donc le quadrilatère BDCA est un parallélogramme.
On en déduit que
Il en résulte que
et le quadrilatère ADCE est un parallélogramme.
1.1 Vecteurs colinéaires
Remarque : On conviendra que le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.
Applications :
1.2 Expression de la colinéarité dans un repère
Remarque :
Cette propriété est due au fait que deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
2.1 Décomposer un vecteur suivant deux vecteurs non colinéaires
Exemples :
1) Sur la figure ci-dessous on a :
Théorème 2 : (admis) Soit A, B et C trois points du plan non alignés. Alors, pour tout point M du plan, il existe un unique couple de réels (x ; y) tel que :
Remarques :
2.2 Une nouvelle notation pour les repères
Soit O, I, J trois points non alignés. Ils forment donc le repère (O ; I ; J).
Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc d’après le 2.1, pour tout point M du plan, il existe un unique couple (x ; y) tel que : Ce couple (x ; y) est en fait le couple de coordonnées du point M dans le repère (O ; I ; J)
On notera donc ce repère sous la forme :
Remarque : Le choix d’un point et de deux vecteurs non colinéaires permet donc de définir un repère du plan. Choisir un repère peut permettre de résoudre plus facilement des problèmes liés à la colinéarité (voir exercice résolu F page 176 TransMath).
2 (a) (b)
Les vecteurs sont colinéaires donc les points B, C et D sont alignés.
2 (a)
donc les droites (IJ) et (BC) sont parallèles.
2 (b)
AEGF est un parallélogramme donc
(ABCD, parallélogramme)
Les vecteurs
sont colinéaires donc
les points A, C et G sont alignés.
2 (a)
2 (b)
Les vecteurs sont colinéaires donc les points B, C et D sont alignés.
2 (a)
(ABCD est un parallélogramme donc )
2 (b)
sont colinéaires
donc I, J et C sont alignés.
a)
b)
c)
I est le milieu de [AB] donc
On en déduit que
Les vecteurs sont donc colinéaires et les droites (AP) et (CI) sont parallèles.
3.1 Vecteur directeur d’une droite
Définition : Soit d une droite.
On dit que le vecteur est un vecteur directeur de d si sa direction est celle de d .
Remarques :
Propriété : Soit d et d' deux droites de vecteurs directeurs respectifs d et d' sont parallèles si et seulement si sont colinéaires.
3.2 Équation cartésienne d’une droite
Théorème : Dans un repère :
Remarque : Il n’y a pas unicité de l’équation cartésienne d’une droite. La droite D d’équation x − y + 1 = 0 admet aussi comme équation 2x − 2y + 2 = 0 ou −x + y − 1 = 0 par exemple.
D’après la démonstration précédente, on a la propriété suivante :
Propriété : Soit D la droite d’équation ax + by + c = 0.
Le vecteur est un vecteur directeur de D.
Exercice résolu : Trouver une équation cartésienne de la droite D passant par A (1 ; 2) et de vecteur directeur :
a) d est parallèle à \(\Delta\) donc d a une équation de la forme
\( 2x-y+c=0\) et \(A(0~;1) \in d\) donc \( 2\times 0-1+c=0\Leftrightarrow c=1\)
Une équation cartésienne de d : \( 2x-y+1=0\)
b) d est parallèle à \(\Delta\) donc d a une équation de la forme
\( 28x-25y-9=0\) est une équation cartésienne de d.
3.3 Lien entre équation réduite et équation cartésienne
Propriété 1 : Soit D une droite d’équation cartésienne
ax + by + c = 0 (avec a et b non simultanément nuls).
Propriété 2 : Dans un repère