Introdução à Análise Combinatória
Como serão nossas aulas?
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Tenta fazer antes da resolução :)
Não tenha medo de errar! Faz parte e te ensina de verdade 🦆
Obrigado e até a próxima aula!
Introdução à Análise Combinatória
O Princípio Aditivo e o Princípio Fundamental da Contagem
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- PFC = adicionar um depois do número que você tiver contando.
- Na faculdade, você aprenderá a contar acima do número 10
Obrigado e até a próxima aula!
😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂😂
😜
- O Princípio Fundamental da Contagem nos ensina a contar cenários possíveis de maneira rápida e prática
- De quantas maneiras joãozin pode... ?
- De quantas formas maria consegue... ?
- Quantas comissões de turma distintas podem ser formadas...?
- As vezes é simples. Em outra ocasiões, você passaria um século pra descobrir a resposta manualmente!
Antes de vermos o PFC, precisamos entender um outro princípio
🤔
Humor 😂
Reflexiva 😯
Elevador de q.i 🤯
De quantas maneiras Rafapel pode assistir uma série de humor ou elevadora de q.i?
🤔
Humor 😂
Reflexiva 😯
Elevador de q.i 🤯
De quantas maneiras Rafapel pode assistir uma série de humor ou elevadora de q.i?
- 3 séries de humor
- 2 elevadoras de q.i
- São 5 maneiras diferentes
O Princípio Aditivo
"Se o conjunto A possui m elementos e o conjunto B possui p elementos, há m + p possibilidades de se escolher um elemento do conjunto A ou B
- Conjunto A (séries de humor) = {Community, The Office, B99 }
3 elementos nesse conjunto
- Conjunto B (elevadoras de q.i) = {Carrossel, SuperNanny}
- Conjunto A (séries de humor) = {Community, The Office, B99 }
2 elementos nesse conjunto
3 + 2 = 5
Obs.: perceba que não há intersecção
A
B
3 elementos
2 elementos
U
Em outras palavras, somamos os elementos dos dois conjuntos sem nenhuma dificuldade
Obrigado e até a próxima aula!
Introdução à Análise Combinatória
O Princípio Aditivo com Intersecção
🤔
Humor 😂
Reflexiva 😯
Elevador de q.i 🤯
De quantas maneiras Rafapel pode assistir uma série reflexiva ou elevadora de q.i?
- 4 séries reflexivas
- 3 séries elevadoras de q.i
- Então o resultado é 7??
Perceba que agora há interseção!
A
B
4 elementos
3 elementos
U
Perceba que agora há interseção!
A
B
U
De quantas maneiras Rafapel pode assistir uma série reflexiva ou elevadora de q.i?
- Exclusivo A = 3
- Intersecção = 1
- Exclusivo B = 2
3+1+2 = 6 formas de assistir
Perceba que agora há interseção!
A
B
U
De quantas maneiras Rafapel pode assistir uma série reflexiva ou elevadora de q.i?
- Exclusivo A = 3
- Intersecção = 1
- Exclusivo B = 2
3+1+2 = 6 formas de assistir
Nesses casos, somamos os elementos dos dois conjuntos e subtraímos o número de elementos na intersecção
- Conjunto A = 4
Perceba que agora há interseção!
A
B
U
De quantas maneiras Rafapel pode assistir uma série reflexiva ou elevadora de q.i?
- Exclusivo A = 3
- Intersecção = 1
- Exclusivo B = 2
3+1+2 = 6 formas de assistir
Nesses casos, somamos os elementos dos dois conjuntos e subtraímos o número de elementos na intersecção
- Conjunto A = 4
- Conjunto B = 3
Perceba que agora há interseção!
A
B
U
De quantas maneiras Rafapel pode assistir uma série reflexiva ou elevadora de q.i?
- Exclusivo A = 3
- Intersecção = 1
- Exclusivo B = 2
3+1+2 = 6 formas de assistir
Nesses casos, somamos os elementos dos dois conjuntos e subtraímos o número de elementos na intersecção
- Conjunto A = 4
- Conjunto B = 3
- Intersecção = 1
4 + 3 - 1 = 6
Praticando mais um pouco...
Praticando mais um pouco...
Humor 😂
Reflexiva 😯
- Somar os dois conjuntos
- Subtrair a intersecção
- 7 + 8 = 15
- 15 - 4 = 11
Praticando mais um pouco...
Humor 😂
Reflexiva 😯
- Somar os dois conjuntos
- Subtrair a intersecção
A
B
7 elementos
8 elementos
U
Praticando mais um pouco...
Humor 😂
Reflexiva 😯
- Somar os dois conjuntos
- Subtrair a intersecção
A
B
U
3 + 4 + 4 = 11
Obrigado e até a próxima aula!
Introdução à Análise Combinatória
O Princípio Fundamental da Contagem
Reflexiva 😯
Elevador de q.i 🤯
De quantas maneiras Rafapel pode assistir uma série reflexiva e uma elevadora de q.i no mesmo fim de semana?
Obs.: perceba que a ordem em que eu maratonar as séries no fim de semana não importa aqui nesse enunciado
Reflexiva 😯
Elevador de q.i 🤯
De quantas maneiras Rafapel pode assistir uma série reflexiva e uma elevadora de q.i no mesmo fim de semana?
Obs.: perceba que a ordem em que eu maratonar as séries no fim de semana não importa aqui nesse enunciado
Reflexiva 😯
Elevador de q.i 🤯
De quantas maneiras Rafapel pode assistir uma série reflexiva e umaelevadora de q.i no mesmo fim de semana?
Obs.: perceba que a ordem em que eu maratonar as séries no fim de semana não importa aqui nesse enunciado
- Better Call Saul, Carrossel
- Better Call Saul, SuperNanny
- Breaking Bad, Carrossel
- Breaking Bad, SuperNanny
- Madmen, Carrossel
- Madmen, SuperNanny
6 maneiras diferentes
Reflexiva 😯
Elevador de q.i 🤯
- Better Call Saul, Carrossel
- Better Call Saul, SuperNanny
- Breaking Bad, Carrossel
- Breaking Bad, SuperNanny
- Madmen, Carrossel
- Madmen, SuperNanny
6 maneiras diferentes
Reflexiva 😯
Elevador de q.i 🤯
- O que você acabou de ver se chama Árvore de Possibilidades
- Se você reparar, é uma maneira de visualizar
- Para chegar ao mesmo resultado, bastaria multiplicar o número de séries reflexivas pelo número se séries elevadoras de q.i
- 3 x 2 = 6
Reflexiva 😯
Elevador de q.i 🤯
- SuperNanny, Breaking Bad
6 maneiras diferentes
Reflexiva 😯
Elevador de q.i 🤯
- O que você acabou de ver se chama Árvore de Possibilidades
- Se você reparar, é uma maneira de visualizar
- Para chegar ao mesmo resultado, bastaria multiplicar o número de séries reflexivas pelo número se séries elevadoras de q.i
- 3 x 2 = 6
- SuperNanny, Madmen
- SuperNanny, Better call saul
- Carrossel, breaking bad
- Carrossel, madmen
- Carrossel, better call saul
"A ordem dos tratores não altera o viaduto a ordem dos fatores não altera o resultado"
- Walter White
PFC: se uma decisão D1 pode ser tomada de m maneiras e uma decisão D2 pode ser tomada de p maneira, o número de maneiras de se tomar a decisão D1 e a decisão D2 é igual a M x P (supondo que são decisões independentes)
Traduzindo...
- D1 = escolher série reflexiva
- m possibilidades = 3 séries
- D2 = escolher série elevadora de q.1
- n possibilidades = 2 séries
D1 e D2
- M x N = total de maneiras
- 3 x 2 = 6
Obrigado e até a próxima aula!
Introdução à Análise Combinatória
Praticando um Pouco
- Eu quero criar uma senha de dois dígitos
- Só posso usar os seguintes números: 1, 2, 3
- Quantas senhas são possíveis?
- 11
- 12
- 13
- 21
- 22
- 23
- 31
- 32
- 33
9 senhas possíveis
- Agora posso usar os números: 1, 2, 3, 4
- Quantas senhas são possíveis?
- 11
- 12
- 13
- 14
- 21
- 22
- 23
- 24
- 31
- 32
- 33
- 34
- 41
- 42
- 43
- 44
16 senhas possíveis
3x3 = 9
4x4 = 16
Ué, mas e aquela história de que a ordem não importa no PFC?
Algarismos pras dezenas
Algarismos pras unidades
1, 2 e 3
1, 2 e 3
m = 3 elementos
n = 3 elementos
M x N = 3 x 3 = 9
- Better Call Saul, Carrossel
- Carrossel, Better Call Saul
=
- 12
- 21
=
A gente usou a exata mesma fórmula!!! Como é possível essa discrepância?
Escolhendo primeiro o algarismo da dezena e depois o da unidade
Encontramos 9 possibilidades de senhas
Escolhendo primeiro o algarismo da unidade e depois o da dezena
Encontramos 9 possibilidades de senhas
Quantos senhas de 2 dígitos existem?
6
1
Quantos senhas de 2 dígitos existem?
6
1
6
6
Quantos senhas de 2 dígitos existem?
6
9
Árvore de possibilidades?
Quantos senhas de 2 dígitos existem?
Primeiro Dígito
Segundo Dígito
Quantos senhas de 3 dígitos existem?
6
6
1
Quantos senhas de 3 dígitos existem?
6
6
1
Quantos senhas de 3 dígitos existem?
5
4
3
Quantos senhas de 3 dígitos existem?
0
0
0
O PFC nos ajuda a resolver!
0
0
0
- 0
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 0
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 0
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
O PFC nos ajuda a resolver!
10 possibilidades
10 possibilidades
10 possibilidades
O PFC nos ajuda a resolver!
10 possibilidades
10 possibilidades
10 possibilidades
X
X
Existem 1000 senhas formados por 3 dígitos
Quantos números formados por 3 dígitos existem?
Quantos números formados por 3 dígitos existem?
0
0
0
- 0
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 0
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 0
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
O primeiro dígito não pode ser 0
- 099 = 99
- 061 = 61
Quantos números formados por 3 dígitos existem?
10
10
9
O primeiro dígito não pode ser 0
- 099 = 99
- 061 = 61
900
=
Obrigado e até a próxima aula!
Introdução à Análise Combinatória
Praticando um pouco + o Método Destrutivo
Quantos senhas de 4 dígitos existem com todos os algarismos distintos?
Quantos senhas de 4 dígitos existem com todos os algarismos distintos?
Existem 10 números possíveis para o primeiro dígito
Existem 9 números possíveis para o segundo dígito
Você acabou de usar um no primeiro dígito e não pode repetir nenhum
Existem 8 números possíveis para o terceiro dígito
Existem 7 números possíveis para o quarto dígito
Quantos senhas de 4 dígitos existem com todos os algarismos distintos?
Existem 10 números possíveis para o primeiro dígito
Existem 9 números possíveis para o segundo dígito
Existem 8 números possíveis para o terceiro dígito
Existem 7 números possíveis para o quarto dígito
Quantos senhas de 4 dígitos existem com todos os algarismos distintos?
Existem 10 números possíveis para o primeiro dígito
Existem 9 números possíveis para o segundo dígito
Existem 8 números possíveis para o terceiro dígito
Existem 7 números possíveis para o quarto dígito
10x9x8x7 = 5040
Quantos números de 4 dígitos existem com todos os algarismos distintos?
Para o primeiro dígito, existem 9 possibilidades, pois o primeiro dígito não pode ser 0
Aqui, todos os algarismos estão liberados, então seriam 10. Porém, lembre-se de que já usamos um algarismo no primeiro dígito. Logo, são 9 possíveis
Agora temos 8 dígitos possíveis
Agora temos 7 dígitos possíveis
9x9x8x7 = 4536
Quantos números de 4 dígitos existem com pelo menos dois algarismos iguais?
Quantos números de 4 dígitos existem com pelo menos dois algarismos iguais?
sou lerdo
Total de números de 4 dígitos
Números de 4 dígitos com todos os algarismos distintos
Números de 4 dígitos pelo menos dois algarismos iguais
Nºs de 4 dígitos com tds algarismos distintos
Total de números de 4 dígitos
=
Nºs de 4 dígitos com plmns 2 algarismos distintos
+
Total de números de 4 dígitos
Números de 4 dígitos com todos os algarismos distintos
Números de 4 dígitos pelo menos dois algarismos iguais
Nºs de 4 dígitos com tds algarismos distintos
Total de números de 4 dígitos
=
Nºs de 4 dígitos com plmns 2 algarismos distintos
-
Nºs de 4 dígitos com tds algarismos distintos
Total de números de 4 dígitos
=
Nºs de 4 dígitos com plmns 2 algarismos distintos
-
Nºs de 4 dígitos com tds algarismos distintos
Total de números de 4 dígitos
=
Nºs de 4 dígitos com plmns 2 algarismos distintos
-
9
10
10
10
9000
9
9
8
7
4536
=
4464
Método Destrutivo: em vez de calcular diretamente o que você quer retirar, retire do total de possibilidades aquilo que você não quer encontrar. Assim, vai sobrar justamente o que você quer encontrar. É um método para ganhar tempo nas resoluções
Obrigado e até a próxima aula!
Arranjo e Permutação
Fatorial N!
Quantos senhas de 10 dígitos distintos existem?
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Número
10!
- 5! = 5x4x3x2x1
- 4! = 4x3x2x1
- 3! = 3x2x1
- 2! = 2x1
- 1! = 1
- 0! = 1
Em breve você entenderá o motivo!