Suites Numériques

Act 1 p 95 (Nathan 

Suites Numériques

1. Notion de suite numérique

1.1 Définition

Définition :

Une suite numérique est une liste indexée de nombres.
Elle a un premier terme, un deuxième terme, etc.

Exemples :

  •  La suite des multiples de 7 : 0, 7, 14, ....
  • La suite des nombres entiers impairs : 1, 3, 5, 7, . . .
  • La suite définie par 
u_n=n^2+1
un=n2+1u_n=n^2+1

Notations :

  • On utilise généralement les lettres u, v, w, . . . pour caractériser une suite.
  •       est appelé terme d’indice n (ou de rang n) de la suite.
  • La suite dans sa globalité est notée 
u_0
u0u_0
u\;ou\;(u_n).
uou(un).u\;ou\;(u_n).

Remarque :

Dans beaucoup de cas, on commencera l’indexation à l’indice zéro. Dans ce cas :
          est le premier terme ;
          est le deuxième terme ;
          est le troisième terme ; etc.


Il ne faut pas confondre le terme d’indice n et le               terme.

u_2
u2u_2
u_1
u1u_1
u_n
unu_n

1.2 Définition à l'aide d’une formule explicite

Exemple :

(u_n)
(un)(u_n)

Soit            la suite définie par :

u_n=-n^2+n-2
un=−n2+n−2u_n=-n^2+n-2

On a :

u_0=-0^2+0-2=-2
u0=−02+0−2=−2u_0=-0^2+0-2=-2
u_1=-1^2+1-2=-2
u1=−12+1−2=−2u_1=-1^2+1-2=-2
u_2=-2^2+2-2=-4
u2=−22+2−2=−4u_2=-2^2+2-2=-4
u_5=-5^2+5-2=-22...
u5=−52+5−2=−22...u_5=-5^2+5-2=-22...

Remarque : La suite est donc de la forme                       , où f est une fonction.
On peut donc représenter graphiquement la suite comme on représenterait la fonction f, mais en se limitant aux images des entiers naturels (et donc sans relier les points obtenus).

u_n=f(n)
un=f(n)u_n=f(n)

Calcul des premiers termes et représentation graphique                                         (nuage de points) avec GeoGebra

1.3 Définition à l'aide d’une formule de récurrence

Exemples :

(v_n)
(vn)(v_n)

Soit          la suite de premier terme                et dont le terme suivant est obtenu en ajoutant 3 puis en divisant par 2.

On a :

v_0=5
v0=5v_0=5
v_1=\dfrac{v_0+3}{2}=\dfrac{5+3}{2}=4
v1=v0+32=5+32=4v_1=\dfrac{v_0+3}{2}=\dfrac{5+3}{2}=4
v_2=\dfrac{v_1+3}{2}=\dfrac{4+3}{2}=\dfrac{7}{2}
v2=v1+32=4+32=72v_2=\dfrac{v_1+3}{2}=\dfrac{4+3}{2}=\dfrac{7}{2}
v_3=\dfrac{v_2+3}{2}=\dfrac{\dfrac{7}{2}+3}{2}=\dfrac{13}{4}
v3=v2+32=72+32=134v_3=\dfrac{v_2+3}{2}=\dfrac{\dfrac{7}{2}+3}{2}=\dfrac{13}{4}

et plus généralement 

v_{n+1}=\dfrac{v_n+3}{2}
vn+1=vn+32v_{n+1}=\dfrac{v_n+3}{2}

Remarque :

  • Dans ce cas, chaque terme est calculé à partir du terme précédent. On calcule donc les termes de proche en proche (avant de calculer       , il faut déjà avoir calculé                etc.).
v_5
v5v_5
v_4,\;v_3,
v4,v3,v_4,\;v_3,
  • On notera la suite          de la façon suivante :
(v_n)
(vn)(v_n)
v_{n+1}=g(v_n)
vn+1=g(vn)v_{n+1}=g(v_n)
g(x)=\dfrac{x+3}{2}
g(x)=x+32g(x)=\dfrac{x+3}{2}

On a donc

avec

On définit la suite (vn) par v0 = 3 et pour tout n de ℕ , vn+1 = 4vn - 6

Calculer le terme v13 à l'aide d'une calculatrice :

Algorithme de calcul d'un terme d'une suite définie par récurrence :

Le mode suite de la calculatrice :

Représentation graphique d'une suite définie par récurrence :

u_0 = 1
u0=1u_0 = 1
u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n+1
un+1=12un+1u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n+1
u_{n+1} =f(u_n)\;avec\;f(x) =\dfrac{1}{2}x+1
un+1=f(un)avecf(x)=12x+1u_{n+1} =f(u_n)\;avec\;f(x) =\dfrac{1}{2}x+1

f est une fonction affine, sa représentation graphique est la droite d'équation : 

y=\dfrac{1}{2}x+1
y=12x+1y=\dfrac{1}{2}x+1

On construit ensuite la droite d'équation y = x

On repère u0 sur l'axe des abscisses

u_0
u0u_0
u_1 = f(u_0)
u1=f(u0)u_1 = f(u_0)
u_1
u1u_1

On reporte ensuite u1 sur l'axe des abscisses

On recommence...

u_0
u0u_0
u_1
u1u_1
u_1
u1u_1
u_2= f(u_1)
u2=f(u1)u_2= f(u_1)
u_2
u2u_2
u_3= f(u_2)
u3=f(u2)u_3= f(u_2)
u_3
u3u_3

2. Sens de variation d'une suite 

Définition : 

  • Une suite (un) est croissante si, pour tout entier naturel n, on a  :
  • Une suite (un) est décroissante si, pour tout entier naturel n, on a  :
u_{n+1}\geq u_n.
un+1≥un.u_{n+1}\geq u_n.
u_{n+1}\leq u_n.
un+1≤un.u_{n+1}\leq u_n.

On peut aussi définir une suite strictement croissante, strictement décroissante ou constante. 

Propriété : Pour étudier les variations de la suite (un), il suffit d’étudier le signe de                        :

  • Si pour tout n,                                alors (un) est croissante.
  • Si pour tout n,                                alors (un) est décroissante. 
u_{n+1}-u_n \geq 0
un+1−un≥0u_{n+1}-u_n \geq 0
u_{n+1}-u_n
un+1−unu_{n+1}-u_n
u_{n+1}-u_n \leq 0
un+1−un≤0u_{n+1}-u_n \leq 0

Exemples :

  • Soit (un) la suite définie par 
u_n=\frac{3}{n+2}.
un=3n+2.u_n=\frac{3}{n+2}.
u_{n+1}=\frac{3}{(n+1)+2}=\frac{3}{n+3}.
un+1=3(n+1)+2=3n+3.u_{n+1}=\frac{3}{(n+1)+2}=\frac{3}{n+3}.
u_{n+1}-u_n=\frac{3}{n+3}-\frac{3}{n+2}
un+1−un=3n+3−3n+2u_{n+1}-u_n=\frac{3}{n+3}-\frac{3}{n+2}

Par suite :

=\frac{3(n+2)-3(n+3)}{(n+3)(n+2)}
=3(n+2)−3(n+3)(n+3)(n+2)=\frac{3(n+2)-3(n+3)}{(n+3)(n+2)}
=\frac{3n+6-3n-9}{(n+3)(n+2)}
=3n+6−3n−9(n+3)(n+2)=\frac{3n+6-3n-9}{(n+3)(n+2)}
=\frac{-3}{(n+3)(n+2)}
=−3(n+3)(n+2)=\frac{-3}{(n+3)(n+2)}
n+3>0\;et\;n+2>0
n+3>0etn+2>0n+3>0\;et\;n+2>0

donc pour tout n 

u_{n+1}-u_n < 0.
un+1−un<0.u_{n+1}-u_n < 0.

On en déduit que la suite (un) est strictement décroissante. 

  • Soit (vn) la suite définie par 
v_n=\frac{3^n}{4^{n+2}}.
vn=3n4n+2.v_n=\frac{3^n}{4^{n+2}}.
v_{n+1}-v_n=\frac{3^n}{4^{(n+2)}}\times \frac{3}{4}-\frac{3^n}{4^{(n+2)}}
vn+1−vn=3n4(n+2)×34−3n4(n+2)v_{n+1}-v_n=\frac{3^n}{4^{(n+2)}}\times \frac{3}{4}-\frac{3^n}{4^{(n+2)}}

Par suite :

=\frac{3^n}{4^{(n+2)}}\times \left(\frac{3}{4}-1\right)
=3n4(n+2)×(34−1)=\frac{3^n}{4^{(n+2)}}\times \left(\frac{3}{4}-1\right)
\frac{3^n}{4^{(n+2)}}>0
3n4(n+2)&gt;0\frac{3^n}{4^{(n+2)}}&gt;0

donc pour tout n 

v_{n+1}-v_n < 0.
vn+1−vn&lt;0.v_{n+1}-v_n &lt; 0.

On en déduit que la suite (vn) est strictement décroissante. 

v_{n+1}=\frac{3^{n+1}}{4^{(n+1)+2}}=\frac{3^n\times 3^1}{4^{(n+2)+1}}=\frac{3^n\times 3}{4^{(n+2)}\times 4}=\frac{3^n}{4^{(n+2)}}\times \frac{3}{4}.
vn+1=3n+14(n+1)+2=3n×314(n+2)+1=3n×34(n+2)×4=3n4(n+2)×34.v_{n+1}=\frac{3^{n+1}}{4^{(n+1)+2}}=\frac{3^n\times 3^1}{4^{(n+2)+1}}=\frac{3^n\times 3}{4^{(n+2)}\times 4}=\frac{3^n}{4^{(n+2)}}\times \frac{3}{4}.
=\frac{3^n}{4^{(n+2)}}\times \left(-\frac{1}{4}\right)
=3n4(n+2)×(−14)=\frac{3^n}{4^{(n+2)}}\times \left(-\frac{1}{4}\right)

Propriété : Soit Un une suite définie par  

  • Si la fonction f est croissante sur [0 ; +∞[, alors la suite (un) est croissante.
  • Si la fonction f est décroissante sur [0 ; +∞[, alors la suite (un) est décroissante. 
u_n=f(n).
un=f(n).u_n=f(n).

Remarque : La réciproque de cette propriété est fausse.

Exemple : Soit (un) la suite définie par

u_n=\frac{120}{n+1}.
un=120n+1.u_n=\frac{120}{n+1}.

On a un = f (n) avec

f(x)=\frac{120}{x+1}.
f(x)=120x+1.f(x)=\frac{120}{x+1}.

L'étude du signe de la dérivée de f nous donne les variations suivantes : 

f est décroissante sur [0 ; +∞[. La suite (un) est donc décroissante.

3. Suites arithmétiques

3.1 Définition, exemples

Définition : On dit qu’une suite (un) est arithmétique si on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre réel r.

On a donc :

Le réel r est alors appelé raison de la suite.

u_{n+1}=u_n+r
un+1=un+ru_{n+1}=u_n+r

Exemples :

  • La suite : 1, 6, 11, 16, 21, . . . est arithmétique de raison 5.
  • La suite définie par :                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     est arithmétique de raison (−3).
  • La suite des entiers naturels : 0, 1, 2, 3,4, 5, . . . est arithmétique de raison 1.
  • La suite des entiers naturels impairs est arithmétique de raison 2.

Propriété : Une suite (un) est arithmétique si et seulement si la différence                         est constante pour tout entier n.
Dans ce cas, la constante trouvée est la raison de la suite.

u_{n+1}-u_n
un+1−unu_{n+1}-u_n
  • Soit w la suite définie par : 

Exemples :

  • Soit u la suite définie par un = 3n − 2.

un+1 − un = 3 (n + 1) − 2 − (3n − 2) = 3n + 3 − 2 − 3n + 2 = 3

  • Soit v la suite définie par vn = n².

vn+1 − vn = (n + 1)² − n² = n² + 2n + 1 − n² = 2n + 1

Le résultat dépend de n, la suite n’est donc pas arithmétique.

 La suite est donc arithmétique de raison

\sqrt{2}.
2.\sqrt{2}.

La suite est donc arithmétique de raison 3 et de premier terme u0 = −2.

On a immédiatement :

w_{n+1}-w_n=\sqrt{2}
wn+1−wn=2w_{n+1}-w_n=\sqrt{2}

3.2 Formule explicite

Soit (un) une suite arithmétique de raison r.

On a :

u1 = u0 + r

u2 = u1 + r = u0 + 2r

u3 = u2 + r = u0 + 2r + r = u0 + 3r

Plus généralement, on a le résultat suivant :

Propriété : Soit (un) une suite arithmétique de raison r. Alors :

 

u_n=u_0+nr
un=u0+nru_n=u_0+nr

Plus généralement, si (un) est une suite arithmétique de raison r et si n et p sont deux entiers naturels, on a : 

u_n=u_p+(n-p)r
un=up+(n−p)ru_n=u_p+(n-p)r

Remarque :

Exemples :

  • Soit (un) la suite arithmétique de premier terme u0 = 7 et de raison r = −2.

On a : un = u0 + nr = 7 + n × (−2) = 7 − 2n.

En particulier : u50 = 7 − 2 × 50 = 7 − 100 = −93.

3.3 Représentation graphique et sens de variation 

Propriétés : Soit (un) une suite arithmétique de raison r. 

  • Dans un repère, les points de coordonnées (n ; un) sont alignés.
  • La suite (un) est croissante si r > 0, décroissante si r < 0 et constante si r = 0.
  • Soit (vn) la suite arithmétique telle que v4 = 3 et de raison r = 5.
v_{10}=v_4+(10-4)r=3+6\times 5 =33
v10=v4+(10−4)r=3+6×5=33v_{10}=v_4+(10-4)r=3+6\times 5 =33

Calcul de v10 : 

v_0=v_4+(0-4)r=3-4\times 5=-17
v0=v4+(0−4)r=3−4×5=−17v_0=v_4+(0-4)r=3-4\times 5=-17

Calcul de v0 : 

Exemples :

Les suites arithmétiques correspondent à des évolutions linéaires.

4. Suites géométriques

4.1 Définition, exemples

Définition : On dit qu’une suite (un) est géométrique si on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours  par le même nombre réel q.

On a donc :

Le réel q est alors appelé raison de la suite.

u_{n+1}=q\times u_n
un+1=q×unu_{n+1}=q\times u_n

Exemples :

  • La suite : 1, 2, 4, 8, 16, . . . est géométrique de raison 2.
  • La suite définie par :                               est géométrique de raison 

 

 

  • La suite définie par                          est géométrique de raison -1.
  • On augmente tous les ans une quantité de 5%. La suite obtenue est                                               C’est donc une suite géométrique de raison 1, 05.
-\frac{1}{2}.
−12.-\frac{1}{2}.
u_n=(-1)^n
un=(−1)nu_n=(-1)^n
u_{n+1}=1,05u_n.
un+1=1,05un.u_{n+1}=1,05u_n.

Méthode : Montrer qu'une suite est géométrique

Pour montrer qu’une suite est géométrique, on essaiera de mettre son terme général sous la forme :

u_{n+1}=q\times u_n
un+1=q×unu_{n+1}=q\times u_n

Exemples :

  • Soit u la suite définie par
u_n=5\times 3^{n+2}
un=5×3n+2u_n=5\times 3^{n+2}
u_{n+1}=5\times 3^{n+3}=5\times 3^{n+2}\times 3=3\times u_n
un+1=5×3n+3=5×3n+2×3=3×unu_{n+1}=5\times 3^{n+3}=5\times 3^{n+2}\times 3=3\times u_n

La suite est donc géométrique de raison 3 et de premier terme

u_0=5\times 3^2=45.
u0=5×32=45.u_0=5\times 3^2=45.
  • Soit v la suite définie par
v_n=\frac{3^n}{4^{n+1}}
vn=3n4n+1v_n=\frac{3^n}{4^{n+1}}

La suite est donc géométrique de raison      et de premier terme

v_0=\frac{3^0}{4^1}=\frac{1}{4}.
v0=3041=14.v_0=\frac{3^0}{4^1}=\frac{1}{4}.
v_{n+1}=\frac{3^{n+1}}{4^{n+2}}=\frac{3^n\times3}{4^{n+1}\times4}=\frac{3}{4}\times v_n
vn+1=3n+14n+2=3n×34n+1×4=34×vnv_{n+1}=\frac{3^{n+1}}{4^{n+2}}=\frac{3^n\times3}{4^{n+1}\times4}=\frac{3}{4}\times v_n
\frac{3}{4}
34\frac{3}{4}

4.2 Formule explicite

Soit (un) une suite géométrique de raison q.

On a :

Plus généralement, on a le résultat suivant :

Théorème : Soit (un) une suite géométrique de raison q. Alors :

 

u_n=u_0\times q^n
un=u0×qnu_n=u_0\times q^n

Plus généralement, si (un) est une suite géométrique de raison q et si n et p sont deux entiers naturels, on a : 

u_n=u_p\times q^{n-p}
un=up×qn−pu_n=u_p\times q^{n-p}

Remarque :

u_1=u_0\times q
u1=u0×qu_1=u_0\times q
u_2=u_1\times q=u_0\times q^2
u2=u1×q=u0×q2u_2=u_1\times q=u_0\times q^2
u_3=u_2\times q=u_0\times q^2\times q=u_0\times q^3
u3=u2×q=u0×q2×q=u0×q3u_3=u_2\times q=u_0\times q^2\times q=u_0\times q^3

Exemples :

  • Soit (un) la suite géométrique de premier terme u0 = 5 et de raison q = 2.
  • Soit (vn) la suite géométrique telle que v4 = -7 et de raison q = 3. 

On a :

u_n=5\times 2^n
un=5×2nu_n=5\times 2^n
u_4=5\times 2^4=5\times 16=80
u4=5×24=5×16=80u_4=5\times 2^4=5\times 16=80

On a :

v_{10}=v_4\times q^{10-4}=-7\times 3^6=-5103
v10=v4×q10−4=−7×36=−5103v_{10}=v_4\times q^{10-4}=-7\times 3^6=-5103

Calcul de v10 : 

On a :

v_0=v_4\times q^{0-4}=-7\times 3^{-4}=-\frac{7}{81}
v0=v4×q0−4=−7×3−4=−781v_0=v_4\times q^{0-4}=-7\times 3^{-4}=-\frac{7}{81}

Calcul de v0 : 

En particulier :

a) Formule explicite de (un) :

u_n=2\times\left(\frac{1}{2}\right)^n=\frac{2}{2^n}=\frac{1}{2^{n-1}}
un=2×(12)n=22n=12n−1u_n=2\times\left(\frac{1}{2}\right)^n=\frac{2}{2^n}=\frac{1}{2^{n-1}}

a) Formule explicite de (un) :

u_n=-18\times\left(\frac{1}{3}\right)^n=\frac{-18}{3^n}=\frac{-2}{3^{n-2}}
un=−18×(13)n=−183n=−23n−2u_n=-18\times\left(\frac{1}{3}\right)^n=\frac{-18}{3^n}=\frac{-2}{3^{n-2}}

a) Formule explicite de (un) :

u_n=\frac{1}{8}\times 4^n=\frac{4^n}{8}=\frac{4^{n-1}}{2}
un=18×4n=4n8=4n−12u_n=\frac{1}{8}\times 4^n=\frac{4^n}{8}=\frac{4^{n-1}}{2}

a) Formule explicite de (un) :

u_n=\frac{-1}{9}\times 3^n=\frac{-3^n}{9}=-3^{n-2}
un=−19×3n=−3n9=−3n−2u_n=\frac{-1}{9}\times 3^n=\frac{-3^n}{9}=-3^{n-2}
u_{n+1}=3\times5^{n+1}=3\times5^n\times5=u_n\times5
un+1=3×5n+1=3×5n×5=un×5u_{n+1}=3\times5^{n+1}=3\times5^n\times5=u_n\times5

On en déduit que (un) est une suite géométrique de raison 5 et de premier terme u0=3.

Rappel : Pour montrer qu’une suite (un) est géométrique, on essaiera de démontrer que pour tout n :

u_{n+1}=u_n\times q
un+1=un×qu_{n+1}=u_n\times q
u_0=3\times5^0=3\times1=3
u0=3×50=3×1=3u_0=3\times5^0=3\times1=3
u_{n+1}=-5\times\left(\frac{3}{4}\right)^{n+1}=-5\times\left(\frac{3}{4}\right)^n\times\frac{3}{4}=u_n\times\frac{3}{4}
un+1=−5×(34)n+1=−5×(34)n×34=un×34u_{n+1}=-5\times\left(\frac{3}{4}\right)^{n+1}=-5\times\left(\frac{3}{4}\right)^n\times\frac{3}{4}=u_n\times\frac{3}{4}

On en déduit que (un) est une suite géométrique de raison            et de premier terme u0 = -5.

u_0=-5\times\left(\frac{3}{4}\right)^0=-5
u0=−5×(34)0=−5u_0=-5\times\left(\frac{3}{4}\right)^0=-5
\frac{3}{4}
34\frac{3}{4}
u_{n+1}=\frac{5}{2^{n+1}}=\frac{5}{2^n\times 2}=\frac{5}{2^n}\times\frac{1}{2}=u_n\times\frac{1}{2}
un+1=52n+1=52n×2=52n×12=un×12u_{n+1}=\frac{5}{2^{n+1}}=\frac{5}{2^n\times 2}=\frac{5}{2^n}\times\frac{1}{2}=u_n\times\frac{1}{2}

On en déduit que (un) est une suite géométrique de raison            et de premier terme u0 = 5.

u_0=\frac{5}{2^0}=5
u0=520=5u_0=\frac{5}{2^0}=5
\frac{1}{2}
12\frac{1}{2}
u_{n+1}=\frac{2\times3^{n+1}}{5}=\frac{2\times3^n}{5}\times3=u_n\times3
un+1=2×3n+15=2×3n5×3=un×3u_{n+1}=\frac{2\times3^{n+1}}{5}=\frac{2\times3^n}{5}\times3=u_n\times3

On en déduit que (un) est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme u0 = 

u_0=\frac{2\times3^0}{5}=\frac{2}{5}
u0=2×305=25u_0=\frac{2\times3^0}{5}=\frac{2}{5}
\frac{2}{5}.
25.\frac{2}{5}.
u_{n+1}=\frac{2\times3^{n+1}}{5^{n+1}}=\frac{2\times3^n}{5^n}\times\frac{3}{5}=u_n\times\frac{3}{5}
un+1=2×3n+15n+1=2×3n5n×35=un×35u_{n+1}=\frac{2\times3^{n+1}}{5^{n+1}}=\frac{2\times3^n}{5^n}\times\frac{3}{5}=u_n\times\frac{3}{5}
u_0=\frac{2\times3^0}{5^0}=2
u0=2×3050=2u_0=\frac{2\times3^0}{5^0}=2

On en déduit que (un) est une suite géométrique de raison            et de premier terme u0 = 2.

\frac{3}{5}
35\frac{3}{5}

4.3 Représentation graphique et sens de variation 

Propriété : Soit (un) la suite géométrique définie par  

avec q > 0. (Un) est croissante si q > 1, décroissante si 0 < q < 1 et constante si q = 1.

u_n=q^n
un=qnu_n=q^n

Les suites géométriques correspondent à des évolutions exponentielles.

Exemples : (cas où u0 > 0)

Remarque : Si u0 < 0 et q > 1 alors                           est décroissante.

Si u0 < 0 et 0 < q < 1 alors                           est croissante.

u_n=u_0q^n
un=u0qnu_n=u_0q^n
u_n=u_0q^n
un=u0qnu_n=u_0q^n

Pour montrer qu’une suite (un) est géométrique, on peut également mettre un sous la forme 

u_n=a\times b^n
un=a×bnu_n=a\times b^n
Made with Slides.com