Dérivation : Exercices

Dérivation

(La droite \(d_4\) passe par la point de coordonnées (3 ; 3))

y=mx+ p

m:\text{ coefficient directeur}

p:\text{ ordonnée à l'origine}

d_1:m=-2

d_2:m=0

d_3: \text{ pas de coefficient directeur}

d_4: m=\dfrac{2}{3}

2.\;\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\dfrac{h(-h-3)}{h}=-h-3

1.\;f(2+h)-f(2)=-(2+h)^2+(2+h)-(-2)

=-(4+4h+h^2)+h+4

=-h^2-3h

La limite de \(-h-3\) quand \(h\) tend vers 0 est égale à \(-3\) donc \(f\) est dérivable en 2 et \(f'(2)=-3\).

3. A la calculatrice :

1.\;(a+b)^3=(a+b)(a+b)^2

=(a+b)(a^2+2ab+b^2)

=a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3

2.\;\dfrac{(2+h)^3-2^3}{h}=\dfrac{8+3\times 2^2h+3\times 2h^2+h^3-8}{h}

=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

\;\dfrac{(2+h)^3-2^3}{h}=\dfrac{12h+6h^2+h^3}{h}

=\dfrac{h(12+6h+h^2)}{h}

=12+6h+h^2

La limite de \(12+6h+h^2\) quand \(h\) tend vers 0 est égale à \(12\) donc \(f\) est dérivable en 2 et \(f'(2)=12\).

3. A la calculatrice :

1.\;a.\;f(1+h)-f(1)=\dfrac{1}{1+h}-\dfrac{1}{1}=\dfrac{1}{1+h}-\dfrac{1+h}{1+h}=\dfrac{-h}{1+h}

b.\;\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{-1}{1+h}

La limite de \(\dfrac{-1}{1+h}\) quand \(h\) tend vers 0 est égale à \(-1\) donc \(f\) est dérivable en 1 et \(f'(1)=-1\).

2.\;f(2+h)-f(2)=\dfrac{1}{2+h}-\dfrac{1}{2}

\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\dfrac{-1}{2(2+h)}

La limite de \(\dfrac{-1}{2(2+h)}\) quand \(h\) tend vers 0 est égale à \(-\dfrac{1}{4}\) donc \(f\) est dérivable en 2 et

\(f'(2)=-\dfrac{1}{4}\).

=\dfrac{2}{2(2+h)}-\dfrac{2+h}{2(2+h)}

=\dfrac{-h}{2(2+h)}

On en déduit que

f'\left(-\dfrac{5}{2}\right)=0

f'(-4)=-\dfrac{3}{2}

f'(0)=\dfrac{5}{2}

\(f'(1)\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A d'abscisse 1, c'est à dire la droite (AB).

f'(1)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{\dfrac{5}{2}-\left(-\dfrac{3}{2}\right)}{-1-1}=\dfrac{4}{-2}=-2

1.\;T_A : y=4

2.\;T_B : y=mx+p

m=\dfrac{y_B-\dfrac{29}{4}}{x_B-(-2)}

m=\dfrac{\dfrac{4}{4}-\dfrac{29}{4}}{-1-(-2)}=-\dfrac{25}{4}

On remplace m par \(-\dfrac{25}{4}\) dans l'équation de \(T_B\) :

T_B : y=-\dfrac{25}{4}x+p

B(-1\;;1)\in T_B\;donc\;1=-\dfrac{25}{4}\times(-1)+p

On en déduit que \(p=-\dfrac{21}{4}\).

T_B : y=-\dfrac{25}{4}x-\dfrac{21}{4}

3. \(T_B\) a pour coefficient directeur \(f'(-1)=-\dfrac{25}{4}\) .

\(T_C\) a pour coefficient directeur \(f'(3)=-\dfrac{101}{12}\) .

\(-\dfrac{25}{4}\neq -\dfrac{101}{12}\) donc \(T_B\) et \(T_C\) ne sont pas parallèles.

y=2(x+2)-3

y=2x+1

\(T_A\) admet pour équation réduite

T_A : y=f'(-2)(x-(-2))+f(2)

y=f'(a)(x-a)+f(a)

1. Équation réduite de la tangente à \(C_f\) au point d'abscisse \(a\) :

Pour\;a=-2:

y=-5x+15

\(T_B\) admet pour équation réduite

T_B : y=f'(0)(x-0)+f(0)

Pour\;a=0:

y=-\dfrac{1}{2}(x-10)+1

y=-\dfrac{1}{2}x+6

\(T_C\) admet pour équation réduite

T_C : y=f'(10)(x-10)+f(10)

Pour\;a=10:

Parcours orange

f(4) = 0

y=f'(4)(x-4)+f(4)

1. Équation réduite de la tangente à \(C_f\) au point d'abscisse \(4\) :

y=f'(4)(x-4)

Calcul de \(f'(4)\) :

f(4+h)-f(4) =- (4+h)^2+2(4+h)+8

=-(16+8h+h^2)+8+2h+8

=-h^2-6h

=-h(h+6)

donc\;\dfrac{f(4+h)-f(4)}{h} =-h-6

La limite de \(-h-6\) quand \(h\) tend vers 0 est égale à \(-6\) donc \(f'(4)=-6\).

L'équation réduite de la tangente à \(C_f\) au point d'abscisse \(4\) est donc

soit\;y=-6x+24

y=-6(x-4)

2. Pour étudier les positions relatives de \(\mathcal{C_f}\) et de \(d\) on étudie le signe de \(f(x)-(-6x+24)\).

f(x)-(-6x+24) = -x^2+2x+8+6x-24

= -x^2+8x-16

\(\Delta=0\) donc le trinôme admet une racine double \(x_0=4\).

\(a<0\) donc \(-x^2+8x-16\leqslant 0\) pour tout réel \(x\).

Conclusion : \(C_f\) est toujours située sous sa tangente \(d\)

f(a+h)-f(a)=3(a+h)^2-2(a+h)+1-(3a^2-2a+1)

=3(a^2+2ah+h^2)-2a-2h+1-3a^2+2a-1

=6ah+3h^2-2h

=h(6a+3h-2)

\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=6a+3h-2

On en déduit que

La limite de \(6a+3h-2\) quand \(h\) tend vers 0 est égale à \(6a-2\) donc pour tout réel \(a\), \(f\) est dérivable en \(a\) et \(f'(a)=6a-2\).

1. a. Calcul de \(f'(-2)\) :

f(-2+h)-f(-2) =\dfrac{1}{-2+h}-\dfrac{1}{-2}

donc\;\dfrac{f(-2+h)-f(-2)}{h} =\dfrac{1}{2(h-2)}

=\dfrac{-2}{-2(-2+h)}-\dfrac{-2+h}{-2(-2+h)}

=\dfrac{-h}{-2(-2+h)}

=\dfrac{h}{2(h-2)}

La limite de \(\dfrac{1}{2(h-2)}\) quand \(h\) tend vers 0 est égale à \(-\dfrac{1}{4}\) donc \(f'(-2)=-\dfrac{1}{4}\).

Avec un calcul similaire, on obtient \(f'(2)=-\dfrac{1}{4}\).

f(-2) =-\dfrac{1}{2}

y=f'(-2)(x-(-2))+f(-2)

b. Équation réduite de la tangente à \(C_f\) au point d'abscisse \(-2\) :

y=-\dfrac{1}{4}(x+2)-\dfrac{1}{2}

y=-\dfrac{1}{4}x-1

f(2) =\dfrac{1}{2}

y=f'(2)(x-2)+f(2)

Équation réduite de la tangente à \(C_f\) au point d'abscisse \(2\) :

y=-\dfrac{1}{4}(x-2)+\dfrac{1}{2}

y=-\dfrac{1}{4}x+1

c. Les deux tangentes ont le même coefficient directeur donc elles sont parallèles.

3. \(A'\) est le symétrique de \(A(a\;;f(a))\) par rapport à O donc ses coordonnées sont \((-a\;;-f(a))\).

\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} =\dfrac{-1}{a(a+h)}

f(a+h)-f(a) =\dfrac{1}{a+h}-\dfrac{1}{a}

=\dfrac{a}{a(a+h)}-\dfrac{a+h}{a(a+h)}

=\dfrac{-h}{a(a+h)}

La limite de \(\dfrac{-1}{a(a+h)}\) quand \(h\) tend vers 0 est égale à \(-\dfrac{1}{a^2}\) donc \(f'(a)=-\dfrac{1}{a^2}\) pour tout réel \(a\neq 0\).

On en déduit que

f'(-a)=-\dfrac{1}{(-a)^2}=-\dfrac{1}{a^2}=f'(a)

Les tangentes ont le même coefficient directeur donc elles sont parallèles.

On\;a\;f(1)=g(1) =3.

On calcule \(f'(1)\) et \(g'(1)\) et on montre qu'ils sont égaux à \(-2\).

Cela prouve que \(C_f\) et \(C_g\) ont une tangente commune en A.

Son\;équation :\;y=-2(x-1)+3\Leftrightarrow y =-2x+5

1. On a \(f(0) =0\). Calcul de \(f'(0)\) :

f(0+h)-f(0) =h^3-h = h(h^2-1)

\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h} = h^2-1

La limite de \(h^2-1\) quand \(h\) tend vers 0 est égale à \(-1\) donc \(f'(0)=-1\).

\(d\) la tangente à la courbe en O a donc pour équation réduite \(y=-x\).

2. On cherche à déterminer \(a\) l'abscisse du point A tel que \(g'(a)=-1\).

g(a+h)-g(a) =-(a+h)^2+3(a+h)-4-(-a^2+3a-4)

=-(a^2+2ah+h^2)+3a+3h-4+a^2-3a+4

=-2ah-h^2+3h

\dfrac{g(a+h)-g(a)}{h} = -2a-h+3

=h(-2a-h+3)

La limite de \(-2a-h+3\) quand \(h\) tend vers 0 est égale à \(-2a+3\) donc \(g'(a)=-2a+3\).

g'(a)=-1\Leftrightarrow -2a+3 = -1\Leftrightarrow a = 2

g(2)=-2\;et\;g'(2)=-1

donc la tangente à \(C_g\) au point \(A(2\;;-2)\) a pour équation réduite

y=-(x-2)-2

soit\;y= -x.

La tangente à \(C_g\) au point \(A(2\;;-2)\) est donc la droite \(d\).

Parcours vert

f'(x)=0

g'(x)=4

f'(x)=4x^3

g'(x)=4\times 4x^3=16x^3

f'(x)=4x-3

g'(x)=3x^2+8x+5

f'(x)=x^3-x^2+x

g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x^2}

f \text{ est de la forme } u\times v

\text{avec } u(x)=2x-1\text{ et } v(x)=x+3

\text{On a donc } u'(x)=2\text{ et } v'(x)=1

f'=u'v+uv'

f'(x)=2 (x+3)+(2x-1)\times 1

f'(x)=2x+6+2x-1

f'(x)=4x+5

g \text{ est de la forme } u\times v

\text{avec } u(x)=x^2-x+2\text{ et } v(x)=2x^3-4

\text{On a donc } u'(x)=2x-1\text{ et } v'(x)=6x^2

g'=u'v+uv'

g'(x)= (2x-1)(2x^3-4)+(x^2-x+2)\times 6x^2

g'(x)=4x^4-8x-2x^3+4+6x^4-6x^3+12x^2

g'(x)=10x^4-8x^3+12x^2-8x+4

2.\;f \text{ est de la forme } u\times v

\text{avec } u(x)=\sqrt{x}\text{ et } v(x)=x+1

\text{On a donc } u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\text{ et } v'(x)=1

f'=u'v+uv'

f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} (x+1)+\sqrt{x}\times 1

1.\;f \text{ est définie sur } [0~;~+\infty[ \text{ et dérivable sur }]0~;~+\infty[.

f'(x)=\dfrac{x+1}{2\sqrt{x}} +\dfrac{\sqrt{x}\times 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}

f'(x)=\dfrac{3x+1}{2\sqrt{x}}

f'(x)=\dfrac{x+1}{2\sqrt{x}} +\dfrac{2x}{2\sqrt{x}}

2.\;g \text{ est de la forme } u\times v

\text{avec } u(x)=\sqrt{x}\text{ et } v(x)=x^2-x+1

\text{On a donc } u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\text{ et } v'(x)=2x-1

g'=u'v+uv'

g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} (x^2-x+1)+\sqrt{x}\times (2x-1)

1.\;g \text{ est définie sur } [0~;~+\infty[ \text{ et dérivable sur }]0~;~+\infty[.

g'(x)=\dfrac{x^2-x+1}{2\sqrt{x}} +\dfrac{\sqrt{x}\times(2x-1)\times 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}

g'(x)=\dfrac{x^2-x+1+2x(2x-1)}{2\sqrt{x}}

g'(x)=\dfrac{x^2-x+1+4x^2-2x}{2\sqrt{x}}

g'(x)=\dfrac{5x^2-3x+1}{2\sqrt{x}}

1.\;f \text{ est de la forme } u\times v

\text{avec } u(x)=\sqrt{x}\text{ et } v(x)=x^2+1

\text{On a donc } u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\text{ et } v'(x)=2x

f'=u'v+uv'

f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} (x^2+1)+\sqrt{x}\times 2x

f'(x)=\dfrac{x^2+1}{2\sqrt{x}} +\dfrac{2x\sqrt{x}\times 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}

f'(x)=\dfrac{5x^2+1}{2\sqrt{x}}

f'(x)=\dfrac{x^2+1}{2\sqrt{x}} +\dfrac{4x^2}{2\sqrt{x}}

2.\;g \text{ est de la forme } u\times v

\text{avec } u(x)=\dfrac{1}{x}\text{ et } v(x)=x^2-1

\text{On a donc } u'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\text{ et } v'(x)=2x

g'=u'v+uv'

g'(x)=-\dfrac{1}{x^2}(x^2-1)+\dfrac{1}{x}\times 2x

g'(x)=\dfrac{1-x^2}{x^2} +\dfrac{2x^2}{x^2}

g'(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2}

1.\;f \text{ est de la forme }\dfrac{4}{v}\text{ avec } v(x)= 2x-3.

\text{On a } v'(x)=2.

\text{donc }f'=-\dfrac{4v'}{v^2}

\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}

f'(x)=-\dfrac{8}{(2x-3)^2}

2.\;g \text{ est de la forme }\dfrac{2}{v}\text{ avec } v(x)= 1-4x.

\text{On a } v'(x)=-4.

\text{donc }g'=-\dfrac{2v'}{v^2}

\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}

g'(x)=\dfrac{8}{(1-4x)^2}

1.\;f \text{ est de la forme }\dfrac{-2}{v}\text{ avec } v(x)= x^2+x+1.

\text{On a } v'(x)=2x+1.

\text{donc }f'=\dfrac{2v'}{v^2}

\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}

f'(x)=\dfrac{2(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}

2.\;g \text{ est de la forme }\dfrac{3}{v}\text{ avec } v(x)= x^4+1.

\text{On a } v'(x)=4x^3.

\text{donc }g'=-\dfrac{3v'}{v^2}

\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}

g'(x)=-\dfrac{12x^3}{(x^4+1)^2}

1.\;f \text{ est de la forme } \dfrac{u}{v}

\text{avec } u(x)=5x-1\text{ et } v(x)=x+2

\text{On a donc } u'(x)=5\text{ et } v'(x)=1

f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}

f'(x)=\dfrac{5(x+2)-(5x-1)\times 1}{(x+2)^2}

f'(x)=\dfrac{5x+10-5x+1}{(x+2)^2}

f'(x)=\dfrac{11}{(x+2)^2}

2.\;g \text{ est de la forme } \dfrac{u}{v}

\text{avec } u(x)=3-x\text{ et } v(x)=1+4x

\text{On a donc } u'(x)=-1\text{ et } v'(x)=4

g'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}

g'(x)=\dfrac{-1(1+4x)-(3-x)\times 4}{(1+4x)^2}

g'(x)=\dfrac{-1-4x-12+4x}{(1+4x)^2}

g'(x)=\dfrac{-13}{(1+4x)^2}

1.\;f \text{ est de la forme } \dfrac{u}{v}

\text{avec } u(x)=x-1\text{ et } v(x)=x^2+x+1

\text{On a donc } u'(x)=1\text{ et } v'(x)=2x+1

f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}

f'(x)=\dfrac{1\times (x^2+x+1)-(x-1)\times (2x+1)}{(x^2+x+1)^2}

f'(x)=\dfrac{x^2+x+1-(2x^2+x-2x-1)}{(x^2+x+1)^2}

f'(x)=\dfrac{-x^2+2x+2}{(x^2+x+1)^2}

f'(x)=\dfrac{x^2+x+1-2x^2-x+2x+1}{(x^2+x+1)^2}

2.\;g \text{ est de la forme } \dfrac{u}{v}

\text{avec } u(x)=x^2+x+1\text{ et } v(x)=x^2+1

\text{On a donc } u'(x)=2x+1\text{ et } v'(x)=2x

g'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}

g'(x)=\dfrac{(2x+1)\times (x^2+1)-(x^2+x+1)\times 2x}{(x^2+1)^2}

g'(x)=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}

g'(x)=\dfrac{2x^3+2x+x^2+1-2x^3-2x^2-2x}{(x^2+1)^2}

1.\;f \text{ est de la forme } \dfrac{u}{v}

\text{avec } u(x)=\sqrt{x}\text{ et } v(x)=x+1

\text{On a donc } u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\text{ et } v'(x)=1

f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}

f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\times (x+1)-\sqrt{x}\times 1}{(x+1)^2}

f'(x)=\dfrac{\dfrac{x+1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{x}\times 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}}{(x+1)^2}

f'(x)=\dfrac{\dfrac{x+1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{2x}{2\sqrt{x}}}{(x+1)^2}

f'(x)=\dfrac{\dfrac{1-x}{2\sqrt{x}}}{(x+1)^2}

f'(x)=\dfrac{\dfrac{1-x}{2\sqrt{x}}}{(x+1)^2}

f'(x)=\dfrac{1-x}{2\sqrt{x}}\times \dfrac{1}{(x+1)^2}

f'(x)=\dfrac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}

2.\;g \text{ est de la forme } \dfrac{u}{v}

\text{avec } u(x)=\sqrt{x}\text{ et } v(x)=x^2+1

\text{On a donc } u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\text{ et } v'(x)=2x

g'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}

g'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\times (x^2+1)-\sqrt{x}\times 2x}{(x^2+1)^2}

g'(x)=\dfrac{\dfrac{x^2+1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{x}\times 2x\times 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}}{(x^2+1)^2}

g'(x)=\dfrac{\dfrac{x^2+1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{4x^2}{2\sqrt{x}}}{(x^2+1)^2}

g'(x)=\dfrac{\dfrac{1-3x^2}{2\sqrt{x}}}{(x^2+1)^2}

g'(x)=\dfrac{\dfrac{1-3x^2}{2\sqrt{x}}}{(x^2+1)^2}

g'(x)=\dfrac{1-3x^2}{2\sqrt{x}}\times \dfrac{1}{(x^2+1)^2}

g'(x)=\dfrac{1-3x^2}{2\sqrt{x}(x^2+1)^2}

1.\;f \text{ est de la forme } g(ax+b)\text{ avec } g(x)=x^2\text{ et }ax+b=5x+3.

f'(x)=5\times 2(5x+3)

f'(x)=a\times g'(ax+b)

\text{On a }g'(x)=2x.

f'(x)=10(5x+3)

f'(x)=50x+30

\text{Donc }g'(5x+3)=2(5x+3).

2.\;f\text{ est de la forme } g(ax+b)\text{ avec } g(x)=\sqrt{x}\text{ et }ax+b=3x-4.

f'(x)=3\times \dfrac{1}{2\sqrt{3x-4}}

f'(x)=a\times g'(ax+b)

\text{On a }g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.

f'(x)=\dfrac{3}{2\sqrt{3x-4}}

\text{Donc }g'(3x-4)=\dfrac{1}{2\sqrt{3x-4}}.

3.\;f\text{ est de la forme } g(ax+b)\text{ avec } g(x)=x^3\text{ et }ax+b=\dfrac{1}{2}x-1.

f'(x)=\dfrac{1}{2}\times 3\left(\dfrac{1}{2}x-1\right)^2

f'(x)=a\times g'(ax+b)

\text{On a }g'(x)=3x^2.

\text{Donc }g'\left(\dfrac{1}{2}x-1\right)=3\left(\dfrac{1}{2}x-1\right)^2

f'(x)=\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{2}x-1\right)^2