Configurations du plan

Act. A p 172

H

V

\overrightarrow{TU}\neq \overrightarrow{DA}\text{ car les droites (TU) et (DA) ne sont pas parallèles,}
\text{ Les vecteurs } \overrightarrow{TU} \text{ et } \overrightarrow{DA} \text{ n'ont pas la même direction}.
\overrightarrow{CG}\neq \overrightarrow{DA}\text{ car }CG\neq DA
\text{ Les vecteurs } \overrightarrow{CG} \text{ et } \overrightarrow{DA} \text{ n'ont pas la même norme (longueur)}.
\overrightarrow{RB}\neq \overrightarrow{DA}\text{ car les vecteurs } \overrightarrow{CG} \text{ et } \overrightarrow{DA} \text{ n'ont pas le même sens}.

H

V

On peut écrire par exemple :
- Si \(EDAH\) est un parallélogramme alors les vecteurs \(\overrightarrow{ED}\) et \(\overrightarrow{HA}\) sont égaux.
- Si le point F est l’image du point V par la translation de vecteur \(\overrightarrow{DA}\) alors VDAF est un parallélogramme.

I

J

On peut passer du point H au point J par la translation de vecteur \(\overrightarrow{DM}\).

\text{On définit la somme de deux vecteurs : } \overrightarrow{DR}+\overrightarrow{RM}=\overrightarrow{DM}
  • Les trois caractéristiques d’un vecteur sont sa direction, son sens et sa norme (sa longueur).
  • Pour représenter un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) on trace une flèche dont le point initial est \(A\) et l’extrémité est le point \(B\).
  • Pour construire une somme de vecteurs, on représente le premier vecteur puis, à partir de l’extrémité de ce vecteur, on construit le deuxième. Le vecteur somme est défini par l’origine du premier vecteur et l’extrémité du second.

Démontrer avec des vecteurs

EX. 1 

A

B

C

M

N

Construction des points :

A

B

C

M

N

\text{M est l'image de C par la translation de }\overrightarrow{AB}
\text{donc }\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CM}.
\text{On en déduit que ABMC est un parallélogramme.}

A

B

C

M

N

\text{M est l'image de C par la translation de }\overrightarrow{AB}
\text{donc }\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CM}.
\text{On en déduit que ABMC est un parallélogramme.}
\text{Donc }\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{CA}.
\text{N est l'image de A par la translation de }\overrightarrow{CA}
\text{donc }\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AN}.

A

B

C

M

N

\textcolor{white}{\text{On a }}\overrightarrow{MB}\textcolor{white}{=\overrightarrow{CA}\text{ et }\overrightarrow{CA}=}\overrightarrow{AN}\textcolor{white}{ \text{ donc }}\overrightarrow{MB}\textcolor{white}{=}\overrightarrow{AN}.
\text{On en déduit que AMBN est un parallélogramme.}

EX. 2 

Règle du parallélogramme

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\Leftrightarrow
\text{ABDC est un parallélogramme}

Rq. Ici ABDC a un angle droit donc c'est un rectangle.

\text{On construit un représentant }
\text{du vecteur }\overrightarrow{CA} \text{ d'origine B, }\overrightarrow{BE}
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}
=\overrightarrow{AE}

d'après la relation de Chasles.

On met les vecteurs "bout à bout"

\text{On construit un représentant }
\text{du vecteur }\overrightarrow{CA} \text{ d'origine A, } \overrightarrow{AM}
\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MF}
=\overrightarrow{AF}

d'après la relation de Chasles.

On met les vecteurs "bout à bout" à partir de A

\text{On construit un représentant }
\text{du vecteur }\overrightarrow{BA} \text{ d'origine M, } \overrightarrow{MF}
\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}

On peut inverser les deux vecteurs dans une somme cela ne modifie pas le résultat 

d'après la relation de Chasles.

\text{On construit un représentant }\text{du vecteur }\overrightarrow{BC} \text{ d'origine A, } \overrightarrow{AG}

On conjecture que le quadrilatère DEFG est un rectangle.

Nous allons utiliser les vecteurs pour montrer que ses diagonales se coupent en leur milieu, A. 

\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BA}
=-\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}
=-(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB})
=-\overrightarrow{AD}
\overrightarrow{AF}=-\overrightarrow{AD}\Leftrightarrow \overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AF}
\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{AE}
\Leftrightarrow A\text{ est le milieu de }[DF].

On montre de la même façon 

que                              donc que

A est aussi le milieu de [GE].

Les diagonales du quadrilatère DEFG se coupent en leur milieu donc DEFG est un parallélogramme.

On a vu que ABDC est un rectangle donc 

\widehat{BDC}=90°.

Le parallélogramme DEFG a un angle droit donc c'est un rectangle.

EX. 3 

\text{ABCD est un quadrilatère.}\\ \text{Démontrer que } \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}

On va utiliser la relation de Chasles pour décomposer les vecteurs du premier membre de l'égalité afin de faire apparaître ceux du deuxième membre :

\overrightarrow{AD}\textcolor{white}{\;+}\textcolor{orange}{\;\overrightarrow{CB}} \textcolor{white}{=} \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}\textcolor{white}{\;+}\textcolor{orange}{\;\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}}

d'après la 

relation de Chasles.

\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DB}

On a donc

\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BB}

d'après la relation de Chasles.

\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{0}
\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}

soit

donc

d'où

41 p 186

Exemple : 

\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{AK}\dots

Exemple : 

\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AG}\dots

Exemple : 

\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{GI}=\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{CG}
\overrightarrow{NM}

42 p 187

d.~~\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}\text{ se transforme en }\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{EF}
\text{donc }\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{FE}

Géométrie
Repérée
 

Un repère quelconque

Définir un repère du plan, c’est choisir 3 points non alignés dans un ordre précis : O, I, J.

On note ce repère (O, I , J)

(OI) :

(OJ) :

Origine du repère

Repères

Repère orthogonal

Des repères particuliers :

Repère orthonormé

(OI)⊥(OJ)

(OI)⊥(OJ) et OI = OJ

abscisse 

du point M

ordonnée 

du point M

(xM ; yM) : coordonnées du point M dans le repère (O, I , J).

Exemples : Dans le repère (O, I , J), on a :

O (0 ; 0) ; I (1 ; 0) ; J (0 ; 1) ; A (3 ; 2) ; B (−2 ; 3) et C (−1 ; −2).

Coordonnées du milieu d’un segment

Coordonnées du milieu d’un segment

Soit (O, I , J) un repère du plan et A (xA ; yA) et B (xB ; yB) deux points du plan.

Les coordonnées du milieu M de [AB] sont :
 

x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}
y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}
M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)

et

Exemples :

1) C(−5 ; 7) et E(9 ; −4) sont deux points du plan muni d'un repère (O ; I, J).

Calculer les coordonnées du milieu K du segment [CE].

x_K=\dfrac{-5+9}{2}
y_K=\dfrac{7+(-4)}{2}

et

x_K=\dfrac{4}{2}
y_K=\dfrac{3}{2}

et

x_K=2
K\left(2 ~;~1,5\right)
y_K=1,5

et

Exemples :

2) M(−1 ; 3) et K(2 ; −3) sont deux points du plan muni d'un repère (O ; I, J).
Soit N le point du plan tel que K soit le milieu du segment [MN]. Calculer les coordonnées du point N.

\dfrac{-1+x_N}{2}=2
\dfrac{3+y_N}{2}=-3

et

-1+x_N=4
3+y_N=-6

et

x_N=5
y_N=-9

et

N(5 ;-9)

Exemples :

3) A(−1 ; 2), B(1 ; 4) et C(7 ; −2) sont trois points du plan muni d'un repère (O ; I, J).
Calculer les coordonnées du point D  tel que ABCD soit un parallélogramme.

Étape 1: 

On calcule les coordonnées de K, le milieu de [AC], diagonale du parallélogramme ABCD.

x_K=\dfrac{-1+7}{2}
y_K=\dfrac{2+(-2)}{2}

et

x_K=\dfrac{6}{2}
y_K=\dfrac{0}{2}

et

x_K=3
y_K=0

et

K(3~;~0)

Étape 2: 

K est aussi le milieu de la diagonale [BD], donc on a : 

\dfrac{x_B+x_D}{2}=x_K
\dfrac{y_B+y_D}{2}=y_K

et

\dfrac{1+x_D}{2}=3
\dfrac{4+y_D}{2}=0

et

1+x_D=6
4+y_D=0

et

x_D=5

et

y_D=-4
D(5~;~-4)

V

F

V

F

y_K=\dfrac{3+(-3)}{2}
y_K=0\text{ donc }K\in (OI).
A(1~;3)~;~C(3~;~-3)
x_L=\dfrac{1+(-2)}{2}
x_L=-0,5\neq 0\text{ donc }L\notin (OJ).
A(1~;3)~;~B(-2~;~0)
y_M=\dfrac{0+(-3)}{2}
y_M=-1,5\neq 0\text{ donc }M\notin (OI).
B(-2~;~0)~;~C(3~;~-3)

Vrai

Faux

Faux

(A, B et C uniquement)

x_K=\dfrac{1,5+4}{2}=2,75
y_K=\dfrac{8+5}{2}=6,5

et

K\left(2,75 ~;~6,5\right)

Le point  D est le symétrique du point A par rapport au point K si et seulement si le point K est le milieu de [AD] : 

\dfrac{1+x_D}{2}=2,75
\dfrac{3+y_D}{2}=6,5

et

1+x_D=5,5

et

3+y_D=13
x_D=4,5

et

y_D=10
D\left(4,5 ~;~10\right)

Les diagonales [BC] et [AD] du quadrilatère ABCD ont le même milieu K donc ABCD est un parallélogramme.

Distance

Soit (O, I , J) un repère orthonormé du plan.

A (xA ; yA) et B (xB ; yB) deux points du plan.
 

AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

La distance AB vérifie :

Le triangle ABC semble isocèle en C.

AC = \sqrt{(1-(-3))^2+(-4-3)^2}= \sqrt{4^2+(-7)^2}=\sqrt{16+49}= \sqrt{65}
BC = \sqrt{(1-2)^2+(-4-4)^2}=\sqrt{(-1)^2+(-8)^2} = \sqrt{1+64} = \sqrt{65}
AC = BC\text{ donc le triangle ABC est isocèle en C.}

On calcule les distances AC et BC pour montrer qu'elles sont égales :

AC=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}
BC=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}

Dans le repère \( (A\;;B\;,D)\) on a :

A(0\;;0)\;;B(1\;;0)\;;D(0\;;1)\;;
C(1\;;1)\;;E\left(\dfrac{1}{2}\;;1\right)\;;F\left(\dfrac{3}{4}\;;\dfrac{1}{4}\right)\;;
O\left(\dfrac{1}{2}\;;\dfrac{1}{2}\right)\;;

Le repère étant orthonormé on peut utiliser la formule de calcul d’une distance :

EF = \sqrt{(x_F-x_E)^2+(y_F-y_E)^2}
EF = \sqrt{\left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{4}-1\right)^2}
EF = \sqrt{\left(\dfrac{1}{4}\right)^2+\left(-\dfrac{3}{4}\right)^2}
EF = \sqrt{\dfrac{10}{16}}=\sqrt{0,625}
\text{On a de même} \;AF = \sqrt{\dfrac{10}{16}}=\sqrt{0,625}\;et\;AE = \sqrt{\dfrac{5}{4}}=\sqrt{1,25}

D'après la question 3., \(EF=AF\) donc le triangle AEF est isocèle en F.

\text{On a de plus} \;AF^2+EF^2 = \dfrac{10}{16}+\dfrac{10}{16} =\dfrac{5}{4}=AE^2

donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle AEF est rectangle en F.

Conclusion : le triangle AEF est isocèle rectangle en F.

2. D’après la figure ci-contre, on peut conjecturer que le quadrilatère est un losange.

3. On peut montrer que [BD] et [AC] se coupent en leur milieu et que  AB = BC... 

Les points K et L sont confondus donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

AB = \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)^2+\left(2-(-1)\right)^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}
BC = \sqrt{\left(\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(-1-2\right)^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}

On a AB = BC ; Le parallélogramme ABCD a deux côtés consécutifs de même longueur donc c'est un losange.

Vecteurs 

et coordonnées

\vec{u}=\vec{v} \text{ donc }\vec{u}\text{ et } \vec{v} \text{ ont les mêmes coordonnées : }
\begin{align*} x-6&=-3\\ x&=-3+6\\ x&=3 \end{align*}
\begin{align*} y+9&=5\\ y&=5-9\\ y&=-4 \end{align*}
\vec{u}=\vec{v} \text{ donc }\vec{u}\text{ et } \vec{v} \text{ ont les mêmes coordonnées : }
\begin{align*} 2x+5&=11\\ 2x&=6\\ x&=3 \end{align*}
\begin{align*} 3-2y&=-13\\ -2y&=-16\\ y&=8 \end{align*}
\vec{u}=\vec{v} \text{ donc }\vec{u}\text{ et } \vec{v} \text{ ont les mêmes coordonnées : }
\begin{align*} -3x-5x&=-10+2\\ -8x&=-8\\ x&=1 \end{align*}

On conjecture que ABCD est un parallélogramme.

Pour le démontrer on va prouver que \( \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_{B}-x_{A} \\y_{B}-y_{A}\end{pmatrix}
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4-(-4) \\-2-(-3)\end{pmatrix}
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}8 \\1\end{pmatrix}
\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}x_{C}-x_{D} \\y_{C}-y_{D}\end{pmatrix}
\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}3-(-5) \\2-1\end{pmatrix}
\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}8 \\1\end{pmatrix}
\overrightarrow{AB}\text{ et } \overrightarrow{DC} \text{ ont les mêmes coordonnées donc }\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.
\text{On en déduit que }ABCD \text{ est un parallélogramme.}
C\text{ est le milieu de [BE].}

Pour le démontrer on va prouver que \( \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CE}\).

\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}x_{C}-x_{B} \\y_{C}-y_{B}\end{pmatrix}
\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}3-4 \\2-(-2)\end{pmatrix}
\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-1 \\4\end{pmatrix}
\overrightarrow{CE}\begin{pmatrix}x_{E}-x_{C} \\y_{E}-y_{C}\end{pmatrix}
\overrightarrow{CE}\begin{pmatrix}2-3 \\6-2\end{pmatrix}
\overrightarrow{CE}\begin{pmatrix}-1 \\4\end{pmatrix}
\overrightarrow{BC}\text{ et } \overrightarrow{CE} \text{ ont les mêmes coordonnées donc }\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CE}.
\text{ On en déduit que }C\text{ est le milieu de [BE].}
C\text{ est l'image de }E \text{ par la translation}
\text{de vecteur }\overrightarrow{DA}.

Pour le démontrer on va prouver que \( \overrightarrow{EC}=\overrightarrow{DA}\).

\overrightarrow{EC}\begin{pmatrix}x_{C}-x_{E} \\y_{C}-y_{E}\end{pmatrix}
\overrightarrow{EC}\begin{pmatrix}3-2 \\2-6\end{pmatrix}
\overrightarrow{EC}\begin{pmatrix}1 \\-4\end{pmatrix}
\overrightarrow{DA}\begin{pmatrix}x_{A}-x_{D} \\y_{A}-y_{D}\end{pmatrix}
\overrightarrow{DA}\begin{pmatrix}-4-(-5) \\-3-1\end{pmatrix}
\overrightarrow{DA}\begin{pmatrix}1 \\-4\end{pmatrix}
\overrightarrow{EC}\text{ et } \overrightarrow{DA} \text{ ont les mêmes coordonnées donc }\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{DA}.
\text{ On en déduit que }C\text{ est l'image de }E \text{ par la translation de vecteur }\overrightarrow{DA}.
\vec{u}
\vec{v}
\vec{w}
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_{B}-x_{A} \\y_{B}-y_{A}\end{pmatrix}
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4-5) \\2-(-6)\end{pmatrix}
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1 \\8\end{pmatrix}
\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}x_{D}-x_{C} \\y_{D}-y_{C}\end{pmatrix}
\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}4-x \\-7-y\end{pmatrix}
\text{donc }\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-1+4-x \\8-7-y\end{pmatrix}
\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}3-x \\1-y\end{pmatrix}
\text{or }\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}5 \\4\end{pmatrix}
\begin{align*} 3-x&=5 \end{align*}
\begin{align*} 1-y&=4 \end{align*}
\text{On doit donc résoudre }
\text{ et }
\text{Conclusion : }C(-2\,;-3)
\begin{align*} -x&=5-3\\ x&=-2 \end{align*}
\begin{align*} -y&=4-1\\ y&=-3 \end{align*}
\overrightarrow{RS}\begin{pmatrix}x_{S}-x_{R} \\y_{S}-y_{R}\end{pmatrix}
\overrightarrow{RS}\begin{pmatrix}2-5 \\-4-1\end{pmatrix}
\overrightarrow{RS}\begin{pmatrix}-3 \\-5\end{pmatrix}
\overrightarrow{TU}\begin{pmatrix}x_{U}-x_{T} \\y_{U}-y_{T}\end{pmatrix}
\overrightarrow{TU}\begin{pmatrix}1-(-3) \\4-1\end{pmatrix}
\text{donc }\overrightarrow{VW}\begin{pmatrix}-3+4 \\-5+3\end{pmatrix}
\overrightarrow{VW}\begin{pmatrix}1 \\-2\end{pmatrix}
\text{or }\overrightarrow{VW}\begin{pmatrix}x-3 \\y-5\end{pmatrix}
\begin{align*} x-3&=1 \end{align*}
\begin{align*} y-5&=-2 \end{align*}
\text{On doit donc résoudre }
\text{ et }
\text{Conclusion : }W(4\,;3)
\begin{align*} x&=4 \end{align*}
\begin{align*} y&=3 \end{align*}
\overrightarrow{TU}\begin{pmatrix}4 \\3\end{pmatrix}
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