分塊

複習一下

當我們想要做RMQ(區間極值)時

我們會使用sparse table, 線段樹...

但其實有另一個做法，稱作分塊

分塊

每$K$格記錄答案

詢問

若有覆蓋到整塊->直接查

沒被蓋到的最多$2K$->暴力做

修改

只會影響到那塊

就暴力跑完，維護好答案

複雜度

詢問: $O(N/K+K)$

修改: $O(K)$

根據算幾不等式，$K+(N/K)\geq 2\sqrt{K\times (N/K)}$

等號成立條件: $K=N/K$

所以當$K=\sqrt N$時，複雜度最好

等等...

以前提到的BIT、線段樹複雜度都是$O(logN)$

比分塊更好，那分塊有什麼用?

• (可能)比較好寫
• 處理一些資料結構做不到或不好做的事

例題

中國人插隊問題

有 $N$ 筆操作

$1  x  id$: 編號為 $id$ 的人插隊到第 $x$ 個位置

$2  x$: 排在第 $x$ 個位置的人走了

$3  x$: 詢問排在第 $x$ 個位置的人的編號

Counting Triangles

給定一張圖，$N$個點$M$條邊

對於三個點 a, b, c (a<b<c)，若a,b和b,c和c,a之間都有邊

則 a, b, c 形成一個三角形。

請問整張圖總共有多少三角形?

$N,  M\leq 10^5$

Counting Triangles

假設我們可以$O(1)$回答$(x,y)$之間是否有一條邊

那麼對於圖上任意一點 $v$，可以

1. $O(M)$ 時間算出有多少個包含點 $v$ 的三角形
2. $O(d^2)$ 時間算出有多少個包含點 $v$ 的三角形     ($d$ 為 $v$ 的點度)

Counting Triangles

對於點度 $< K$ 的點，我們花 $O(\sum d_i^2)$ 時間做

$O(\sum d_i^2)=O(K\times \sum d_i)=O(K\times M)$

剩下的點花 $O(M\times C)$ 的時間做

定義 $C$ 為點度 $\geq K$ 的點數數量

可以得知，$C\leq 2M/K$

總複雜度: $O(K\times M+M^2/K)$

取 $K=\sqrt M$ 時有最好複雜度 $O(M\sqrt M)$

Codeforces 1207F

給一個長度為 $5\times 10^5$ 的序列(初始為全零)，有 $Q$ 筆操作

$1  x  y$ : 將第 $x$ 個數字加上 $y$

$2  x  y$ : 求序列中所有編號除以 $x$ 餘 $y$ 的數字和

$Q \leq 5\times 10^5$

https://codeforces.com/problemset/problem/1207/F

TIOJ 1674

給定數字 $N$，求 $\sum_{i=1}^{N} N  mod  i$

$N\leq 10^{13}$

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1674

2020 NPSC 初賽 pA

有 $N$ 個人，每 $x$ 個人一組，從 $1$ 號開始依序分。定義 $f(i)$ 為考慮 $x=1, x=2, ... , x=N$ 這 $N$ 種情況時，編號 $i$ 的人分不到組的狀況總數

給定 $L, R$，求$f(L), f(L+1), ... ,f(R)$

$1\leq N\leq 2^{40}$，$R-L\leq 3\times 10^5$

https://contest.cc.ntu.edu.tw/npsc2020/teamclient/semi_senior.pdf