Intégration par parties
Soient u et v deux fonctions dérivables, dont les dérivées sont continues.
(uv)′=u′v+uv′⟺u′v=(uv)′−uv′
(uv)' = u'v+uv'\Longleftrightarrow u'v = (uv)'-uv'
Donc
∫abu′v=∫ab((uv)′−uv′)
\int_a^b u'v =\int_a^b( (uv)'-uv')
∫abu′v=∫ab(uv)′−∫abuv′
\int_a^b u'v =\int_a^b (uv)'-\int_a^b uv'
∫abu′v=[uv]ab−∫abuv′
\int_a^b u'v =\left[uv\right]_a^b-\int_a^b uv'
∫abu′v=[uv]ab−∫abuv′
\int_a^b u'v =\left[uv\right]_a^b-\int_a^b uv'
Si déterminer la primitive de u'v s'avère difficile, on peut chercher celle de uv'.
Exemple 1 :
Calculer∫01xexdx.
Calculer\;\int_0^1 xe^x dx.
Primitivedexex?
Primitive\;de\; xe^x \;?
On est parti pour une petite
intégration par parties...
∫01xexdx.
\int_0^1 xe^x dx.
Onposeu′(x)=exetv(x)=x.
On\;pose\;u'(x)=e^x\;et\;v(x)=x.
Onadoncu(x)=exetv′(x)=1.
On\;a\;donc\;u(x)=e^x\;et\;v'(x)=1.
∫abu′v=[uv]ab−∫abuv′
\int_a^b u'v =\left[uv\right]_a^b-\int_a^b uv'
∫01xexdx=[xex]01−∫01exdx
\int_0^1 xe^x dx =\left[xe^x\right]_0^1-\int_0^1 e^x dx
=e−[ex]01
=e-\left[e^x\right]_0^1
=e−(e−1)
=e-(e-1)
=1
=1
Onposeu′(x)=cos(x)etv(x)=x.
On\;pose\;u'(x)=\cos(x)\;et\;v(x)=x.
Onadoncu(x)=sin(x)etv′(x)=1.
On\;a\;donc\;u(x)=\sin(x)\;et\;v'(x)=1.
∫abu′v=[uv]ab−∫abuv′
\int_a^b u'v =\left[uv\right]_a^b-\int_a^b uv'
∫0πxcos(x)dx=[xsin(x)]0π−∫0πsin(x)dx
\int_0^\pi x\cos(x) dx =\left[x\sin(x)\right]_0^\pi-\int_0^\pi \sin(x) dx
=0−[−cos(x)]0π
=0-\left[-\cos(x)\right]_0^\pi
=cos(π)−cos(0)
=\cos(\pi)-\cos(0)
Exemple 2 :
Calculer∫0πxcos(x)dx.
Calculer\;\int_0^\pi x\cos(x)dx.
=−2
=-2
Onposeu′(x)=xetv(x)=ln(x).
On\;pose\;u'(x)=x\;et\;v(x)=\ln(x).
Onadoncu(x)=2x2etv′(x)=x1.
On\;a\;donc\;u(x)=\dfrac{x^2}{2}\;et\;v'(x)=\dfrac{1}{x}.
∫abu′v=[uv]ab−∫abuv′
\int_a^b u'v =\left[uv\right]_a^b-\int_a^b uv'
∫14xln(x)dx=[2x2ln(x)]14−∫142xdx
\int_1^4 x\ln(x) dx =\left[\frac{x^2\ln(x)}{2}\right]_1^4-\int_1^4 \frac{x}{2} dx
Exemple 3 :
Calculer∫14xln(x)dx.
Calculer\;\int_1^4 x\ln(x)dx.
=8ln(4)−[4x2]14
=8\ln(4)-\left[\frac{x^2}{4}\right]_1^4
=16ln(2)−415
=16\ln(2)-\dfrac{15}{4}
Envie d'aller un peu plus loin ?
Exemple 4 : plusieurs IPP
Calculer∫−11x2exdx.
Calculer\;\int_{-1}^1 x^2e^xdx.
Onposeu′(x)=exetv(x)=x2.
On\;pose\;u'(x)=e^x\;et\;v(x)=x^2.
Onadoncu(x)=exetv′(x)=2x.
On\;a\;donc\;u(x)=e^x\;et\;v'(x)=2x.
∫abu′v=[uv]ab−∫abuv′
\int_a^b u'v =\left[uv\right]_a^b-\int_a^b uv'
∫−11x2exdx=[x2ex]−11−∫−112xexdx
\int_{-1}^1 x^2e^x dx =\left[x^2e^x\right]_{-1}^1-\int_{-1}^1 2xe^x dx
=e−e1−∫−112xexdx
=e-\dfrac{1}{e}-\int_{-1}^1 2xe^x dx
C'est reparti pour un tour...
Calculde∫−112xexdx:
Calcul\;de\;\int_{-1}^1 2xe^xdx :
Onposeu2′(x)=exetv2(x)=2x.
On\;pose\;u_2'(x)=e^x\;et\;v_2(x)=2x.
Onadoncu2(x)=exetv2′(x)=2.
On\;a\;donc\;u_2(x)=e^x\;et\;v_2'(x)=2.
∫abu′v=[uv]ab−∫abuv′
\int_a^b u'v =\left[uv\right]_a^b-\int_a^b uv'
∫−112xexdx=[2xex]−11−∫−112exdx
\int_{-1}^1 2xe^x dx =\left[2xe^x\right]_{-1}^1-\int_{-1}^1 2e^x dx
=2e+e2−2[ex]−11
=2e+\dfrac{2}{e}-2\left[e^x\right]_{-1}^1
=2e+e2−2(e−e1)
=2e+\dfrac{2}{e}-2\left(e-\frac{1}{e}\right)
=e4
=\dfrac{4}{e}
∫−11x2exdx=e−e1−∫−112xexdx
\int_{-1}^1 x^2e^x dx =e-\dfrac{1}{e}-\textcolor{orange}{\int_{-1}^1 2xe^x dx}
Retour au calcul initial
∫−11x2exdx=e−e1−e4
\int_{-1}^1 x^2e^x dx =e-\dfrac{1}{e}-\textcolor{orange}{\dfrac{4}{e}}
∫−11x2exdx=e−e5
\int_{-1}^1 x^2e^x dx =e-\dfrac{5}{e}
yo =)
Intégration par parties Soient u et v deux fonctions dérivables, dont les dérivées sont continues. ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ ⟺ u ′ v = ( u v ) ′ − u v ′ (uv)' = u'v+uv'\Longleftrightarrow u'v = (uv)'-uv' Donc ∫ a b u ′ v = ∫ a b ( ( u v ) ′ − u v ′ ) \int_a^b u'v =\int_a^b( (uv)'-uv') ∫ a b u ′ v = ∫ a b ( u v ) ′ − ∫ a b u v ′ \int_a^b u'v =\int_a^b (uv)'-\int_a^b uv' ∫ a b u ′ v = [ u v ] a b − ∫ a b u v ′ \int_a^b u'v =\left[uv\right]_a^b-\int_a^b uv'