最短路徑問題

Relaxation

(a, b)

(a, b)

假設存在一條邊，邊權為

從起點到兩點的路徑長分別為

在的時候，就可以更新起點到的路徑

W_{ab}

W_{ab}

a, b

a, b

L_{a}, L_{b}

L_{a}, L_{b}

L_{a}+W_{ab} < L_{b}

L_{a}+W_{ab} < L_{b}

b

b

Bellman-Ford Algorithm

單點源最短路徑
邊權可以是負數
如果一張圖沒有負環，那最短路徑最多只能包含條邊，所以窮舉次就好了

V-1

V-1

V-1

V-1

Dijkstra's Algorithm

單點源最短路徑
邊權都非負
有種 Prim's algorithm 的感覺
如果有一個部分完成的最短路徑樹，則加入目前離根最近而且不在樹上的點
複雜度

O(E log V)

O(E log V)

int dis[V] = INF;
bool in_tree[V] = false;
void dijkstra(int source){
    priority_queue<node> pq;
    pq.push((node){dis[source] = 0, source});
    while(!pq.empty()){
        if(in_tree[pq.top().vertex]){
            pq.pop();
            continue;
        }
        now = pq.top().vertex;
        for(int i = 0; i < edge[now].size(); i++){
            next = edge[now][i];
            if(dis[now]+weight(now, next) < dis[next]){
                pq.push((node){dis[next] = dis[now]+weight(now, next), next});
            }
        }
    }
}

Floyd-Warshall Algorithm

全點對最短路徑
可以有負權
在一個路徑上，考慮一個一個中繼點，把「由點中途經過前點抵達點的最短路徑長」拿來 DP，就得到轉移式：
複雜度

dp_{k,i,j} = min(dp_{k-1,i,k}+dp_{k-1,k,j}, dp_{k-1,i,j})

dp_{k,i,j} = min(dp_{k-1,i,k}+dp_{k-1,k,j}, dp_{k-1,i,j})

i

i

k

k

j

j

O(V^{3})

O(V^{3})

int weight[V][V], dis[V][V];
void floyd_warshall(){
    for(int i = 0; i < V; i++)
        dis[i][i] = 0;
    for(int k = 0; k < V; k++)
        for(int i = 0; i < V; i++)
            for(int j = 0; j < V; j++)
                if(dis[i][j] > dis[i][k] + dis[k][j])
                    dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
}

Graph

最短路徑問題

Relaxation

Bellman-Ford Algorithm

Dijkstra's Algorithm

Floyd-Warshall Algorithm

Exercises