Dérivation
| (La droite d4 passe par la point de coordonnées (3 ; 3)) |
y=mx+p
y=mx+ p
m: coefficient directeur
m:\text{ coefficient directeur}
p: ordonneˊe aˋ l’origine
p:\text{ ordonnée à l'origine}
d1:m=−2
d_1:m=-2
d2:m=0
d_2:m=0
d3: pas de coefficient directeur
d_3: \text{ pas de coefficient directeur}
d4:m=32
d_4: m=\dfrac{2}{3}
2.hf(2+h)−f(2)=hh(−h−3)=−h−3
2.\;\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\dfrac{h(-h-3)}{h}=-h-3
1.f(2+h)−f(2)=−(2+h)2+(2+h)−(−2)
1.\;f(2+h)-f(2)=-(2+h)^2+(2+h)-(-2)
=−(4+4h+h2)+h+4
=-(4+4h+h^2)+h+4
=−h2−3h
=-h^2-3h
La limite de −h−3 quand h tend vers 0 est égale à −3 donc f est dérivable en 2 et f′(2)=−3.
3. A la calculatrice :
1.(a+b)3=(a+b)(a+b)2
1.\;(a+b)^3=(a+b)(a+b)^2
=(a+b)(a2+2ab+b2)
=(a+b)(a^2+2ab+b^2)
=a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3
=a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3
2.h(2+h)3−23=h8+3×22h+3×2h2+h3−8
2.\;\dfrac{(2+h)^3-2^3}{h}=\dfrac{8+3\times 2^2h+3\times 2h^2+h^3-8}{h}
=a3+3a2b+3ab2+b3
=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
h(2+h)3−23=h12h+6h2+h3
\;\dfrac{(2+h)^3-2^3}{h}=\dfrac{12h+6h^2+h^3}{h}
=hh(12+6h+h2)
=\dfrac{h(12+6h+h^2)}{h}
=12+6h+h2
=12+6h+h^2
La limite de 12+6h+h2 quand h tend vers 0 est égale à 12 donc f est dérivable en 2 et f′(2)=12.
3. A la calculatrice :
1.a.f(1+h)−f(1)=1+h1−11=1+h1−1+h1+h=1+h−h
1.\;a.\;f(1+h)-f(1)=\dfrac{1}{1+h}-\dfrac{1}{1}=\dfrac{1}{1+h}-\dfrac{1+h}{1+h}=\dfrac{-h}{1+h}
b.hf(1+h)−f(1)=1+h−1
b.\;\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{-1}{1+h}
La limite de 1+h−1 quand h tend vers 0 est égale à −1 donc f est dérivable en 1 et f′(1)=−1.
2.f(2+h)−f(2)=2+h1−21
2.\;f(2+h)-f(2)=\dfrac{1}{2+h}-\dfrac{1}{2}
hf(2+h)−f(2)=2(2+h)−1
\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\dfrac{-1}{2(2+h)}
La limite de 2(2+h)−1 quand h tend vers 0 est égale à −41 donc f est dérivable en 2 et
f′(2)=−41.
=2(2+h)2−2(2+h)2+h
=\dfrac{2}{2(2+h)}-\dfrac{2+h}{2(2+h)}
=2(2+h)−h
=\dfrac{-h}{2(2+h)}
On en déduit que
f′(−25)=0
f'\left(-\dfrac{5}{2}\right)=0
f′(−4)=−23
f'(-4)=-\dfrac{3}{2}
f′(0)=25
f'(0)=\dfrac{5}{2}
f′(1) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A d'abscisse 1, c'est à dire la droite (AB).
f′(1)=xB−xAyB−yA=−1−125−(−23)=−24=−2
f'(1)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{\dfrac{5}{2}-\left(-\dfrac{3}{2}\right)}{-1-1}=\dfrac{4}{-2}=-2
1.TA:y=4
1.\;T_A : y=4
2.TB:y=mx+p
2.\;T_B : y=mx+p
m=xB−(−2)yB−429
m=\dfrac{y_B-\dfrac{29}{4}}{x_B-(-2)}
m=−1−(−2)44−429=−425
m=\dfrac{\dfrac{4}{4}-\dfrac{29}{4}}{-1-(-2)}=-\dfrac{25}{4}
On remplace m par −425 dans l'équation de TB :
TB:y=−425x+p
T_B : y=-\dfrac{25}{4}x+p
B(−1;1)∈TBdonc1=−425×(−1)+p
B(-1\;;1)\in T_B\;donc\;1=-\dfrac{25}{4}\times(-1)+p
On en déduit que p=−421.
TB:y=−425x−421
T_B : y=-\dfrac{25}{4}x-\dfrac{21}{4}
3. TB a pour coefficient directeur f′(−1)=−425 .
TC a pour coefficient directeur f′(3)=−12101 .
−425=−12101 donc TB et TC ne sont pas parallèles.
y=f′(a)(x−a)+f(a)
y=f'(a)(x-a)+f(a)
Équation réduite de la tangente à Cf au point d'abscisse a :
A(a;f(a))
A(a\,;f(a))
y=2(x+2)−3
y=2(x+2)-3
y=2x+1.
y=2x+1.
TA admet pour équation réduite
Pour le point A :
\text{Pour le point A : }
a=−2
a=-2
f(a)=f(−2)=−3
f(a)=f(-2)=-3
f′(a)=f′(−2)=2
f'(a)=f'(-2)=2
y=2x+4−3
y=2x+4-3
y=2x+1
y=2x+1
y=f′(a)(x−a)+f(a)
y=f'(a)(x-a)+f(a)
Équation réduite de la tangente à Cf au point d'abscisse a :
B(a;f(a))
B(a\,;f(a))
y=−5(x−0)+15
y=-5(x-0)+15
Pour le point B :
\text{Pour le point B : }
a=0
a=0
f(a)=f(0)=15
f(a)=f(0)=15
f′(a)=f′(0)=−5
f'(a)=f'(0)=-5
y=−5x+15
y=-5x+15
y=−5x+15
y=-5x+15
TB admet pour équation réduite
y=f′(a)(x−a)+f(a)
y=f'(a)(x-a)+f(a)
Équation réduite de la tangente à Cf au point d'abscisse a :
C(a;f(a))
C(a\,;f(a))
y=−21(x−10)+1
y=-\dfrac{1}{2}(x-10)+1
Pour le point C :
\text{Pour le point C : }
a=10
a=10
f(a)=f(10)=1
f(a)=f(10)=1
f′(a)=f′(10)=−21
f'(a)=f'(10)=-\dfrac{1}{2}
y=−21x+5+1
y=-\dfrac{1}{2}x+5+1
y=−21x+6
y=-\dfrac{1}{2}x+6
TC admet pour équation réduite
y=−21x+6
y=-\dfrac{1}{2}x+6
Parcours orange
2.
2.
f(4)=0
f(4) = 0
y=f′(4)(x−4)+f(4)
y=f'(4)(x-4)+f(4)
1. Équation réduite de la tangente à Cf au point d'abscisse 4 :
y=f′(4)(x−4)
y=f'(4)(x-4)
Calcul de f′(4) :
f(4+h)−f(4)=−(4+h)2+2(4+h)+8−0
f(4+h)-f(4) =- (4+h)^2+2(4+h)+8-0
=−(16+8h+h2)+8+2h+8
=-(16+8h+h^2)+8+2h+8
=−h2−6h
=-h^2-6h
Donc hf(4+h)−f(4)=−h−6
\text{Donc }\dfrac{f(4+h)-f(4)}{h} =-h-6
La limite de −h−6 quand h tend vers 0 est égale à −6 donc f′(4)=−6.
L'équation réduite de la tangente à Cf au point d'abscisse 4 est donc
y=−6x+24.
y=-6x+24.
y=−6(x−4).
y=-6(x-4).
2. Pour étudier les positions relatives de Cf et de sa tangente d on étudie le signe de f(x)−(−6x+24).
Soit
La courbe est situeˊe au-dessus de sa tangente lorsque
\text{La courbe est située au-dessus de sa tangente
lorsque }
f(x)>−6x+24
f(x)>-6x+24
La courbe est situeˊe en-dessous de sa tangente lorsque
\text{La courbe est située en-dessous de sa tangente
lorsque }
f(x)−(−6x+24)=−x2+2x+8+6x−24=−x2+8x−16
f(x)-(-6x+24) = -x^2+2x+8+6x-24 = -x^2+8x-16
Δ=0 donc le trinôme est toujours du signe de a donc négatif et s'annule pour x0=4.
Conclusion : Cf est toujours située en-dessous sa tangente d.
Pour étudier le signe du trinôme −x2+8x−16, on calcule son discriminant.
c’est aˋ dire lorsque
\text{c'est à dire
lorsque }
f(x)−(−6x+24)>0.
f(x)-(-6x+24)>0.
f(x)<−6x+24
f(x)<-6x+24
c’est aˋ dire lorsque
\text{c'est à dire
lorsque }
f(x)−(−6x+24)<0.
f(x)-(-6x+24)<0.
f(a+h)−f(a)=3(a+h)2−2(a+h)+1−(3a2−2a+1)
f(a+h)-f(a)=3(a+h)^2-2(a+h)+1-(3a^2-2a+1)
=3(a2+2ah+h2)−2a−2h+1−3a2+2a−1
=3(a^2+2ah+h^2)-2a-2h+1-3a^2+2a-1
=6ah+3h2−2h
=6ah+3h^2-2h
=h(6a+3h−2)
=h(6a+3h-2)
hf(a+h)−f(a)=6a+3h−2
\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=6a+3h-2
On en déduit que
La limite de 6a+3h−2 quand h tend vers 0 est égale à 6a−2 donc pour tout réel a, f est dérivable en a et f′(a)=6a−2.
1. a. Calcul de f′(−2) :
f(−2+h)−f(−2)=−2+h1−−21
f(-2+h)-f(-2) =\dfrac{1}{-2+h}-\dfrac{1}{-2}
donchf(−2+h)−f(−2)=2(h−2)1
donc\;\dfrac{f(-2+h)-f(-2)}{h} =\dfrac{1}{2(h-2)}
=−2(−2+h)−2−−2(−2+h)−2+h
=\dfrac{-2}{-2(-2+h)}-\dfrac{-2+h}{-2(-2+h)}
=−2(−2+h)−h
=\dfrac{-h}{-2(-2+h)}
=2(h−2)h
=\dfrac{h}{2(h-2)}
La limite de 2(h−2)1 quand h tend vers 0 est égale à −41 donc f′(−2)=−41.
Avec un calcul similaire, on obtient f′(2)=−41.
f(−2)=−21
f(-2) =-\dfrac{1}{2}
y=f′(−2)(x−(−2))+f(−2)
y=f'(-2)(x-(-2))+f(-2)
b. Équation réduite de la tangente à Cf au point d'abscisse −2 :
y=−41(x+2)−21
y=-\dfrac{1}{4}(x+2)-\dfrac{1}{2}
y=−41x−1
y=-\dfrac{1}{4}x-1
f(2)=21
f(2) =\dfrac{1}{2}
y=f′(2)(x−2)+f(2)
y=f'(2)(x-2)+f(2)
Équation réduite de la tangente à Cf au point d'abscisse 2 :
y=−41(x−2)+21
y=-\dfrac{1}{4}(x-2)+\dfrac{1}{2}
y=−41x+1
y=-\dfrac{1}{4}x+1
c. Les deux tangentes ont le même coefficient directeur donc elles sont parallèles.
3. A′ est le symétrique de A(a;f(a)) par rapport à O donc ses coordonnées sont (−a;−f(a)).
hf(a+h)−f(a)=a(a+h)−1
\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} =\dfrac{-1}{a(a+h)}
f(a+h)−f(a)=a+h1−a1
f(a+h)-f(a) =\dfrac{1}{a+h}-\dfrac{1}{a}
=a(a+h)a−a(a+h)a+h
=\dfrac{a}{a(a+h)}-\dfrac{a+h}{a(a+h)}
=a(a+h)−h
=\dfrac{-h}{a(a+h)}
La limite de a(a+h)−1 quand h tend vers 0 est égale à −a21 donc f′(a)=−a21 pour tout réel a=0.
On en déduit que
f′(−a)=−(−a)21=−a21=f′(a)
f'(-a)=-\dfrac{1}{(-a)^2}=-\dfrac{1}{a^2}=f'(a)
Les tangentes ont le même coefficient directeur donc elles sont parallèles.
Onaf(1)=g(1)=3.
On\;a\;f(1)=g(1) =3.
On calcule f′(1) et g′(1) et on montre qu'ils sont égaux à −2.
Cela prouve que Cf et Cg ont une tangente commune en A.
Soneˊquation:y=−2(x−1)+3⇔y=−2x+5
Son\;équation :\;y=-2(x-1)+3\Leftrightarrow y =-2x+5
1. On a f(0)=0. Calcul de f′(0) :
f(0+h)−f(0)=h3−h=h(h2−1)
f(0+h)-f(0) =h^3-h = h(h^2-1)
hf(0+h)−f(0)=h2−1
\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h} = h^2-1
La limite de h2−1 quand h tend vers 0 est égale à −1 donc f′(0)=−1.
d la tangente à la courbe en O a donc pour équation réduite y=−x.
2. On cherche à déterminer a l'abscisse du point A tel que g′(a)=−1.
g(a+h)−g(a)=−(a+h)2+3(a+h)−4−(−a2+3a−4)
g(a+h)-g(a) =-(a+h)^2+3(a+h)-4-(-a^2+3a-4)
=−(a2+2ah+h2)+3a+3h−4+a2−3a+4
=-(a^2+2ah+h^2)+3a+3h-4+a^2-3a+4
=−2ah−h2+3h
=-2ah-h^2+3h
hg(a+h)−g(a)=−2a−h+3
\dfrac{g(a+h)-g(a)}{h} = -2a-h+3
=h(−2a−h+3)
=h(-2a-h+3)
La limite de −2a−h+3 quand h tend vers 0 est égale à −2a+3 donc g′(a)=−2a+3.
g′(a)=−1⇔−2a+3=−1⇔a=2
g'(a)=-1\Leftrightarrow -2a+3 = -1\Leftrightarrow a = 2
g(2)=−2etg′(2)=−1
g(2)=-2\;et\;g'(2)=-1
donc la tangente à Cg au point A(2;−2) a pour équation réduite
y=−(x−2)−2
y=-(x-2)-2
soity=−x.
soit\;y= -x.
La tangente à Cg au point A(2;−2) est donc la droite d.
Parcours vert
3 méthodes pour déterminer un nombre dérivé
- En calculant la limite d'un taux de variation : EX 42
- Par lecture graphique d'un coefficient directeur : EX 44, 47
- En calculant un coefficient directeur : Ex 48
=−5+5h−3+8
=-5+5h-3+8
Donc hf(−1+h)−f(−1)=5.
\text{Donc }\dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h} =5.
=5h
=5h
On a donc h→0limhf(−1+h)−f(−1)=5.
\text{On a donc }\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h} =5.
On en deˊduit que f est deˊrivable en −1 et f′(−1)=5.
\text{On en déduit que }f\text{ est dérivable en }-1\text{ et }f'(-1)=5.
f(−1+h)−f(−1)=f(−1+h)5(−1+h)−3−f(−1)(5×(−1)−3)
f(-1+h)-f(-1) =\underbrace{5 (-1+h)-3}_{f(-1+h)}-\underbrace{(5\times (-1)-3)}_{f(-1)}
f′(0) est le coefficient directeur de TA:
f'(0)\text{ est le coefficient directeur de }T_A :
−2
-2
f′(0)=−2
f'(0)=-2
f′(3) est le coefficient directeur de TB:
f'(3)\text{ est le coefficient directeur de }T_B :
f′(3)=4
f'(3)=4
4
4
f′(2) est le coefficient directeur de T
f'(2)\text{ est le coefficient directeur de T}
f′(2)=−1
f'(2)=-1
la tangente aˋ Cf au point A d’abscisse 2.
\text{la tangente à }C_f\text{ au point A d'abscisse 2.}
−1
-1
f′(−1) est le coefficient directeur de T
f'(-1)\text{ est le coefficient directeur de T}
f′(−1)=xB−xAyB−yA=2−(−1)−1−0,5=−0,5
f'(-1)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-1-0,5}{2-(-1)}=-0,5
la tangente aˋ Cf au point A d’abscisse −1.
\text{la tangente à }C_f\text{ au point A d'abscisse }-1.
1
1
Attention aux carreaux !
\text{Attention aux carreaux !}
Attention aux carreaux !
\text{Attention aux carreaux !}
Le repeˋre n’est pas orthonormeˊ.
\text{Le repère n'est pas orthonormé.}
y=f′(a)(x−a)+f(a)
y=f'(a)(x-a)+f(a)
Équation réduite de la tangente à Cf au point d'abscisse a :
On a f′(1)=23 et f(1)=31=3. On obtient donc :
\text{On a }f'(1) = \dfrac{3}{2} \text{ et }f(1) = 3\sqrt{1 }=3. \text{ On obtient donc :}
y=f′(1)(x−1)+f(1)
y=f'(1)(x-1)+f(1)
Équation réduite de la tangente à Cf au point d'abscisse 1 :
y=23(x−1)+3
y=\dfrac{3}{2}(x-1)+3
y=23x+23
y=\dfrac{3}{2}x+\dfrac{3}{2}
On a f′(2)=432 et f(2)=32. On obtient donc :
\text{On a }f'(2) = \dfrac{3\sqrt{2}}{4} \text{ et }f(2) = 3\sqrt{2 }. \text{ On obtient donc :}
y=f′(2)(x−2)+f(2)
y=f'(2)(x-2)+f(2)
Équation réduite de la tangente à Cf au point d'abscisse 2 :
y=432(x−2)+32
y=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}(x-2)+3\sqrt{2}
y=432x−232+32
y=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}x-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+3\sqrt{2}
y=432x+232
y=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}x+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}
f′(x)=0
f'(x)=0
g′(x)=4
g'(x)=4
f′(x)=4x3
f'(x)=4x^3
g′(x)=4×4x3=16x3
g'(x)=4\times 4x^3=16x^3
f′(x)=4x−3
f'(x)=4x-3
g′(x)=3x2+8x+5
g'(x)=3x^2+8x+5
f′(x)=x3−x2+x
f'(x)=x^3-x^2+x
g′(x)=2x1−x21
g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{1}{x^2}
f est de la forme u×v
f \text{ est de la forme } u\times v
avec u(x)=2x−1 et v(x)=x+3
\text{avec } u(x)=2x-1\text{ et } v(x)=x+3
On a donc u′(x)=2 et v′(x)=1
\text{On a donc } u'(x)=2\text{ et } v'(x)=1
f′=u′v+uv′
f'=u'v+uv'
f′(x)=2(x+3)+(2x−1)×1
f'(x)=2 (x+3)+(2x-1)\times 1
f′(x)=2x+6+2x−1
f'(x)=2x+6+2x-1
f′(x)=4x+5
f'(x)=4x+5
g est de la forme u×v
g \text{ est de la forme } u\times v
avec u(x)=x2−x+2 et v(x)=2x3−4
\text{avec } u(x)=x^2-x+2\text{ et } v(x)=2x^3-4
On a donc u′(x)=2x−1 et v′(x)=6x2
\text{On a donc } u'(x)=2x-1\text{ et } v'(x)=6x^2
g′=u′v+uv′
g'=u'v+uv'
g′(x)=(2x−1)(2x3−4)+(x2−x+2)×6x2
g'(x)= (2x-1)(2x^3-4)+(x^2-x+2)\times 6x^2
g′(x)=4x4−8x−2x3+4+6x4−6x3+12x2
g'(x)=4x^4-8x-2x^3+4+6x^4-6x^3+12x^2
g′(x)=10x4−8x3+12x2−8x+4
g'(x)=10x^4-8x^3+12x^2-8x+4
2.f est de la forme u×v
2.\;f \text{ est de la forme } u\times v
avec u(x)=x et v(x)=x+1
\text{avec } u(x)=\sqrt{x}\text{ et } v(x)=x+1
On a donc u′(x)=2x1 et v′(x)=1
\text{On a donc } u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\text{ et } v'(x)=1
f′=u′v+uv′
f'=u'v+uv'
f′(x)=2x1(x+1)+x×1
f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} (x+1)+\sqrt{x}\times 1
1.f est deˊfinie sur [0 ; +∞[ et deˊrivable sur ]0 ; +∞[.
1.\;f \text{ est définie sur } [0~;~+\infty[ \text{ et dérivable sur }]0~;~+\infty[.
f′(x)=2xx+1+2xx×2x
f'(x)=\dfrac{x+1}{2\sqrt{x}} +\dfrac{\sqrt{x}\times 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}
f′(x)=2x3x+1
f'(x)=\dfrac{3x+1}{2\sqrt{x}}
f′(x)=2xx+1+2x2x
f'(x)=\dfrac{x+1}{2\sqrt{x}} +\dfrac{2x}{2\sqrt{x}}
2.g est de la forme u×v
2.\;g \text{ est de la forme } u\times v
avec u(x)=x et v(x)=x2−x+1
\text{avec } u(x)=\sqrt{x}\text{ et } v(x)=x^2-x+1
On a donc u′(x)=2x1 et v′(x)=2x−1
\text{On a donc } u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\text{ et } v'(x)=2x-1
g′=u′v+uv′
g'=u'v+uv'
g′(x)=2x1(x2−x+1)+x×(2x−1)
g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} (x^2-x+1)+\sqrt{x}\times (2x-1)
1.g est deˊfinie sur [0 ; +∞[ et deˊrivable sur ]0 ; +∞[.
1.\;g \text{ est définie sur } [0~;~+\infty[ \text{ et dérivable sur }]0~;~+\infty[.
g′(x)=2xx2−x+1+2xx×(2x−1)×2x
g'(x)=\dfrac{x^2-x+1}{2\sqrt{x}} +\dfrac{\sqrt{x}\times(2x-1)\times 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}
g′(x)=2xx2−x+1+2x(2x−1)
g'(x)=\dfrac{x^2-x+1+2x(2x-1)}{2\sqrt{x}}
g′(x)=2xx2−x+1+4x2−2x
g'(x)=\dfrac{x^2-x+1+4x^2-2x}{2\sqrt{x}}
g′(x)=2x5x2−3x+1
g'(x)=\dfrac{5x^2-3x+1}{2\sqrt{x}}
1.f est de la forme u×v
1.\;f \text{ est de la forme } u\times v
avec u(x)=x et v(x)=x2+1
\text{avec } u(x)=\sqrt{x}\text{ et } v(x)=x^2+1
On a donc u′(x)=2x1 et v′(x)=2x
\text{On a donc } u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\text{ et } v'(x)=2x
f′=u′v+uv′
f'=u'v+uv'
f′(x)=2x1(x2+1)+x×2x
f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} (x^2+1)+\sqrt{x}\times 2x
f′(x)=2xx2+1+2x2xx×2x
f'(x)=\dfrac{x^2+1}{2\sqrt{x}} +\dfrac{2x\sqrt{x}\times 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}
f′(x)=2x5x2+1
f'(x)=\dfrac{5x^2+1}{2\sqrt{x}}
f′(x)=2xx2+1+2x4x2
f'(x)=\dfrac{x^2+1}{2\sqrt{x}} +\dfrac{4x^2}{2\sqrt{x}}
2.g est de la forme u×v
2.\;g \text{ est de la forme } u\times v
avec u(x)=x1 et v(x)=x2−1
\text{avec } u(x)=\dfrac{1}{x}\text{ et } v(x)=x^2-1
On a donc u′(x)=−x21 et v′(x)=2x
\text{On a donc } u'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\text{ et } v'(x)=2x
g′=u′v+uv′
g'=u'v+uv'
g′(x)=−x21(x2−1)+x1×2x
g'(x)=-\dfrac{1}{x^2}(x^2-1)+\dfrac{1}{x}\times 2x
g′(x)=x21−x2+x22x2
g'(x)=\dfrac{1-x^2}{x^2} +\dfrac{2x^2}{x^2}
g′(x)=x2x2+1
g'(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2}
1.f est de la forme v4 avec v(x)=2x−3.
1.\;f \text{ est de la forme }\dfrac{4}{v}\text{ avec } v(x)= 2x-3.
On a v′(x)=2.
\text{On a } v'(x)=2.
donc f′=−v24v′
\text{donc }f'=-\dfrac{4v'}{v^2}
(v1)′=−v2v′
\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}
f′(x)=−(2x−3)28
f'(x)=-\dfrac{8}{(2x-3)^2}
2.g est de la forme v2 avec v(x)=1−4x.
2.\;g \text{ est de la forme }\dfrac{2}{v}\text{ avec } v(x)= 1-4x.
On a v′(x)=−4.
\text{On a } v'(x)=-4.
donc g′=−v22v′
\text{donc }g'=-\dfrac{2v'}{v^2}
(v1)′=−v2v′
\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}
g′(x)=(1−4x)28
g'(x)=\dfrac{8}{(1-4x)^2}
1.f est de la forme v−2 avec v(x)=x2+x+1.
1.\;f \text{ est de la forme }\dfrac{-2}{v}\text{ avec } v(x)= x^2+x+1.
On a v′(x)=2x+1.
\text{On a } v'(x)=2x+1.
donc f′=v22v′
\text{donc }f'=\dfrac{2v'}{v^2}
(v1)′=−v2v′
\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}
f′(x)=(x2+x+1)22(2x+1)
f'(x)=\dfrac{2(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}
2.g est de la forme v3 avec v(x)=x4+1.
2.\;g \text{ est de la forme }\dfrac{3}{v}\text{ avec } v(x)= x^4+1.
On a v′(x)=4x3.
\text{On a } v'(x)=4x^3.
donc g′=−v23v′
\text{donc }g'=-\dfrac{3v'}{v^2}
(v1)′=−v2v′
\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}
g′(x)=−(x4+1)212x3
g'(x)=-\dfrac{12x^3}{(x^4+1)^2}
1.f est de la forme vu
1.\;f \text{ est de la forme } \dfrac{u}{v}
avec u(x)=5x−1 et v(x)=x+2
\text{avec } u(x)=5x-1\text{ et } v(x)=x+2
On a donc u′(x)=5 et v′(x)=1
\text{On a donc } u'(x)=5\text{ et } v'(x)=1
f′=v2u′v−uv′
f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}
f′(x)=(x+2)25(x+2)−(5x−1)×1
f'(x)=\dfrac{5(x+2)-(5x-1)\times 1}{(x+2)^2}
f′(x)=(x+2)25x+10−5x+1
f'(x)=\dfrac{5x+10-5x+1}{(x+2)^2}
f′(x)=(x+2)211
f'(x)=\dfrac{11}{(x+2)^2}
2.g est de la forme vu
2.\;g \text{ est de la forme } \dfrac{u}{v}
avec u(x)=3−x et v(x)=1+4x
\text{avec } u(x)=3-x\text{ et } v(x)=1+4x
On a donc u′(x)=−1 et v′(x)=4
\text{On a donc } u'(x)=-1\text{ et } v'(x)=4
g′=v2u′v−uv′
g'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}
g′(x)=(1+4x)2−1(1+4x)−(3−x)×4
g'(x)=\dfrac{-1(1+4x)-(3-x)\times 4}{(1+4x)^2}
g′(x)=(1+4x)2−1−4x−12+4x
g'(x)=\dfrac{-1-4x-12+4x}{(1+4x)^2}
g′(x)=(1+4x)2−13
g'(x)=\dfrac{-13}{(1+4x)^2}
1.f est de la forme vu
1.\;f \text{ est de la forme } \dfrac{u}{v}
avec u(x)=x−1 et v(x)=x2+x+1
\text{avec } u(x)=x-1\text{ et } v(x)=x^2+x+1
On a donc u′(x)=1 et v′(x)=2x+1
\text{On a donc } u'(x)=1\text{ et } v'(x)=2x+1
f′=v2u′v−uv′
f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}
f′(x)=(x2+x+1)21×(x2+x+1)−(x−1)×(2x+1)
f'(x)=\dfrac{1\times (x^2+x+1)-(x-1)\times (2x+1)}{(x^2+x+1)^2}
f′(x)=(x2+x+1)2x2+x+1−(2x2+x−2x−1)
f'(x)=\dfrac{x^2+x+1-(2x^2+x-2x-1)}{(x^2+x+1)^2}
f′(x)=(x2+x+1)2−x2+2x+2
f'(x)=\dfrac{-x^2+2x+2}{(x^2+x+1)^2}
f′(x)=(x2+x+1)2x2+x+1−2x2−x+2x+1
f'(x)=\dfrac{x^2+x+1-2x^2-x+2x+1}{(x^2+x+1)^2}
2.g est de la forme vu
2.\;g \text{ est de la forme } \dfrac{u}{v}
avec u(x)=x2+x+1 et v(x)=x2+1
\text{avec } u(x)=x^2+x+1\text{ et } v(x)=x^2+1
On a donc u′(x)=2x+1 et v′(x)=2x
\text{On a donc } u'(x)=2x+1\text{ et } v'(x)=2x
g′=v2u′v−uv′
g'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}
g′(x)=(x2+1)2(2x+1)×(x2+1)−(x2+x+1)×2x
g'(x)=\dfrac{(2x+1)\times (x^2+1)-(x^2+x+1)\times 2x}{(x^2+1)^2}
g′(x)=(x2+1)21−x2
g'(x)=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}
g′(x)=(x2+1)22x3+2x+x2+1−2x3−2x2−2x
g'(x)=\dfrac{2x^3+2x+x^2+1-2x^3-2x^2-2x}{(x^2+1)^2}
1.f est de la forme vu
1.\;f \text{ est de la forme } \dfrac{u}{v}
avec u(x)=x et v(x)=x+1
\text{avec } u(x)=\sqrt{x}\text{ et } v(x)=x+1
On a donc u′(x)=2x1 et v′(x)=1
\text{On a donc } u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\text{ et } v'(x)=1
f′=v2u′v−uv′
f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}
f′(x)=(x+1)22x1×(x+1)−x×1
f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\times (x+1)-\sqrt{x}\times 1}{(x+1)^2}
f′(x)=(x+1)22xx+1−2xx×2x
f'(x)=\dfrac{\dfrac{x+1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{x}\times 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}}{(x+1)^2}
f′(x)=(x+1)22xx+1−2x2x
f'(x)=\dfrac{\dfrac{x+1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{2x}{2\sqrt{x}}}{(x+1)^2}
f′(x)=(x+1)22x1−x
f'(x)=\dfrac{\dfrac{1-x}{2\sqrt{x}}}{(x+1)^2}
f′(x)=(x+1)22x1−x
f'(x)=\dfrac{\dfrac{1-x}{2\sqrt{x}}}{(x+1)^2}
f′(x)=2x1−x×(x+1)21
f'(x)=\dfrac{1-x}{2\sqrt{x}}\times \dfrac{1}{(x+1)^2}
f′(x)=2x(x+1)21−x
f'(x)=\dfrac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}
2.g est de la forme vu
2.\;g \text{ est de la forme } \dfrac{u}{v}
avec u(x)=x et v(x)=x2+1
\text{avec } u(x)=\sqrt{x}\text{ et } v(x)=x^2+1
On a donc u′(x)=2x1 et v′(x)=2x
\text{On a donc } u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\text{ et } v'(x)=2x
g′=v2u′v−uv′
g'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}
g′(x)=(x2+1)22x1×(x2+1)−x×2x
g'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\times (x^2+1)-\sqrt{x}\times 2x}{(x^2+1)^2}
g′(x)=(x2+1)22xx2+1−2xx×2x×2x
g'(x)=\dfrac{\dfrac{x^2+1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{x}\times 2x\times 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}}{(x^2+1)^2}
g′(x)=(x2+1)22xx2+1−2x4x2
g'(x)=\dfrac{\dfrac{x^2+1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{4x^2}{2\sqrt{x}}}{(x^2+1)^2}
g′(x)=(x2+1)22x1−3x2
g'(x)=\dfrac{\dfrac{1-3x^2}{2\sqrt{x}}}{(x^2+1)^2}
g′(x)=(x2+1)22x1−3x2
g'(x)=\dfrac{\dfrac{1-3x^2}{2\sqrt{x}}}{(x^2+1)^2}
g′(x)=2x1−3x2×(x2+1)21
g'(x)=\dfrac{1-3x^2}{2\sqrt{x}}\times \dfrac{1}{(x^2+1)^2}
g′(x)=2x(x2+1)21−3x2
g'(x)=\dfrac{1-3x^2}{2\sqrt{x}(x^2+1)^2}
1.f est de la forme g(ax+b) avec g(x)=x2 et ax+b=5x+3.
1.\;f \text{ est de la forme } g(ax+b)\text{ avec } g(x)=x^2\text{ et }ax+b=5x+3.
f′(x)=5×2(5x+3)
f'(x)=5\times 2(5x+3)
f′(x)=a×g′(ax+b)
f'(x)=a\times g'(ax+b)
On a g′(x)=2x.
\text{On a }g'(x)=2x.
f′(x)=10(5x+3)
f'(x)=10(5x+3)
f′(x)=50x+30
f'(x)=50x+30
Donc g′(5x+3)=2(5x+3).
\text{Donc }g'(5x+3)=2(5x+3).
2.f est de la forme g(ax+b) avec g(x)=x et ax+b=3x−4.
2.\;f\text{ est de la forme } g(ax+b)\text{ avec } g(x)=\sqrt{x}\text{ et }ax+b=3x-4.
f′(x)=3×23x−41
f'(x)=3\times \dfrac{1}{2\sqrt{3x-4}}
f′(x)=a×g′(ax+b)
f'(x)=a\times g'(ax+b)
On a g′(x)=2x1.
\text{On a }g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
f′(x)=23x−43
f'(x)=\dfrac{3}{2\sqrt{3x-4}}
Donc g′(3x−4)=23x−41.
\text{Donc }g'(3x-4)=\dfrac{1}{2\sqrt{3x-4}}.
3.f est de la forme g(ax+b) avec g(x)=x3 et ax+b=21x−1.
3.\;f\text{ est de la forme } g(ax+b)\text{ avec } g(x)=x^3\text{ et }ax+b=\dfrac{1}{2}x-1.
f′(x)=21×3(21x−1)2
f'(x)=\dfrac{1}{2}\times 3\left(\dfrac{1}{2}x-1\right)^2
f′(x)=a×g′(ax+b)
f'(x)=a\times g'(ax+b)
On a g′(x)=3x2.
\text{On a }g'(x)=3x^2.
Donc g′(21x−1)=3(21x−1)2
\text{Donc }g'\left(\dfrac{1}{2}x-1\right)=3\left(\dfrac{1}{2}x-1\right)^2
f′(x)=23(21x−1)2
f'(x)=\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{2}x-1\right)^2
Dérivation