Suites arithmétiques et géométriques

Act2 p 14

15 n = 600-300
15 n = 300
n =\dfrac{ 300}{15}
n =20

Au bout de 20 ans, Mathilde aura doublé son capital.

Avec une calculatrice Numworks

(choisir explicite)

Automatismes 

\dfrac{17 + x}{2}=15
17 + x=15\times 2
17 + x=30
x=30-17
x=13

17 c'est 2 points au dessus de la moyenne.

La deuxième note se situe  à 2 points sous la moyenne : 

15-2=13

Cette évolution peut être modélisée par une suite arithmétique de premier terme \(u_0=750\) et de raison \(r = -40\).

u_n = u_0 +n\times r
u_n = 3 +n\times 5
u_n = 3 +5n
u_n = u_1 +(n-1)\times r
u_n = 6 +(n-1)\times (-8)
u_n = 6-8n+8
u_n = 14-8n

On calcule le dernier terme de la somme :

u_7 = u_0 + 7\times r=4 + 7\times 2 = 18
S = \dfrac{8\times(4 + 18)}{2}=88

cette somme contient 8 termes :

Suites géométriques

Act 3 p 15 : Un roi qui "riz"    

\text{calcul : }\dfrac{2^{64}-1}{60 000000}
\text{Formule : }u_1+u_2+\dots+u_n = u_1\times \dfrac{1-q^{n}}{1-q}
\sqrt{4\times 16}=\sqrt{64} = 8
\text{On a donc }u_{n+1}=1,01\times u_n

Tant que U < 450

N        N+1

U        \(1,054 \times U\)

A la calculatrice, on obtient n = 8 :

u_8\approx 456,93

Donc après l'exécutionde cet algorithme

 N = 2017 + 8 = 2025 et \( U\approx 456,93 \).

Automatismes : Suites 

7\times 2 = 14
14\times 2 = 28

Les trois nombres proposés sont les trois premiers termes d'une suite géométrique de raison 2.

20\times (-0,5) = -10
-10\times (-0,5) = 5

Les trois nombres proposés sont les trois premiers termes d'une suite géométrique de raison \(-0,5\).

L'évolution proposée est modélisée par une suite géométrique de premier terme \(u_0=450 000\) et de raison \(q=0,94\).

1-0,06 = 0,94

L'évolution proposée est modélisée par une suite géométrique de premier terme \(u_0=50 000\) et de raison \(q=1,15\).

1+0,15 = 1,15
u_n = 2\times 3^n
u_n = 4\times 0,5^{n-1}
S = 4\times \dfrac{1-2^{12}}{1-2}=16380
S = 10\times \dfrac{1-7^{10}}{1-7}=470792080
\text{On a }d_{n+1}=1,06\times d_n

57 p 26 - 27

S=21\times \dfrac{1-3^7}{1-3}=22953
u_9=20000\times 0,85^9\approx 4632

Selon ce modèle 4632 mégots seront jetés en 2028.

En 10 ans, 107 083 mégots auront été ramassés.

107\,083
v_n=125\times 1,03^n

A la calculatrice on obtient :

Corrigé des automatismes n°2

  1. 21
  2. 44
  3. 6
  4. 40
  5. \(u_n=2+5n\)
  6. \(u_5=27\)
  7. \(u_n=8+3(n-1)=5+3n\)
  8. \(u_7=26\)
  9. 8
  10. \(u_7=3+4\times 7=31\) et \(\dfrac{(3+31)\times 8}{2}=136\)  

11) 10

12) \(u_{10}=7+9\times (-2) =-11 \)

13) \(u_n=3\times 2^n\)

14) \(u_5=3\times 2^5=96\) 

15) \(u_n=-2\times 3^{n-1}\)

16) \(u_3=-2\times 3^2=-18\)

17) 8

18)  \(\dfrac{1-2^8}{1-2}=255\)

19) 6

20)  \(4\times \dfrac{1-(-2)^6}{1-(-2)}=-84\)

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