Applications de la dérivation
d. Le minimum de \(g\) sur \([-2~;~7]\) est 0 ; il est atteint pour \(x=1\).
Corrigé sur Overleaf
Corrigé sur Overleaf
On peut conjecturer qu’une fonction dérivable est décroissante sur un intervalle si et seulement si sa dérivée est inférieure ou égale à 0 ; et qu’une fonction dérivable est croissante sur un intervalle si et seulement si sa dérivée est supérieure ou égale à 0.
Notion d'extremum local
Savoir reconnaître un extremum local graphiquement :
la fonction \(h\) représentée ci-contre admet un maximum local en 1 : \(h(1)\)
Autour de 1 (on dit "au voisinage de 1),
les images des nombres juste avant 1 et juste après 1 sont inférieures à \(h(1)\)
localement, le point de coordonnées (1 ; h(1)) est le sommet de la courbe
"Avant 1", \(h\) est croissante. "Après 1" \(h\) est décroissante : localement la fonction \(h\) a atteint un maximum.
Il y a un changement du sens de variation de la fonction.
Suite
la fonction \(h\) représentée ci-contre admet un minimum local en 2 : \(h(2)\)
Au voisinage de 2, les images des nombres juste avant 2 et juste après 2 sont supérieures à \(h(2)\)
localement, le point de coordonnées (2 ; h(2)) est le plus bas de la courbe.
"Avant 2", \(h\) est décroissante. "Après 2" \(h\) est croissante : localement la fonction \(h\) a atteint un minimum.
Il y a un changement du sens de variation de la fonction.
Savoir reconnaître un extremum local à partir d'un tableau de variations :
Une fonction admet un extremum local lorsque sa dérivée s'annule et change de signe.
Exemple : Soit la fonction \(f\) définie sur \([-2\,;+\infty[\) par \(f(x) = -0,5x^3+0,75x^2+3x-1\).
On veut déterminer les valeurs de \(x\) pour lesquelles la fonction admet un extremum local :
Savoir déterminer un extremum local à partir de l'expression algébrique d'une fonction :
Conjecture :
- \(f\) admet un minimum local pour \(x=-1\)
- \(f\) admet un maximum local pour \(x=2\)
Pour le démontrer on détermine les variations de la fonction en étudiant le signe de la dérivée...
1. On détermine \(f'\) :
Règle du signe d'un trinôme : \(f'\) est négative \( (a = -1,5) \) à l'extérieur de ses racines. D'où le tableau de variations :
2. On détermine le signe de \(f'\) :