它所受的电场力方向水平向左
C．在 A 点放一个电荷量为 $+ 2q$ 的试探电荷，它所受的电场力仍为 $F$
D．在 A 点放一个电荷量为 $+ 2q$ 的试探电荷，A点的电场强度为 $\frac{F}{q}$

第三节

电场力电场强度

三、电场强度

F=qE

F=qE

电场力的计算

如果已知电场中某一点的电场强度 $E$ ，那么，放在该点的点电荷 $q$ 所受到的电场力为

方向：正电荷 $F$ 、 $E$ 同向，负电荷 $F$ 、 $E$ 反向

如果已知电场中场源电荷电量 $Q$ ，那么，放在距该点电荷 $r$ 处的 $q$ 所受到的电场力为

前情回顾

F = k\frac{{Qq}}{{{r^2}}}

F = k\frac{{Qq}}{{{r^2}}}

方向：两者连线，同性相斥，异性相吸

第三节

电场力电场强度

四、点电荷场强公式

E = \frac{{k\frac{{Qq}}{{{r^2}}}}}{q} = \frac{{kQ}}{{{r^2}}}

E = \frac{{k\frac{{Qq}}{{{r^2}}}}}{q} = \frac{{kQ}}{{{r^2}}}

只适用于真空中静止点电荷产生的电场

若 $q$ 为正电荷，电场强度方向远离 $q$ ；若 $q$ 为负电荷，电场强度方向指向 $q$ 。

库仑定律：适用于真空中静止点电荷

E = \frac{F}{q}

E = \frac{F}{q}

F = k\frac{{Qq}}{{{r^2}}}

F = k\frac{{Qq}}{{{r^2}}}

电场的叠加原理

如果在空间中有几个点电荷同时存在，这时在空间的某一点的电场强度等于各个点电荷单独存在时在该点产生的电场强度的矢量和。

第三节

电场力电场强度

四、点电荷场强公式

如图所示，真空中相距 $2r$ 的点电荷 A、B 带电荷量分别为 $+q$ 和 $−q$ 。求：

（1）两点电荷连线中点 O 的电场强度。

（2）在 A、B 连线上，点电荷 B 的外侧且与点电荷 B 之间的距离为 $r$ 的 P 点处的电场强度。

解：（1）

\begin{array}{l}{E_O} = {E_A} + {E_B}\\ = k\frac{q}{{{r^2}}} + k\frac{q}{{{r^2}}}\\ = 2k\frac{q}{{{r^2}}}\end{array}

\begin{array}{l}{E_O} = {E_A} + {E_B}\\ = k\frac{q}{{{r^2}}} + k\frac{q}{{{r^2}}}\\ = 2k\frac{q}{{{r^2}}}\end{array}

\begin{array}{l}{E_P} = {E_B}^\prime - {E_A}^\prime \\ = k\frac{q}{{{r^2}}} - k\frac{q}{{{{(3r)}^2}}}\\ = k\frac{{8q}}{{9{r^2}}}\end{array}

\begin{array}{l}{E_P} = {E_B}^\prime - {E_A}^\prime \\ = k\frac{q}{{{r^2}}} - k\frac{q}{{{{(3r)}^2}}}\\ = k\frac{{8q}}{{9{r^2}}}\end{array}

（2）

书本 P16 示例 2：一直线上的电场叠加

$E_A$

$E_B$

${E_B}^\prime$

${E_A}^\prime$

$O$

$P$

方向向右

方向向左

第三节

电场力电场强度

四、点电荷场强公式

如图所示，真空中相距 $2r$ 的点电荷 A、B 带电荷量分别为 $+q$ 和 $+q$ 。求：

（1）两点电荷连线中点 O 的电场强度。

（2）在 A、B 连线上，点电荷 B 的外侧且与点电荷 B 之间的距离为 $r$ 的 P 点处的电场强度。

解：（1）

\begin{array}{l}{E_O} = {E_A} - {E_B}\\ = k\frac{q}{{{r^2}}} - k\frac{q}{{{r^2}}}\\ = 0\end{array}

\begin{array}{l}{E_O} = {E_A} - {E_B}\\ = k\frac{q}{{{r^2}}} - k\frac{q}{{{r^2}}}\\ = 0\end{array}

\begin{array}{l}{E_P} = {E_B}^\prime + {E_A}^\prime \\ = k\frac{q}{{{r^2}}} + k\frac{q}{{{{(3r)}^2}}}\\ = k\frac{{10q}}{{9{r^2}}}\end{array}

\begin{array}{l}{E_P} = {E_B}^\prime + {E_A}^\prime \\ = k\frac{q}{{{r^2}}} + k\frac{q}{{{{(3r)}^2}}}\\ = k\frac{{10q}}{{9{r^2}}}\end{array}

（2）

书本 P16 示例 2 拓展：一直线上的电场叠加

$E_A$

$E_B$

${E_B}^\prime$

${E_A}^\prime$

$O$

$P$

方向向右

第四节

电势电势能

小球自 $A$ 点竖直下落至地面 $B$ 点

1、此过程中重力做功 $W_G$ =

2、此过程中重力势能的改变量 $\Delta E_p =$

3、小球在 $A$ 位置具有的重力势能 $E_p$ =

若小球自 $A$ 位置做平抛运动落至 $B^{\prime}$ 点，上述 3 个问题的解答有区别吗？为什么？

$A$

$B$

$m = 1 \;\rm{kg}$

$h = 1 \;\rm{m}$

$B^{\prime}$

$g \;取 \;10\;\rm{m/s^2}$

前情回顾

第四节

电势电势能

一、电势能

重物 $G$ 在地球上（重力场中）具有重力势能

{E_{\rm{p}}} = mg·h

{E_{\rm{p}}} = mg·h

电荷 $q$ 在电场中具有电势能

{E_{\rm{p}}} = ？

{E_{\rm{p}}} = ？

重力做功与路径无关，只与起始位置和终止位置（或者说两位置的高度差 $\Delta h$ ）有关

{W_G} = \pm mg\Delta h

{W_G} = \pm mg\Delta h

电场力做功与路径无关，只与起始位置和终止位置（或者说两位置的 ？？差）有关

{W_电} = ？

{W_电} = ？

类比

重力势能是相对的，只有在选取了零势能面以后才能确定重力势能。

电势能是相对的，通常取无穷远处电势能为零。

第四节

电势电势能

一、电势能

电场力做正功，电荷的电势能减少

电场力做负功，电荷的电势能增加

二、电场力做功与电势能变化之间的关系

重力做正功，物体的重力势能减少

重力做负功，物体的重力势能增加

{W_G} = - \Delta {E_{\rm{p}}}

{W_G} = - \Delta {E_{\rm{p}}}

重力势能的变化量

\Delta {E_{\rm{p}}} = {E_{{\rm{p}}t}} - {E_{{\rm{p}}0}}

\Delta {E_{\rm{p}}} = {E_{{\rm{p}}t}} - {E_{{\rm{p}}0}}

{W_电} = - \Delta {E_{\rm{p}}}

{W_电} = - \Delta {E_{\rm{p}}}

类比

电势能的变化量

\Delta {E_{\rm{p}}} = {E_{{\rm{p}}B}} - {E_{{\rm{p}}A}}

\Delta {E_{\rm{p}}} = {E_{{\rm{p}}B}} - {E_{{\rm{p}}A}}

（若将电荷从 A 点移动到 B 点）

= - ({E_{{\rm{p}}B}} - {E_{{\rm{p}}A}})

= - ({E_{{\rm{p}}B}} - {E_{{\rm{p}}A}})

= {E_{{\rm{p}}A}} - {E_{{\rm{p}}B}}

= {E_{{\rm{p}}A}} - {E_{{\rm{p}}B}}

第四节

电势电势能

一、电势能

电场力做正功，电荷的电势能减少；电场力做负功，电荷的电势能增加

二、电场力做功与电势能变化之间的关系

{W_{AB}} = - \Delta {E_{\rm{p}}} = {E_{{\rm{p}}A}} - {E_{{\rm{p}}B}}

{W_{AB}} = - \Delta {E_{\rm{p}}} = {E_{{\rm{p}}A}} - {E_{{\rm{p}}B}}

将点电荷在电场中由 $A$ 点移到 $B$ ，电场力做功

电场力做功与路径无关，只与电荷的初始位置和终止位置有关

第四节

电势电势能

二、电场力做功与电势能变化之间的关系

如图所示，在电场中沿电场线有 $A$ 、 $B$ 两点。若将一个负电荷 $q_1$ 从 $A$ 移至无穷远处，电场力做了 $-3.0×10^{-6} \rm{J}$ 的功；若将此电荷 $q_1$ 从 $B$ 移至无穷远处，电场力做了 $-1.5×10^{−6} \rm{J}$ 的功。求：

该电荷在 $A$ 、 $B$ 两点的电势能 $E_{pA}$ 、 $E_{pB}$ 分别为多大？两者哪个大？

书本 P22 示例 1 改编

第四节

电势电势能

在电场中的同一位置， $q$ 不同的电荷电势能 $E_{\rm{p}}$ 也不同，但比值 $\frac{{{E_{\rm{p}}}}}{{q}}$ 却是相同的

如何从能量的角度描述电场的性质

$m$

在同一高度， $m$ 不同的物体重力势能 $E_{\rm{p}}$ 也不同，但比值 $\frac{{{E_{\rm{p}}}}}{{mg}} = h$ 却是相同的

$2m$

$3m$

$E_{\rm{p}}$

$2E_{\rm{p}}$

$3E_{\rm{p}}$

类比

$E_{\rm{p}}$

$q$

$2q$

$3q$

$2E_{\rm{p}}$

$3E_{\rm{p}}$

这个比的能从能量角度反映电场的性质

注意

这个比是由电场本身决定，与试探电荷 $q$ 无关

第四节

电势电势能

三、电势

任意一点电荷的电势能 $E_p$ 和它所带的电荷量 $q$ 之比叫做这一点的电势。电势通常用符号 $φ$ 来表示，则

电势 $\varphi$ 是标量。通常取无穷远处（或大地表面）电势为零。

φ = \frac{E_p}{q}

φ = \frac{E_p}{q}

注意

电势由电场本身决定，与试探电荷 $q$ 无关

单位：伏特（伏），用符号 $\rm{V}$ 表示， $1\;\rm{V} = 1 \;\rm{J/C}$

如何从能量的角度描述电场的性质

第四节

电势电势能

如图所示，在电场中沿电场线有 $A$ 、 $B$ 两点。若将一个电荷量为 $1×10^{−8} \rm{C}$ 的负电荷 $q$ 从 $A$ 移至无穷远处，电场力做了 $-3.0×10^{-6} \rm{J}$ 的功；若将此电荷从 $B$ 移至无穷远处，克服电场力做了 $1.5×10^{−6} \rm{J}$ 的功。求：