Suites arithmétiques - Suites géométriques

Suites arithmétiques -

Suites géométriques

5~;~8~;~11~;~14...

Les suites arithmétiques correspondent à des évolutions linéaires.

Méthode : Pour montrer qu'une suite \((u_n)\) est arithmétique de raison r, il faut montrer que pour tout entier n on a :

u_{n+1}=u_n+r

Ce qui équivaut à :

u_{n+1}-u_n=r

\text{a) Pour tout entier naturel }n :

u_{n+1} = 2(n+1)+3=2n+2+3=2n+5

u_{n+1} -u_n= 2n+5-(2n+3)=2

On en déduit que \((u_n)\) est une suite arithmétique de raison r = 2

et de premier terme \(u_0=2\times 0+3=3\).

u_{n+1} = 2(n+1)+3=2n+2+3=u_n+2

Méthode : Pour montrer qu'une suite \((u_n)\) n'est pas arithmétique, on peut montrer que :

u_{1}-u_0\neq u_2-u_1

\text{b) }u_0=0^2-0=0

u_1=1^2-1=0

u_2=2^2-2=2

u_{1}-u_0=0

u_{2}-u_1=2

\text{On a }u_{1}-u_0\neq u_2-u_1\text{ donc la suite }(u_{n})\text{ n'est pas arithmétique. }

u_{n+1} = \dfrac{3(n+1)+1}{2} = \dfrac{3n+4}{2}

u_{n+1} -u_n= \dfrac{3n+4}{2}-\dfrac{3n+1}{2}=\dfrac{3}{2}

On en déduit que \((u_n)\) est une suite arithmétique de raison \(r=\dfrac{3}{2}\)

et de premier terme \(u_0=\dfrac{3\times 0+1}{2}=\dfrac{1}{2}\).

\text{a) Pour tout entier naturel }n :

\text{b) }u_0=\dfrac{0+2}{0+1}=2

u_{1}-u_0=-\dfrac{1}{2}

u_{2}-u_1=-\dfrac{1}{6}

\text{On a }u_{1}-u_0\neq u_2-u_1\text{ donc la suite }(u_{n})\text{ n'est pas arithmétique. }

u_1=\dfrac{1+2}{1+1}=\dfrac{3}{2}

u_2=\dfrac{2+2}{2+1}=\dfrac{4}{3}

\text{a) }u_0=-1

u_{1}-u_0=\dfrac{3}{2}

u_{2}-u_1=\dfrac{3}{4}

\text{On a }u_{1}-u_0\neq u_2-u_1\text{ donc la suite }(u_{n})\text{ n'est pas arithmétique. }

u_1=\dfrac{1}{2}\times \left(-1\right)+1=\dfrac{1}{2}

u_2=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}+1=\dfrac{5}{4}

u_{n+1} = -2+u_n

\text{b) Pour tout entier naturel }n ,

donc par définition \((u_n)\) est une suite arithmétique de raison \(r=-2\)

et de premier terme \(u_0=2\).

u_0=1,\;u_1=0,\;u_2=3.

4. a.

4.b.

u_0=5

u_{n+1}=u_n-3

u \(-\) 3

Python

5.a.

u_n=u_0+nr

u_{10}=u_0+10\times r

31=1+10 r

10 r=30

r=3

5.b.

u_n=u_0+nr

u_{100}=u_0+100\times r

-45=5+100 r

100 r=-50

r=-\dfrac{1}{2}

5.c.

u_n=u_p+(n-p)\times r

u_{10~000}=u_{2000}+(10000-2000)\times r

1=-79+8000 r

8000 r=80

r=\dfrac{1}{100}

5.d.

u_n=u_p+(n-p)\times r

u_{10}=u_{5}+(10-5)\times r

33=27+5 r

5 r=6

r=1,2

u_n=u_0+nr

On demande la formule explicite de la suite \((u_n)\).

u_{n}=-3+n\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)

u_n=u_1+(n-1)r

u_{n}=-3-\dfrac{n}{2}

u_{n}=5+(n-1)\times \dfrac{1}{10}

u_{n}=\dfrac{49}{10}+\dfrac{n}{10}

u_n=u_5+(n-5)r

u_n=-\dfrac{1}{3}+(n-5)\times\dfrac{1}{2}

u_n=-\dfrac{17}{6}+\dfrac{n}{2}

u_n=u_{10}+(n-10)r

u_n=(n-10)\times (-3)

u_n=30-3n

u_2+u_3+u_4=(u_3-r)+u_3+(u_3+r)=3u_3

On a donc :

3u_3=36

u_3=12

u_9=u_3+6r

8.a.

48=12+6r

6r=36

r=6

u_9=u_0+9r

48=u_0+54

u_0=-6

8.b.

u_5+u_6+u_7=(u_6-r)+u_6+(u_6+r)=3u_6

On a donc :

3u_6=-27

u_6=-9

u_9=u_6+3r

-15=-9+3r

3r=-6

u_9=u_0+9r

-15=u_0-18

u_0=3

r=-2

8.c.

u_{10}+u_{12}+u_{14}=(u_{12}-2r)+u_{12}+(u_{12}+2r)=3u_{12}

On a donc :

3u_{12}=33

u_{12}=11

u_{100}=u_{12}+88r

55=11+88r

88r=44

u_{100}=u_0+100r

55=u_0+50

u_0=5

r=\dfrac{1}{2}

8.d.

=56+12r

On a donc :

12r+56 =176

12r =120

r =10

7=u_0+30

u_0=-23

u_{3}=u_0+3r

\text{S}=\text{ nombre de termes}\times \dfrac{\text{premier terme + dernier terme}}{2}

Somme de termes d'une suite arithmétique :

\text{S}=50 \times \dfrac{1 + 99}{2} = 50^2

10.

\text{S}=n\times\dfrac{1 + (2n-1)}{2} = n^2

(u_k=2k-1\text{ pour }k \text{ allant de }1\text{ à }n )

(u_n=2n-1\text{ pour }n \text{ allant de }1\text{ à }50 )

11.

\left\{\begin{array}{rcl} 3u_0+6r&=&9 \\ 2u_0+21r&=&40\end{array}\right.

On exprime chaque terme en fonction de \(u_0\) et de r.

Ce qui nous donne :

Puis en divisant par 3 les deux membres de la première équation, on obtient :

Résolution du système :

\left\{\begin{array}{rcl} u_0+2r&=&3 \\ 2u_0+21r&=&40\end{array}\right.

Résolution du système avec la méthode par combinaisons :

(1)\times 2

\left\{\begin{array}{rcl} 2u_0+4r&=&6 \\ 2u_0+21r&=&40\end{array}\right.

(1)

(2)

On soustrait membre à membre les deux équations et on obtient :

17r=34

r=2

(2)-(1)\times 2

(2)

\left\{\begin{array}{rcl} u_0+2r&=&3 \\ 2u_0+21r&=&40\end{array}\right.

(1)\times 21

\left\{\begin{array}{rcl} 21u_0+42r&=&63 \\ 4u_0+42r&=&80\end{array}\right.

(1)

(2)

On soustrait membre à membre les deux équations et on obtient :

17u_0=-17

u_0=-1

(2)\times 2

Résolution du système :

\left\{\begin{array}{rcl} u_0+2r&=&3 \\ 2u_0+21r&=&40\end{array}\right.

Résolution du système avec la méthode par substitution :

Dans la première équation on exprime \(u_0\) en fonction de \(r\) :

Dans la deuxième équation on substitue à \(u_0\) l'expression obtenue :

u_0=3-2r

2(3-2r)+21r=40

On résout cette dernière équation :

On détermine la deuxième inconnue :

6-4r+21r=40

17r=34

r=2

u_0=3-2\times 2=-1

11.

u_{30}=u_0+30r

b) On commence par calculer le dernier terme de la somme :

=-1+30\times 2

=59

S=u_0+u_1+\dots+u_{30}

=31\times\dfrac{u_0+u_{30}}{2}

=31\times\dfrac{-1+59}{2}

=899

u_1 = u_{17}+(1-17)\times r

=105-16\times (-2)

=137

S_{17}=u_1+...+u_{17}

=17\times\dfrac{u_1+u_{17}}{2}

=17\times\dfrac{137+105}{2}

=2057

12.

12.

bis

w_{30} = w_{0}+30\times r

=10+30\times 8

=250

S=w_0+w_1+\dots+w_{30}

=31\times\dfrac{w_0+w_{30}}{2}

=31\times\dfrac{10+250}{2}

=4030

On commence par calculer le dernier terme de la somme :

12.

bis

v_{40} = v_{0}+40\times r

=9+40\times 6

=249

S=v_0+v_1+\dots+v_{40}

=41\times\dfrac{v_0+v_{40}}{2}

=41\times\dfrac{9+249}{2}

=5289

On commence par calculer le dernier terme de la somme :

1~;~2~;~4~;~8...

Les suites géométriques correspondent à des évolutions exponentielles.

13.

Méthode : Pour montrer qu'une suite \((u_n)\) est géométrique de raison q, il faut montrer que pour tout entier n on a :

u_{n+1}=u_n\times q

Ce qui équivaut à :

\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q

13.

\text{a) Pour tout entier naturel }n : u_{n+1} = 5^{n+1+3}=5^{n+4}

\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{5^{n+4}}{5^{n+3}}=5

On en déduit que \((u_n)\) est une suite géométrique de raison \(q=5\)

et de premier terme \(u_0=5^ {0+3}=125\).

u_{n+1} = 5^{n+1+3}=5^{n+3}\times 5= u_n\times 5

\text{ Pour tout entier naturel }n :

u_{n+1} = \dfrac{2}{3^{n+1+1}}=\dfrac{2}{3^{n+1}}\times \dfrac{1}{3}=u_n\times \dfrac{1}{3}

13.

\text{b) Pour tout entier naturel }n : u_{n+1} = \dfrac{2}{3^{n+1+1}}= \dfrac{2}{3^{n+2}}

\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{\dfrac{2}{3^{n+2}}}{\dfrac{2}{3^{n+1}}}=\dfrac{2}{3^{n+2}}\times \dfrac{3^{n+1}}{2} =\dfrac{1}{3}

\text{ Pour tout entier naturel }n :

On en déduit que \((u_n)\) est une suite géométrique de raison \(q=\dfrac{1}{3}\)

et de premier terme \(u_0= \dfrac{2}{3^{0+1}}=\dfrac{2}{3}\).

14.

Méthode : Pour montrer qu'une suite \((u_n)\) n'est pas géométrique, on peut montrer que :

\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}

\text{a) }u_0=\dfrac{5}{3}

\text{On a }\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}\text{ donc la suite }(u_{n})\text{ n'est pas géométrique. }

\dfrac{u_1}{u_0}= \dfrac{7}{5}

\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{9}{7}

u_1=\dfrac{7}{3}

u_2=\dfrac{9}{3}

14.

u_n=\dfrac{2}{3}n+\dfrac{5}{3}

\text{La suite }(u_{n})\text{ est arithmétique de raison }r=\dfrac{2}{3}

\text{et de premier terme }u_0=\dfrac{5}{3}.

14.

\text{b) }u_0=1

\text{On a }\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}\text{ donc la suite }(u_{n})\text{ n'est pas géométrique. }

\dfrac{u_1}{u_0}= 6

\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{5}{2}

u_1=6

u_2=15

15.

\text{a) On a }u_{n+1}=4\times u_n\text{ donc par définition la suite }(u_n)

\text{est géométrique de raison }q=4 \text{ et de premier terme }u_0=2.

15.

u_0=-1

\text{On a }\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}\text{ donc la suite }(u_{n})\text{ n'est pas géométrique. }

\dfrac{u_2}{u_1}=-\dfrac{3}{5}

\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{1}{5}

\text{b) }5u_{n+1}-2u_n=1

5u_{n+1}=2u_n+1

u_{n+1}=\dfrac{2}{5}u_n+\dfrac{1}{5}

u_{1}=\dfrac{2}{5}\times (-1)+\dfrac{1}{5}=-\dfrac{1}{5}

u_{2}=\dfrac{2}{5}\times \left(-\dfrac{1}{5}\right)+\dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{25}

15.c.

(u_n)\text{ est définie par :}\\ \begin{cases} u_0=4& \\ u_{n+1} =2u_n-3 & \end{cases}

u_0=4

\text{On a }\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}\text{ donc la suite }(u_{n})\text{ n'est pas géométrique. }

\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{7}{5}

\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{5}{4}

u_{1}=2\times 4 -3=5

u_{2}=2\times 5-3=7

u_n=u_0\times q^n

\text{Pour tout entier naturel }n, \text{ on a }u_n=4\times 5^n

u_5=4\times 5^5= 12500

u_8=4\times 5^8=1562500

u_{10}=\dfrac{(-2)^{10}}{3}=\dfrac{1024}{3}

u_n=u_0\times q^n

\text{Pour tout entier naturel }n, \text{ on a }u_n=\dfrac{1}{3}\times (-2)^n

u_n=\dfrac{(-2)^n}{3}

u_{4}=\dfrac{(-2)^{4}}{3}=\dfrac{16}{3}

u_n=u_p\times q^{n-p}

u_{10}=u_5\times q^{10-5}

u_{10}=8,64\times 1,2^{5}

u_{10}\approx21,5

u_{3}=u_5\times q^{3-5}

u_{3}=8,64\times 1,2^{-2}

u_{3}=6

19.

u_n=u_0\times q^n

u_{3}=3\times 5^{3}

u_{3}=375

u_{10}=3\times 5^{10}

u_{10}=29\,296\,875

u_{3}=u_0\times q^{3}

u_{10}=u_0\times q^{10}

20.

u_n=u_0\times q^n

u_{3}=2\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{3}

u_{10}=\dfrac{1}{512}

u_{3}=-\dfrac{1}{4}

u_{3}=u_0\times q^{3}

u_{10}=u_0\times q^{10}

u_{10}=2\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{10}

21.

4374=486\times q^2

u_{10}=2\times 3^{10}=118098

q^2=\dfrac{4374}{486}

u_{7}=u_5\times q^{7-5}

u_{5}=u_0\times q^{5}

486=u_0\times3^{5}

On commence par calculer la raison q :

u_n=u_p\times q^{n-p}

q^2=9

q>0\text{ donc }q=3.

u_n=u_0\times q^{n}

u_0=\dfrac{486}{3^{5}}

u_0=2

22.

-1,2288=-1,92\times q^2

u_{5}=-3\times 0,8^{5}=-0,98304

q^2=\dfrac{1,2288}{1,92}

u_{4}=u_2\times q^{4-2}

u_{2}=u_0\times q^{2}

-1,92=u_0\times 0,8^{2}

On commence par calculer la raison q :

u_n=u_p\times q^{n-p}

q^2=0,64

q>0\text{ donc }q=0,8.

u_n=u_0\times q^{n}

u_0=\dfrac{-1,92}{0,64}

u_0=-3

23.

(u_n)\text{ est une suite géométrique de raison }q\text{ donc par définition}

u_{n+1}=u_n\times q.

\text{De même on a }u_{n+2}=u_n\times q^2.

u_{n+2}=u_{n+1}+u_n\text{ est donc équivalent à }u_n\times q^2 = u_n\times q+u_n .

\text{En divisant par }u_{n}\text{ on obtient }q^2 = q+1.

\text{On résout l'équation }q^2 - q-1=0.

\Delta=5\text{ donc l'équation }

\text{admet deux solutions }q_1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\text{ et }q_2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}.

\text{La seule racine positive est }q_2 \text{ donc }q= \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \text{ ( nb d'or) }.

24.

(u_n)\text{ est une suite géométrique de raison }q\text{ donc }

u_{1}=u_0\times q

\text{et }u_{2}=u_0\times q^2.

2u_{2}=3u_{1}-u_0\text{ est donc équivalent à }2u_0\times q^2 = 3u_0\times q-u_0 .

\text{En divisant par }u_{0}\text{ on obtient }2q^2 = 3q-1.

\text{On résout l'équation }2q^2 - 3q+1=0.

\Delta=1\text{ donc l'équation }\text{admet deux solutions }q_1=\dfrac{1}{2}\text{ et }q_2=1.

\text{La suite }(u_n)\text{ n'est pas constante donc }q\neq 1.

\text{On en déduit que } q=\dfrac{1}{2}.

bis

\text{1) }S =5\times \dfrac{1-0,3^{15}}{1-0,3}\approx 7,143

\text{2) }S =10\times \dfrac{1-1,6^{15}}{1-1,6}\approx 19\,198,692

24.

u_1+u_2+\dots + u_n=u_1\times \dfrac{ 1-q^{n}}{1-q}

w_5 = w_3\times q^2=27\times\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=3

Calcul du premier terme de la somme :

Le nombre de termes de la somme est 5 donc

S = 3\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^5}{1-\dfrac{1}{3}}=3\times \dfrac{3}{2}\times\left(1-\dfrac{1}{3^5}\right)=\dfrac{121}{27}

25.

t_4 = t_{10}\times q^{-6}=100 \times 10^{-6}= \dfrac{1}{10^4}

Calcul du premier terme de la somme :

Le nombre de termes est 7 donc

S = \dfrac{1}{10^4}\times \dfrac{1-10^7}{1-10}=\dfrac{10^7-1}{9\times 10^4}=111,1111

26.

On note \(u_1\) l'aire du premier disque : \(u_1=16 \pi\)

L'aire du deuxième est \(u_2=4 \pi\)...

\( (u_n) \) est une suite géométrique de raison \(\dfrac{1}{4} \).

S =16\pi\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{4}\right)^6}{1-\dfrac{1}{4}}=16\pi\times \dfrac{4}{3}\times\left(1-\dfrac{1}{4^6}\right)=\dfrac{1365\pi}{64}

27.

28)

29)

30)

31)

\text{ et }u(0)>0.

31 bis )