d)\;\text{Sur }I=\mathbb{R}, F(x) = \dfrac{1}{8}x^8+k\text{ avec }k \text{ réel.}

a) F(x) = \text{e}^{x} + k \text{ avec }k\in \mathbb{R}

F(0) =- \text{e}

\text{e}^0+k=-\text{e}

k=-\text{e}-1

\text{On en déduit que }F(x) = \text{e}^{x} - \text{e}-1.

b) F(x) = 2\sqrt{x} + k \text{ avec }k\in \mathbb{R}

F(4) =0

2\sqrt{4} + k =0

k=-4

\text{On en déduit que }F(x) = 2\sqrt{x} -4

c) F(x) = \text{ln}(x) + k \text{ avec }k\in \mathbb{R}

F(1) =-5

\text{ln}(1) + k =-5

k=-5

\text{On en déduit que }F(x) = \text{ln}(x) -5

d) F(x) = \dfrac{1}{3}x^3 + k \text{ avec }k\in \mathbb{R}

F(-1) =2

\dfrac{1}{3}(-1)^3 + k =2

k=\dfrac{7}{3}

\text{On en déduit que }F(x) = \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{7}{3}

a) f(x) = -\dfrac{1}{2}\times (-2)\text{e}^{-2x}

f= -\dfrac{1}{2}\times u'\text{e}^{u}\text{ donc }F=-\dfrac{1}{2}\times \text{e}^{u}.

F(x) = -\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x}

b)\,f=u'\text{e}^{u}\text{ donc }F=\text{e}^{u}.

F(x) = \text{e}^{-x^2}

c)\,f=u'\text{e}^{u}\text{ donc }F=\text{e}^{u}.

F(x) = \text{e}^{x^3+x}

d) f(x) = \dfrac{1}{5}\times (5x^4)\text{e}^{x^5+1}

f= \dfrac{1}{5}\times u'\text{e}^{u}\text{ donc }F=\dfrac{1}{5}\times \text{e}^{u}.

F(x) = \dfrac{1}{5}\text{e}^{x^5+1}