Applications de la dérivation

d. Le minimum de \(g\) sur \([-2~;~7]\) est 0 ; il est atteint pour \(x=1\).

\text{2. Si }x\in [-1~;~9]\text{ alors }-3\leqslant g(x)\leqslant 0.

Corrigé sur Overleaf

Corrigé sur Overleaf

On peut conjecturer qu’une fonction dérivable est décroissante sur un intervalle si et seulement si sa dérivée est inférieure ou égale à 0 ; et qu’une fonction dérivable est croissante sur un intervalle si et seulement si sa dérivée est supérieure ou égale à 0.

Notion d'extremum local

Savoir reconnaître un extremum local graphiquement :

la fonction \(h\) représentée ci-contre admet un maximum local  en 1 : \(h(1)\)

h(1)

Autour de 1 (on dit "au voisinage de 1),

les images des nombres juste avant 1 et juste après 1 sont inférieures à \(h(1)\)

localement, le point de coordonnées (1 ; h(1)) est le sommet de la courbe

"Avant 1", \(h\) est croissante. "Après 1" \(h\) est décroissante : localement la fonction \(h\) a atteint un maximum.

Il y a un changement du sens de variation de la fonction.

Suite 

la fonction \(h\) représentée ci-contre admet un minimum local  en 2 : \(h(2)\)

h(2)

 Au voisinage de 2, les images des nombres juste avant 2 et juste après 2 sont supérieures à \(h(2)\)

localement, le point de coordonnées (2 ; h(2)) est le plus bas de la courbe.
2

"Avant 2", \(h\) est décroissante. "Après 2" \(h\) est croissante : localement la fonction \(h\) a atteint un minimum.

Il y a un changement du sens de variation de la fonction.

Savoir reconnaître un extremum local à partir d'un tableau de variations :

Une fonction admet un extremum local lorsque sa dérivée s'annule et change de signe.

Exemple : Soit la fonction \(f\) définie sur \([-2\,;+\infty[\) par \(f(x) = -0,5x^3+0,75x^2+3x-1\).

On veut déterminer les valeurs de \(x\) pour lesquelles la fonction admet un extremum local :

Savoir déterminer un extremum local à partir de l'expression algébrique d'une fonction :

Conjecture : 

  • \(f\) admet un minimum local pour \(x=-1\)
  • \(f\) admet un maximum local pour \(x=2\)

Pour le démontrer on détermine les variations de la fonction en étudiant le signe de la dérivée...

f'(x)=-1,5x^2+1,5x+3

1. On détermine \(f'\) :

\Delta = 20,25\,;\quad x_1=-1\text{ et }x_2=2.

Règle du signe d'un trinôme :  \(f'\) est négative \( (a = -1,5) \) à l'extérieur de ses racines. D'où le tableau de variations :

2. On détermine le signe de \(f'\) :

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