Intégration par parties
Soient u et v deux fonctions dérivables, dont les dérivées sont continues.
(uv)' = u'v+uv'\Longleftrightarrow u'v = (uv)'-uv'
Donc
\int_a^b u'v =\int_a^b( (uv)'-uv')
\int_a^b u'v =\int_a^b (uv)'-\int_a^b uv'
\int_a^b u'v =\left[uv\right]_a^b-\int_a^b uv'
\int_a^b u'v =\left[uv\right]_a^b-\int_a^b uv'
Si déterminer la primitive de u'v s'avère difficile, on peut chercher celle de uv'.
Exemple 1 :
Calculer\;\int_0^1 xe^x dx.
Primitive\;de\; xe^x \;?
On est parti pour une petite
intégration par parties...
\int_0^1 xe^x dx.
On\;pose\;u'(x)=e^x\;et\;v(x)=x.
On\;a\;donc\;u(x)=e^x\;et\;v'(x)=1.
\int_a^b u'v =\left[uv\right]_a^b-\int_a^b uv'
\int_0^1 xe^x dx =\left[xe^x\right]_0^1-\int_0^1 e^x dx
=e-\left[e^x\right]_0^1
=e-(e-1)
=1
On\;pose\;u'(x)=\cos(x)\;et\;v(x)=x.
On\;a\;donc\;u(x)=\sin(x)\;et\;v'(x)=1.
\int_a^b u'v =\left[uv\right]_a^b-\int_a^b uv'
\int_0^\pi x\cos(x) dx =\left[x\sin(x)\right]_0^\pi-\int_0^\pi \sin(x) dx
=0-\left[-\cos(x)\right]_0^\pi
=\cos(\pi)-\cos(0)
Exemple 2 :
Calculer\;\int_0^\pi x\cos(x)dx.
=-2
On\;pose\;u'(x)=x\;et\;v(x)=\ln(x).
On\;a\;donc\;u(x)=\dfrac{x^2}{2}\;et\;v'(x)=\dfrac{1}{x}.
\int_a^b u'v =\left[uv\right]_a^b-\int_a^b uv'
\int_1^4 x\ln(x) dx =\left[\frac{x^2\ln(x)}{2}\right]_1^4-\int_1^4 \frac{x}{2} dx
Exemple 3 :
Calculer\;\int_1^4 x\ln(x)dx.
=8\ln(4)-\left[\frac{x^2}{4}\right]_1^4
=16\ln(2)-\dfrac{15}{4}
Envie d'aller un peu plus loin ?
Exemple 4 : plusieurs IPP
Calculer\;\int_{-1}^1 x^2e^xdx.
On\;pose\;u'(x)=e^x\;et\;v(x)=x^2.
On\;a\;donc\;u(x)=e^x\;et\;v'(x)=2x.
\int_a^b u'v =\left[uv\right]_a^b-\int_a^b uv'
\int_{-1}^1 x^2e^x dx =\left[x^2e^x\right]_{-1}^1-\int_{-1}^1 2xe^x dx
=e-\dfrac{1}{e}-\int_{-1}^1 2xe^x dx
C'est reparti pour un tour...
Calcul\;de\;\int_{-1}^1 2xe^xdx :
On\;pose\;u_2'(x)=e^x\;et\;v_2(x)=2x.
On\;a\;donc\;u_2(x)=e^x\;et\;v_2'(x)=2.
\int_a^b u'v =\left[uv\right]_a^b-\int_a^b uv'
\int_{-1}^1 2xe^x dx =\left[2xe^x\right]_{-1}^1-\int_{-1}^1 2e^x dx
=2e+\dfrac{2}{e}-2\left[e^x\right]_{-1}^1
=2e+\dfrac{2}{e}-2\left(e-\frac{1}{e}\right)
=\dfrac{4}{e}
\int_{-1}^1 x^2e^x dx =e-\dfrac{1}{e}-\textcolor{orange}{\int_{-1}^1 2xe^x dx}
Retour au calcul initial
\int_{-1}^1 x^2e^x dx =e-\dfrac{1}{e}-\textcolor{orange}{\dfrac{4}{e}}
\int_{-1}^1 x^2e^x dx =e-\dfrac{5}{e}