Permutação e Arranjo

Permutação

Vai, faz a fila

A) Quantas possibilidades existem para uma fila com uma pessoa?

  • 1 pessoa = 1 maneira

Vai, faz a fila

B) Quantas possibilidades existem para uma fila com duas pessoas?

  • 1 pessoa = 1 maneira
  • 2 pessoas = 2 maneiras

Fila 1

Fila 2

Vai, faz a fila

C) Quantas possibilidades existem para uma fila com três pessoas?

  • 1 pessoa = 1 maneira
  • 2 pessoas = 2 maneiras
  • 3 pessoas = 6 maneiras

Fila 1

Fila 2

Fila 3

Fila 4

Fila 5

Fila 6

Vai, faz a fila

  • 1 pessoa = 1 maneira
  • 2 pessoas = 2 maneiras
  • 3 pessoas = 6 maneiras
  • 1 pessoa = 1 maneira
  • 2 pessoas =

2 maneiras

x 2

  • 3 pessoas =

6 maneiras

x 3

  • 4 pessoas =

24 maneiras

x 4

1ª posição na fila

1ª posição na fila

3ª posição na fila

2ª posição na fila

4ª posição na fila

4

1

2

3

X

X

X

24 maneiras

1ª posição na fila

1ª posição na fila

3ª posição na fila

2ª posição na fila

4ª posição na fila

4

1

2

3

X

X

X

4! = 4x3x2x1=24

5! = 5x4!

Permutação simples de N elementos são as várias sequências desses N elementos que podem ser formadas, nas quais a única diferença é a ordem dos elementos.

O número de permutações simples de uma sequência de n elementos é definindo por:

P = N!

Dito isso, o que justifica o valor de 0! ?

D) De quantas maneiras podemos organizar uma fila com zero pessoas?

  • A resposta é 1
  • Uma fila vazia!

Dito isso, o que justifica o valor de 0! ?

Dito isso, o que justifica o valor de 0! ?

Dito isso, o que justifica o valor de 0! ?

Dito isso, o que justifica o valor de 0! ?

Dito isso, o que justifica o valor de 0! ?

Dito isso, o que justifica o valor de 0! ?

Dito isso, o que justifica o valor de 0! ?

Obrigado e até a próxima aula!

Permutação e Arranjo

Anagramas

Quantos anagramas existem da palavra "uepa"?

4 letras: u, e, p, a

4! = 4x3x2x1

= 24

Permutação simples de N elementos são as várias sequências desses N elementos que podem ser formadas, nas quais a única diferença é a ordem dos elementos.

O número de permutações simples de uma sequência de n elementos é definindo por:

P = N!

Árvore de Possibilidades

Quantos anagramas começados em A existem da palavra "uepa"?

1

3

2

1

X

X

X

1x3! = 6

Começar pelas restrições!

Quantos anagramas existem da palavra "caderno" nos quais a primeira e a última letra são vogais?

Começar pelas restrições!!!

Lista de vogais:

A, E, O

3

2

Aqui, temos 3 opções de vogais

Aqui temos 2 opções de vogais, pois já usamos uma

5

3

4

1

2

5!

3

2

X

X

3x120x2 = 720

Obrigado e até a próxima aula!

Permutação e Arranjo

Permutação com Repetição

Quantos anagramas existem da palavra "lama"?

  • LAMA
  • ALMA
  • MALA

4!  ??

Se fizéssemos dessa forma, estaríamos contanto mais de uma vez a mesma palavra

A

L

M

A

Quantos anagramas existem da palavra "lama"?

  • LAMA
  • ALMA
  • MALA

4!  ??

Se fizéssemos dessa forma, estaríamos contanto mais de uma vez a mesma palavra

A

L

M

A

A

L

M

A

Perceba que estamos fazendo a permutação desses dois elementos

A

L

M

A

A

L

M

A

Perceba que estamos fazendo a permutação desses dois elementos

  • P = N!
  • P = 2!
  • P = 2
  • A permutação de 4 elementos é 4!
  • Mas, como não queremos palavras repetidas, devemos desconsiderar as permutações das letras A
  • Nós fazemos isso dividindo o total pelo valor da permutação das letras A

4!

2!

=

4x3x2!

2!

=

12

  • ALMA
  • ALAM
  • AMAL
  • AMLA
  • AAML
  • AALM
  • MALA
  • MLAA
  • MAAL
  • LAMA
  • LMAA
  • LAAM

Visualizando

Quantos anagramas existem da palavra "anagrama"?

  • ANAGRAMA

8 letras no total

8!

A letra A aparece 4 vezes

4!

8!

4!

8x7x6x5x4!

4!

=

=

1680

=

Quantos anagramas existem da palavra "paralelepipedo"?

  • Paralelepipedo

14 letras no total

14!

  • A letra A aparece 2 vezes
  • A letra P aparece 3 vezes
  • A letra L aparece 2 vezes
  • A letra e aparece 3 vezes

2! x 3! x 2! 3!

14!

3!x3!x2!x2!

14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3!

=

1680

3!x3!x2!x2!

14!

3!x3!x2!x2!

14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3!

=

1680

3!x3!x2!x2!

Vamo simplificar!!!

14!

3!x3!x2!x2!

14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3!

=

1680

3!x3!x2!x2!

Vamo simplificar!!!

14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3!

3!x3!x2!x2!

14x13x12x11x5x9x4x7x5x4

605.404.800

Obrigado e até a próxima aula!

Permutação e Arranjo

Permutação Circular

Até agora, estávamos estudando apenas filas... mas e se fosse algo circular?

Até agora, estávamos estudando apenas filas... mas e se fosse algo circular?

É só fazer 4! para descobrir?

Até agora, estávamos estudando apenas filas... mas e se fosse algo circular?

É só fazer 4! para descobrir?

Até agora, estávamos estudando apenas filas... mas e se fosse algo circular?

É só fazer 4! para descobrir?

Até agora, estávamos estudando apenas filas... mas e se fosse algo circular?

É só fazer 4! para descobrir?

Não! Se você fizer assim, vai contar várias vezes configurações que são iguais

Até agora, estávamos estudando apenas filas... mas e se fosse algo circular?

Até agora, estávamos estudando apenas filas... mas e se fosse algo circular?

Até agora, estávamos estudando apenas filas... mas e se fosse algo circular?

Até agora, estávamos estudando apenas filas... mas e se fosse algo circular?

Até agora, estávamos estudando apenas filas... mas e se fosse algo circular?

A gente deve fixar alguém na análise

1ª Possibilidade

  • Andy na esquerda
  • Michael na direita

Até agora, estávamos estudando apenas filas... mas e se fosse algo circular?

A gente deve fixar alguém na análise

1ª Possibilidade

  • Andy na esquerda
  • Michael na direita

2ª Possibilidade

  • Michael na esquerda
  • Andy na direita

Até agora, estávamos estudando apenas filas... mas e se fosse algo circular?

A gente deve fixar alguém na análise

Fixando alguém na análise

Agora é só fazer uma permutação desses três elementos

3! = 3x2x1

= 6

Até agora, estávamos estudando apenas filas... mas e se fosse algo circular?

A gente deve fixar alguém na análise

Fixando alguém na análise

A Fórmula da permutação circular é:

Pc = (N-1)!

Obrigado e até a próxima aula!

Arranjo

Fazendo uma fila com quem participou dos slides até aqui!

  • Uma fila com todos esses seria igual a 7!
  • Porém, na fila que vamos montar só podem participar 4 pessoas

7

6

5

4

X

X

X

=

840

Conjunto =

{

}

N elementos

N = 7 elementos

K "vagas"

K = 4

A

n,k

=

N!

(N-K)!

7!

(7-4)!

=

7!

3!

7x6x5x4x3!

3!

=

7

5

6

4

Obrigado e até a próxima aula!

Permutação e Arranjo

Praticando um Pouco

A) Utilizando as letras da palavra "capítulo", quantas palavras de 5 letras podem ser formadas?

8

4

5

6

7

6720

A8,5 =

8!

(8-5)!

=

8x7x6x5x4x3!

3!

=

6720

A) Utilizando as letras da palavra "capítulo", quantas palavras de 8 letras podem ser formadas?

A8,8 =

8!

(8-8)!

8!

0!

=

=

8!

1

A fórmula de permutação é, na verdade, uma fórmula de arranjo em que N é igual a K, ou seja, em que todos os elementos do conjunto são utilizados

Obrigado e até a próxima aula!

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