Que peut-on dire des points \(M(x~;~y)\) tels que \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{AB}\) sont colinéaires ? 

Ils appartiennent à la droite (AB).

Existe-t-il une relation qui caractérise les coordonnées \(x\) et \(y\) d'un point M de la droite (AB) ? 

Cette relation s'appelle équation cartésienne de la droite (AB).

Cette relation est vérifiée par les couples de coordonnées des points de la droite (AB) et par eux seuls.

Rq. On peut aussi calculer l'abscisse du point de \(d_1\) d'ordonnée 0, on a le choix.

On regarde si les coordonnées du point A vérifient ou pas l'équation de la droite d : 

Méthode 1 :

Méthode 2 :

Méthode : placer le point A puis "compter les carreaux "

Méthode 1 : Comme pour les équations cartésiennes, on détermine deux points de chaque droite en choisissant des valeurs pour remplacer \(x\) ou \(y\) :

donc la droite \((AB)\) a une équation de la forme 

b) On calcule m le coefficient directeur de la droite :

1. Méthode :

a) On commence par comparer les abscisses des 2 points :

2. \(x_A=x_B=5\) donc \((AB)\) a pour équation réduite \(x=5\).

3. \(x_A\ne x_B\) donc la droite \((AB)\) a une équation de la forme \(y=mx+p\).

Les droites \(d\) et \(d'\) sont parallèles donc un vecteur directeur de \(d\) est aussi un vecteur directeur de \(d'\).

On en déduit que \(d'\) a une équation de la forme \(2x+y+c=0\).

C'est la cas du vecteur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}\).

\(A\in d'\) donc \(2\times (-1)+5+c=0\).

On obtient \(c=-3\).

En conclusion, une équation cartésienne de \(d'\) est donc  \(2x+y-3=0\).

Résolution du système avec la méthode par substitution :

Dans la première équation on exprime \(y\) en fonction de \(x\) :

Dans la deuxième équation on substitue à \(y\) l'expression obtenue :

On détermine la deuxième inconnue :

Conclusion :

Le couple \((1~;~4)\) est la solution du sytème\(\left\{\begin{array}{rcl} x-y+3&=&0 \\ 3x+4y-19&=&0\end{array}\right.\). 

Les droites d'équations respectives \(x-y+3=0\) et \(3x+4y-19=0\) sont donc sécantes et leur point d'intersection a pour coordonnées \((1~;~4)\). 

On soustrait membre à membre les deux équations :

On obtient une équation à une inconnue que l'on peut résoudre :

On ajoute membre à membre les deux équations :

On obtient une équation à une inconnue que l'on peut résoudre :

Propriété : La représentation graphique de la fonction affine f définie sur      par                                est une droite.

Cette droite passe par le point de coordonnées (0 ; p).

Démonstration :
La droite D n’étant pas parallèle à l’axe des ordonnées, elle le coupe en un point A.

D

Elle coupe aussi la parallèle à l’axe des ordonnées passant par le point I. 

On note B le point d’intersection.

On a donc A (0 ; p) et B (1 ; q).

La représentation graphique de la fonction affine f est donc une droite qui passe par A(0 ; p) et B(1 ; q).

Comme la seule droite passant par les points A et B est la droite D, la droite D est la représentation graphique de la fonction affine f et admet comme équation y = mx + p (en posant m = q – p).

On a : 

et

Remarque : 

L'équation d'une droite est l'équation vérifiée par les coordonnées (x ; y) de chacun de ses points et eux seuls.

Démonstration :
La droite        étant parallèle à l’axe des ordonnées, elle coupe l’axe des abscisses en un point A.

Un point M (x ; y) est sur      si et seulement si il a la même abscisse que A.

La droite       admet donc comme équation            .

Démonstration :
Comme                  , la droite (AB) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées. Elle admet donc une équation de la forme 

Comme les points A et B sont sur cette droite, on a :

Comme                  , on peut diviser cette expression par 

Pour la lecture de m, le coefficient directeur de la droite on repère 2 nœuds de quadrillage appartenant à la droite : 

La droite "monte"

La droite "descend"

Pour la lecture de p, on lit l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées : 

1.  Méthode 1 :

donc la droite (AB) a une équation de la forme 

On continue en calculant m :

On commence par regarder les abscisses des 2 points :

Pour calculer p, on remplace dans l'équation x et y par les coordonnées de A ou de B : 

3 = -2 x 1 + p  ou 7 = -2 x (-1) + p

ce qui nous donne p = 5.

Conclusion : (AB) a pour équation : 

1.  Méthode 2 :

Soit  M(x ; y) un point de la droite (AB) :

Les vecteurs                                         et                          sont colinéaires donc 

Équation cartésienne

Équation réduite

3. 

De même le point D (x ; -2) appartient à la droite (AB) donc ses coordonnées vérifient également l'équation de (AB) : 

On obtient y = 1. L'ordonnée de C est 1.

On résout l'équation et on obtient 

L'abscisse de D est 

1

2

Théorème 2 : Dans un repère, on considère la droite D d’équation y = mx + p et la droite D'  d’équation y = m'x + p.
Dire que D et D' sont sécantes équivaut à 

Théorème 3 : Dans un repère, on considère trois points A, B et C tels que l’abscisse de A soit différente de celle de B et de celle de C.
Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les coefficients directeurs de (AB) et (AC) sont égaux.

Donc, d’après le Théorème 1, dire que (AB) // (AC) équivaut à dire que les coefficients directeurs de (AB) et (AC) sont égaux.

De plus, comme les droites (AB) et (AC) ont un point commun (le point A), dire qu’elles sont parallèles revient à dire qu’elles sont confondues et donc que les points A, B et C sont alignés.

d1 a pour coef. directeur :

d2 a pour coef. directeur :

donc les droites d1 et d2 ne sont pas parallèles.

      est parallèle à d donc       a le même coefficient directeur que d. il s'agit simplement de trouver p, son ordonnée à l'origine.

1

1

3

-1

M