Permutação e Arranjo
Permutação
Vai, faz a fila
A) Quantas possibilidades existem para uma fila com uma pessoa?
- 1 pessoa = 1 maneira
Vai, faz a fila
B) Quantas possibilidades existem para uma fila com duas pessoas?
- 1 pessoa = 1 maneira
- 2 pessoas = 2 maneiras
Fila 1
Fila 2
Vai, faz a fila
C) Quantas possibilidades existem para uma fila com três pessoas?
- 1 pessoa = 1 maneira
- 2 pessoas = 2 maneiras
- 3 pessoas = 6 maneiras
Fila 1
Fila 2
Fila 3
Fila 4
Fila 5
Fila 6
Vai, faz a fila
- 1 pessoa = 1 maneira
- 2 pessoas = 2 maneiras
- 3 pessoas = 6 maneiras
- 1 pessoa = 1 maneira
- 2 pessoas =
2 maneiras
x 2
- 3 pessoas =
6 maneiras
x 3
- 4 pessoas =
24 maneiras
x 4
1ª posição na fila
1ª posição na fila
3ª posição na fila
2ª posição na fila
4ª posição na fila
4
1
2
3
X
X
X
24 maneiras
1ª posição na fila
1ª posição na fila
3ª posição na fila
2ª posição na fila
4ª posição na fila
4
1
2
3
X
X
X
4! = 4x3x2x1=24
5! = 5x4!
Permutação simples de N elementos são as várias sequências desses N elementos que podem ser formadas, nas quais a única diferença é a ordem dos elementos.
O número de permutações simples de uma sequência de n elementos é definindo por:
P = N!
Dito isso, o que justifica o valor de 0! ?
D) De quantas maneiras podemos organizar uma fila com zero pessoas?
- A resposta é 1
- Uma fila vazia!
Dito isso, o que justifica o valor de 0! ?
Dito isso, o que justifica o valor de 0! ?
Dito isso, o que justifica o valor de 0! ?
Dito isso, o que justifica o valor de 0! ?
Dito isso, o que justifica o valor de 0! ?
Dito isso, o que justifica o valor de 0! ?
Dito isso, o que justifica o valor de 0! ?
Obrigado e até a próxima aula!
Permutação e Arranjo
Anagramas
Quantos anagramas existem da palavra "uepa"?
4 letras: u, e, p, a
4! = 4x3x2x1
= 24
Permutação simples de N elementos são as várias sequências desses N elementos que podem ser formadas, nas quais a única diferença é a ordem dos elementos.
O número de permutações simples de uma sequência de n elementos é definindo por:
P = N!
Árvore de Possibilidades
Quantos anagramas começados em A existem da palavra "uepa"?
1
3
2
1
X
X
X
1x3! = 6
Começar pelas restrições!
Quantos anagramas existem da palavra "caderno" nos quais a primeira e a última letra são vogais?
Começar pelas restrições!!!
Lista de vogais:
A, E, O
3
2
Aqui, temos 3 opções de vogais
Aqui temos 2 opções de vogais, pois já usamos uma
5
3
4
1
2
5!
3
2
X
X
3x120x2 = 720
Obrigado e até a próxima aula!
Permutação e Arranjo
Permutação com Repetição
Quantos anagramas existem da palavra "lama"?
- LAMA
- ALMA
- MALA
4! ??
Se fizéssemos dessa forma, estaríamos contanto mais de uma vez a mesma palavra
A
L
M
A
Quantos anagramas existem da palavra "lama"?
- LAMA
- ALMA
- MALA
4! ??
Se fizéssemos dessa forma, estaríamos contanto mais de uma vez a mesma palavra
A
L
M
A
A
L
M
A
Perceba que estamos fazendo a permutação desses dois elementos
A
L
M
A
A
L
M
A
Perceba que estamos fazendo a permutação desses dois elementos
- P = N!
- P = 2!
- P = 2
- A permutação de 4 elementos é 4!
- Mas, como não queremos palavras repetidas, devemos desconsiderar as permutações das letras A
- Nós fazemos isso dividindo o total pelo valor da permutação das letras A
4!
2!
=
4x3x2!
2!
=
12
- ALMA
- ALAM
- AMAL
- AMLA
- AAML
- AALM
- MALA
- MLAA
- MAAL
- LAMA
- LMAA
- LAAM
Visualizando
Quantos anagramas existem da palavra "anagrama"?
- ANAGRAMA
8 letras no total
8!
A letra A aparece 4 vezes
4!
8!
4!
8x7x6x5x4!
4!
=
=
1680
=
Quantos anagramas existem da palavra "paralelepipedo"?
- Paralelepipedo
14 letras no total
14!
- A letra A aparece 2 vezes
- A letra P aparece 3 vezes
- A letra L aparece 2 vezes
- A letra e aparece 3 vezes
2! x 3! x 2! 3!
14!
3!x3!x2!x2!
14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3!
=
1680
3!x3!x2!x2!
14!
3!x3!x2!x2!
14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3!
=
1680
3!x3!x2!x2!
Vamo simplificar!!!
14!
3!x3!x2!x2!
14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3!
=
1680
3!x3!x2!x2!
Vamo simplificar!!!
14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3!
3!x3!x2!x2!
14x13x12x11x5x9x4x7x5x4
605.404.800
Obrigado e até a próxima aula!
Permutação e Arranjo
Permutação Circular
Até agora, estávamos estudando apenas filas... mas e se fosse algo circular?
Até agora, estávamos estudando apenas filas... mas e se fosse algo circular?
É só fazer 4! para descobrir?
Até agora, estávamos estudando apenas filas... mas e se fosse algo circular?
É só fazer 4! para descobrir?
Até agora, estávamos estudando apenas filas... mas e se fosse algo circular?
É só fazer 4! para descobrir?
Até agora, estávamos estudando apenas filas... mas e se fosse algo circular?
É só fazer 4! para descobrir?
Não! Se você fizer assim, vai contar várias vezes configurações que são iguais
Até agora, estávamos estudando apenas filas... mas e se fosse algo circular?
Até agora, estávamos estudando apenas filas... mas e se fosse algo circular?
Até agora, estávamos estudando apenas filas... mas e se fosse algo circular?
Até agora, estávamos estudando apenas filas... mas e se fosse algo circular?
Até agora, estávamos estudando apenas filas... mas e se fosse algo circular?
A gente deve fixar alguém na análise
1ª Possibilidade
- Andy na esquerda
- Michael na direita
Até agora, estávamos estudando apenas filas... mas e se fosse algo circular?
A gente deve fixar alguém na análise
1ª Possibilidade
- Andy na esquerda
- Michael na direita
2ª Possibilidade
- Michael na esquerda
- Andy na direita
Até agora, estávamos estudando apenas filas... mas e se fosse algo circular?
A gente deve fixar alguém na análise
Fixando alguém na análise
Agora é só fazer uma permutação desses três elementos
3! = 3x2x1
= 6
Até agora, estávamos estudando apenas filas... mas e se fosse algo circular?
A gente deve fixar alguém na análise
Fixando alguém na análise
A Fórmula da permutação circular é:
Pc = (N-1)!
Obrigado e até a próxima aula!
Arranjo
Fazendo uma fila com quem participou dos slides até aqui!
- Uma fila com todos esses seria igual a 7!
- Porém, na fila que vamos montar só podem participar 4 pessoas
7
6
5
4
X
X
X
=
840
Conjunto =
{
}
N elementos
N = 7 elementos
K "vagas"
K = 4
A
n,k
=
N!
(N-K)!
7!
(7-4)!
=
7!
3!
7x6x5x4x3!
3!
=
7
5
6
4
Obrigado e até a próxima aula!
Permutação e Arranjo
Praticando um Pouco
A) Utilizando as letras da palavra "capítulo", quantas palavras de 5 letras podem ser formadas?
8
4
5
6
7
6720
A8,5 =
8!
(8-5)!
=
8x7x6x5x4x3!
3!
=
6720
A) Utilizando as letras da palavra "capítulo", quantas palavras de 8 letras podem ser formadas?
A8,8 =
8!
(8-8)!
8!
0!
=
=
8!
1
A fórmula de permutação é, na verdade, uma fórmula de arranjo em que N é igual a K, ou seja, em que todos os elementos do conjunto são utilizados