Chen Avin, Kaushik Mondal, Stefan Schmid

Forgalom igény tudatos hálózat tervezés minimális torlódással és úthosszal

Szecsődi Imre

Megjegyzés

• A prezentáció elkészítéséhez a cikk [21] számú referenciája is fel lett használva
• M. Ghobadi et al. Projector: Agile reconfigurable data center interconnect. In Proc. ACM SIGCOMM, pages 216–229, 2016.

Motiváció

• A technika előrehaladásával egyre nagyobb lett a feldolgozandó adatok mennyisége
• Adattárházakban a szerverek közötti kommunikáció is ezáltal megnövekedett
• A jelenlegi hálózatok a legrosszabb esetre vannak tervezve, azaz, hogy majdnem teljes sávszélességű, kétirányú kapcsolat álljon fent bármelyik két szerver között
• A valós kommunikáció nem ezt a sémát követi, hanem túlnyomó részt megadott párok között történik a legtöbb kommunikáció

Microsoft adattárház statisztikák

• Nézzünk meg pár valós példát, Microsoft adattárházában  250 ezer szervert 5 production klaszterben elosztva

Hálózat tervezési stratégiák

• A technika fejlődésével elérhetővé váltak eszközök arra, hogy egy adott hálózatot újra konfiguráljunk, attól függően milyen terhelés éri
  • pl, korábbi kommunikációs minták alapján
• Két fő optimalizációs lehetőség van, legyen rövid az út (a) vagy legyen minimális a torlódás (b)
• A cikk bemutat egy módszert arra, hogy lehet mindkettőre majdnem optimális megoldást adni egyszerre (c)

Hálózat tervezési stratégiák

Adattárház hálózata

Potenciális módszerek újra konfigurálásra

Újra konfigurálás megvalósítása

• Átlag hálózatok statikusan vannak konfigurálva, nem  sok lehetőséget adva annak, hogy változtassunk
  • pl. Ethernet switch

Újra konfigurálás megvalósítása

• Optikai switchek már újra tudják konfigurálni magukat, de ezek "lassúak"

Újra konfigurálás megvalósítása

• Microsoft Research - ProjecToR, lézer segítségével kiváltani az optikai swticheket
  • 12 µs váltás idő ( 2500x gyorsabb mint egy optikai hálózati switch)

Forgalom igény tudatos hálózat tervezés probléma

• Vegyünk egy hálózatot meghatározott számú csomóponttal
• A hálózathoz tartozik egy demand mátrix, ami leírja a valószínűségét annak, hogy \(i\) forrásból mekkora eséllyel lesz adat küldve \(j\) célba
• A cél, hogy ezen adatból egy olyan hálózati séma készítése, ami kis torlódást és rövid utakat eredményez, ez mellett még skálázható is

Példa

Formális felírás

• Adott N darab csúcspont  V = {1, ..., N}, és egy kommunikációs séma \( M_D \), ami egy N×N mátrix
• A mátrix \((i, j)\) eleméhez tartozik egy \(p(i, j)\) valószínűség, ahol \(i\) a forrás csomópont és \(j\) a cél.
• A bemeneti mátrix ábrázolható egy irányított \(G_D\) gráfban, ahol az élsúlyok a két pont közötti kommunikációs valószínűség
• Az algoritmus feltétele, hogy a mátrix ritka legyen

Formális felírás

• Egy N hálózatra a torlódást és az úthosszt útválasztási sémával fogjuk definiálni
• Egy útválasztási séma az N hálózatra \(\Gamma(N)\), ami a \(\Gamma_{uv}\) utak halmaza, ahol \((u, v)\) párok különböző utakat jelölnek
• \(\Gamma_{uv}\) egy útsorozat, ami összeköti \(u\) pontot \(v\) ponttal

Torlódás

• (Definíció 1) A torlódást egy \(\Gamma(N)\) útválasztási sémán a \(D\) demand mátrix segítségével írjuk fel: \[C(D, \Gamma(N)) = \max_{e \in \Gamma(N)}  \sum_{e \in \Gamma(uv)} p(u,v) \]

Úthossz

• (Definíció 2) Az átlag súlyozott úthosszt egy \(\Gamma(N)\) útválasztási sémán a \(D\) demand mátrix segítségével írjuk fel: \[L(D, \Gamma(N)) = \sum_{(u,v) \in D}  p(u,v)  \cdot d_{\Gamma(N)}(u, v) \] ahol a \(d_{\Gamma(N)}(u, v)\) az útvonal hosszát jelöli

Skálázhatóság

• A hálózatot skálázhatóra kell tervezni, ezért meghatározunk egy \(\Delta\) konstans fokszámot, ami a maximális csatlakozások számát fogja meghatározni egy adott csomóponthoz
• \(N_\Delta\) jelölje az összes \(\Delta\) fokszámú gráfot, és elváruk, hogy \(N \in N_\Delta\)

Optimális torlódás és úthossz

• Az optimális torlódást egy  hálózatra, úgy határozzuk meg, hogy a csak a torlódást vesszük figyelembe számításkor \[C^*(D, \Delta) = \min_{N \in N_\Delta, \Gamma(N)} C(D, \Gamma(N))\]
• Az optimális úthosszt egy  hálózatra, úgy határozzuk meg, hogy a csak az úthosszt vesszük figyelembe számításkor \[L^*(D, \Delta) = \min_{N \in N_\Delta, \Gamma(N)} L(D, \Gamma(N))\]

cl-DAN hálózat tervezése

• (Definíció 3) Adott egy \(D\) demand mátrix, és egy \(\Delta\) maximális fokszám, az \((\alpha, \beta)\)-cl-DAN hálózat tervezési probléma:
  • Hogy tervezzünk egy olyan \(N \in N_\Delta\) hálózatot, és egy hozzá tartozó \(\Gamma(N)\) útválasztási sémát, ami közel optimális torlódásra és úthosszra is
• Az algoritmus egy felső korlátot tud adni arra, hogy mennyivel fog eltérni a megoldás az optimálistól
  • Torlódásra: \[C(D, \Gamma(N)) \le \alpha \cdot C^*(D, \Delta) + \alpha'\]
  • Úthosszra: \[L(D, \Gamma(N)) \le \beta \cdot L^*(D, \Delta) + \beta'\]

EgoTree - EgoFák

• Az Egofa egy torlódásra és úthosszra optimalizált fa hálózat egy csomópontra nézve
• Az Egotree-t definiáljuk a következő módon, \[EgoTree(s, \bar{p}, \Delta) \]
  • \(s\) a forrás csomópont
  • \(\bar{p}\) a szomszédainak eloszlásai
  • \(\Delta\) fokszám
• Ez közel optimális megoldást ad torlódásra és úthosszra

1. Tétel

• Adott egy  \(\bar{p}\) frekvencia eloszlás az \(s\) forrás ponthoz, és adott egy \(\Delta\) fokszám, ekkor az \(EgoTree(s, \bar{p}, \Delta)\) egy \((\alpha, \beta)\)-cl-DAN a következő paraméterekkel:
  • \(\alpha = \frac{4}{3}\)
  • \(\beta = log^2(\Delta + 1)\)

\(EgoTree(s, \bar{p}, \Delta)\) algoritmus

1. \(s\) a gyökér elem, \(\Delta\) fokszámmal, üres fa
2. Rendezzük sorba \(\bar{p} = \{p1, p2, ..., p_k\}\) valószínűségeket csökkenő sorrendben
3. Kezdjük rárakni a fára a csomópontokat, a gyökér elemre legfeljebb \(\Delta\) levél kerülhet
4. Mikor elértük a \(\Delta\) levelet, a következő csomópontokat mindig a legkisebb összesített súlyú levélre kapcsolok rá, itt már legfeljebb két levele lehet minden fának

Algoritmus elemzése

• A kapott eredményben látható, hogy a maximális torlódás a legnagyobb súlyú élen van
• Minimalizálni ezt, lényegében egy időzítés probléma, hogy osszuk ki a munkákat \(\Delta\) processzornak, hogy minden leghamarabb kész legyen
• Erre az optimális algoritmus NP-nehéz, de van közelítő módszer

Longest Processing Time (LPT)

• Először sorba rendezzük a feladatokat hossz szerint csökkenő sorrendben
• Ha van szabad processzor, akkor ahhoz rendeli a leghosszabb munkát
• Ha nincs akkor ahhoz a processzorhoz rendeli, ahol a legkevesebb ideig tart a munka
• (2. Tétel) Legyen \(\omega_L\) a maximum idő, mielőtt egy processzor befejezi az összes munkát a mohó LPT algoritmus szerint, és \(\omega_0\) az optimális, ekkor \[\frac{\omega_L}{\omega_0} \le \frac{4}{3} - \frac{1}{3\Delta}\]
• Ez az algoritmus polinom időben lefut

1. Tétel kiegészítése

• (1. Lemma) Az \(EgoTree(s, \bar{p}, \Delta)\) ad egy \(\frac{4}{3}\) szorzóval nagyobb közelítést a minimális torlódásra az optimális \(\Delta\) fokú fához képest, ami kiszolgál \(\bar{p}\) frekvencia eloszlást egy adott \(s\) forrás csomópontra
• (2. Lemma) Az \(EgoTree(s, \bar{p}, \Delta)\) ad egy \(log^2(\Delta + 1)\) szorzóval nagyobb közelítést a minimális úthosszra az optimális \(\Delta\) fokú fához képest, ami kiszolgál \(\bar{p}\) frekvencia eloszlást egy adott \(s\) forrás csomópontra

3. Tétel

• Legyen \(D\) egy szimmetrikus kommunikáció kéréseloszlás , ahol az átlag csúcs fokszáma \(\rho\), (azaz az élek száma \(\rho \cdot \frac{n}{2}\). Ekkor a maximum fokszám \(\Delta = 12\rho\), ehhez lehetséges generálni egy \((\alpha, \beta)\)-cl-DAN hálózatot, ahol
  • \(\alpha = 1 + (\frac{8}{9})\Delta\)
  • \(\beta = 1 + 4log^2(\Delta + 1)\)
• Konstans \(\rho\) esetén ez konstans közelítést ad a minimális torlódásra és az optimális úthosszra

\((\alpha, \beta)\)-cl-DAN algortimus

1. Felosszuk a hálózat csúcsait két halmazra, \(H\) - magas és \(L\) - alacsony fokszámúakra fele-fele arányban
   • Az alacsony fokszámú csúcsok fokszáma legfeljebb \(2\rho\)
2. Megkeressük az összes olyan \((u, v)\) élt, ahol \(u\) és \(v\) is a magas fokszámú halmazba tartozik
3. Az ilyen éleket a gráfban kiegészítjük egy segítő csomóponttal, \(l \in L\), az eredeti csomópontok között megszüntetjük az élt, és felveszünk két új élt \((u, l)\) és \((v, l)\)
   • Minden segítő \(l\) csúcs választásakor egy még nem felhasználtat válasszunk az \(L\) halmazból

\((\alpha, \beta)\)-cl-DAN algortimus

• 4. Meghatározunk egy mátrixot, ami első lépésben az eredeti
  • Ahol segítő csomópontot vettünk fel, ott az útvonal hosszúhoz hozzá kell még adni az \(l\)-el való áthaladást is, és törölni kell az eredeti pontok közti élt
  • Ezután elkészítjük a magas halmaz csúcsaira a \(T_u\) fát, ahol a valószínűségeket a mátrixból kiolvassuk, \(\Delta = 12\rho\) fokszámmal, ez közel optimális megoldást ad mindkét fel

\((\alpha, \beta)\)-cl-DAN algortimus

• 6. Konstruáljuk meg az új N hálózatot, vegyük az előbb készített egofákat és vegyük az uniójukat, azaz húzzuk be az összes olyan élet amik szerepeltek a fákban
  • De mivel nem csak magas fokú csomópontok közt történhetett adatforgalom, ezért még vegyük hozzá az N hálózathoz azokat az éleket is, ahol mindkét csomópont alacsony fokszámú volt

Köszönöm a figyelmet!