Calcul littéral
Et un peu de calcul numérique...
(sans calculatrice)
a^n\times a^m = a^{n+m}
a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}
A = \dfrac{1}{7^2}=\dfrac{1}{49}
B=5^{77+(-75)}=5^2=25
C = \dfrac{8^4}{4^4}=\left(\dfrac{8}{4}\right)^4=2^4=16
\dfrac{a^n}{ b^n }= \left(\dfrac{a}{b}\right)^n
A = 8,7\times 10^1
B=5,2\times 10^{-2}\times 10^{-6}=5,2\times 10^{-8}
E =1,875\times 10^{28}
F =\dfrac{3\times 10^{15}\times 24\times 10^{14}}{32\times 10^{-15}}
F=\dfrac{3\times 24}{32}\times \dfrac{ 10^{15}\times 10^{14}}{ 10^{-15}}=2,25\times 10^{15+14-(-15)}=2,25\times 10^{44}
a^n\times a^m = a^{n+m}
\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}
(a^n)^m = a^{n\times m}
a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}
a^n\times b^n = (a\times b)^n
\dfrac{a^n}{ b^n }= \left(\dfrac{a}{b}\right)^n
2.\;\dfrac{1}{ 4^{-20} }\times (-2)^{60}=4^{20}\times (-1)^{60}\times 2^{60}
=(2^2)^{20}\times 1\times 2^{60}
=2^{40}\times 2^{60}
=2^{100}
3.\;100^2=(4\times 25)^2
=4^2\times25^2
=(2^2)^2\times(5^2)^2
=2^4\times5^4
5.\;(2^{20})^5=2^{100}
6.\;200^2=(8\times 25)^2 = (2^3\times5^2)^2 = 2^6\times5^4
7.\;50^4=(2\times5^2)^4=2^4\times 5^{8}
8.\;(-2)^{99}\times2=(-1)^{99}\times 2^{99}\times 2 =-2^{100}
9.\;10\,000=(2\times5)^4=2^4\times5^4
1.
3.
2.
5.
4.
9.
1.\;1+3^2=1+9=10
2.\;2\times5^3=2\times 125 = 250
3.\;(2\times5)^3=10^3=1000
4.\;2^{-1}+5^{-2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5^2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{25}=\dfrac{25}{2\times 25}+\dfrac{2}{2\times 25}=\dfrac{27}{50}
La première puissance est \(2^0\) ; la deuxième est \(2^1\) et ainsi de suite. La cinquième puissance de 2 est donc \(2^4=16\).
\(2^6=64\) et \(2^7=128\) donc 128 est la plus petite puissance de 2 supérieure ou égale à 100 .
\(2^9=512\) et \(2^{10}=1024\) donc 512 est la plus grande puissance de 2 inférieure ou égale à 1000 .
2.a La cinquième puissance de 3 est \(3^4=81\).
2.b \(3^4=81\) et \(3^5=243\) donc 243 est la plus petite puissance de 3 supérieure ou égale à 100 .
2.c \(3^6=729\) et \(3^7=2187\) donc 729 est la plus grande puissance de 3 inférieure ou égale à 1000 .
Programmation de l'algorithme en Python :
- Sur calculatrice (Numworks...)
Programmation en Python sur Calculatrice Numworks
La dernière valeur calculée par l'algorithme est 14.
Changer 10 000 en 50 000 et
print(n-1) à la place de print(n)
1.\;\sqrt{4}=2
2.\:\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=6
3.\;\sqrt{11}^2=11
4.\;\sqrt{5^4}=\sqrt{25^2}=25
1.\;\sqrt{49+9}=\sqrt{58}
2.\:\sqrt{169}\times\sqrt{144}=13\times 12 = 156
4.\;\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5
3.\:\sqrt{169}-\sqrt{144}=13- 12 = 1
1.\;\sqrt{7}\times\sqrt{6}=\sqrt{7\times 6}=\sqrt{42}
2.\;\sqrt{15}\div\sqrt{5}=\sqrt{\dfrac{15}{5}}=\sqrt{3}
3.\;\sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7=\sqrt{49}
4.\;4\sqrt{3}=\sqrt{16}\times\sqrt{3}=\sqrt{48}
1.\;\sqrt{50}+\sqrt{8}+\sqrt{18}=\sqrt{25\times2}+\sqrt{4\times2}+\sqrt{9\times2}
=\sqrt{25}\times\sqrt{2}+\sqrt{4}\times\sqrt{2}+\sqrt{9}\times\sqrt{2}
=5\sqrt{2}+2\sqrt{2}+3\sqrt{2}
=10\sqrt{2}
3.\;\sqrt{27}-\sqrt{12}+\sqrt{300}=\sqrt{9\times 3}-\sqrt{4\times3}+\sqrt{100\times 3}
=\sqrt{9}\times\sqrt{3}-\sqrt{4}\times\sqrt{3}+\sqrt{100}\times\sqrt{3}
=11\sqrt{3}
2.\;\sqrt{75}+\sqrt{48}+\sqrt{12}=\sqrt{25\times 3}+\sqrt{16\times3}+\sqrt{4\times3}
=\sqrt{25}\times\sqrt{3}+\sqrt{16}\times\sqrt{3}+\sqrt{4}\times\sqrt{3}
=5\sqrt{3}+4\sqrt{3}+2\sqrt{3}
=11\sqrt{3}
=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}+10\sqrt{3}
4.\;\sqrt{175}+\sqrt{63}+\sqrt{28}=\sqrt{25\times 7}+\sqrt{9\times 7}+\sqrt{4\times 7}
=\sqrt{25}\times\sqrt{7}+\sqrt{9}\times\sqrt{7}+\sqrt{4}\times\sqrt{7}
=5\sqrt{7}+3\sqrt{7}+2\sqrt{7}
=10\sqrt{7}
1.\;\sqrt{80}+5\sqrt{45}=\sqrt{16\times 5}+5\sqrt{9\times5}
=\sqrt{16}\times\sqrt{5}+5\sqrt{9}\times\sqrt{5}
=4\sqrt{5}+5\times 3\sqrt{5}
=19\sqrt{5}
2.\;2\sqrt{72}-3\sqrt{50}=2\sqrt{36\times 2}-3\sqrt{25\times2}
=2\sqrt{36}\times\sqrt{2}-3\sqrt{25}\times\sqrt{2}
=2\times 6\sqrt{2}-3\times 5\sqrt{2}
=-3\sqrt{2}
x^2-7=x^2-\sqrt{7}^2=(x+\sqrt{7})(x-\sqrt{7})
\begin{align*}
3x+7&=0\\
3x&=-7\\
x&=-\dfrac{7}{3}
\end{align*}
\begin{align*}
6-x&=4\\
-x&=4-6\\
-x&=-2\\
x&=2
\end{align*}
\begin{align*}
3(x+7)&=9\\
x+7&=3\\
x&=3-7\\
x&=-4
\end{align*}
\begin{align*}
x-8&=0\\
x&=8
\end{align*}
\begin{align*}
3x+7&=x-1\\
3x-x&=-1-7\\
2x&=-8\\
x&=-4
\end{align*}
\begin{align*}
6-x&=x+14\\
-x-x&=14-6\\
-2x&=8\\
x&=-4
\end{align*}
\begin{align*}
3(x+7)&=4x+9\\
3x+21&=4x+9\\
3x-4x&=9-21\\
-x&=-12\\
x&=12
\end{align*}
\begin{align*}
2(x-4)&=7x-2\\
2x-8&=7x-2\\
2x-7x&=8-2\\
-5x&=6\\
x&=-\dfrac{6}{5}
\end{align*}
Exercice : Dresser le tableau de signes de l'expression \(3x-6\).
On résout l'inéquation \(3x-6\geqslant 0\).
\begin{align*}
3x-6&\geqslant0\\
3x&\geqslant 6\\
x&\geqslant 2
\end{align*}
l'expression \(3x-6\) est positive
lorsque \(x\) est supérieur ou égal à 2
Exercice : Dresser le tableau de signes de l'expression \(-2x+5\).
On résout l'inéquation \(-2x+5\geqslant 0\).
\begin{align*}
-2x+5&\geqslant0\\
-2x&\geqslant -5\\
x&\leqslant \dfrac{-5}{-2}\\
x&\leqslant 2,5
\end{align*}
l'expression \(-2x+5\) est positive
lorsque \(x\) est inférieur ou égal à 2,5
\begin{align*}
(x+3)(x-7)&=0\\
x+3=0\text{ ou }x-7&=0\\
x=-3\text{ ou }x&=7
\end{align*}
S=\left\{-3\,;7\right\}
Ensemble des solutions de l'équation
\begin{align*}
(2x-3)(x+6)&=0\\
2x-3=0\text{ ou }x+6&=0
\end{align*}
S=\left\{-6\,;\dfrac{3}{2}\right\}
x=-6
2x=3
x=\dfrac{3}{2}
\begin{align*}
x(x+1)&=0\\
x=0\text{ ou }x+1&=0\\
x&=-1
\end{align*}
S=\left\{-1\,;0\right\}
\begin{align*}
x^3-x&=0\\
x(x^2-1)&=0\\
x(x+1)(x-1)&=0\\
x=0\text{ ou }x+1 = 0 \text{ ou }x-1&=0
\end{align*}
S=\left\{-1\,;0\,;1\right\}
x=1
x=-1
\begin{align*}
A(x)&=0\\
\dfrac{2x+3}{x+7}&=0\\
2x+3&=0\\
x&=-\dfrac{3}{2}
\end{align*}
S=\left\{-\dfrac{3}{2}\right\}
\begin{align*}
A(x)&=3\\
\dfrac{2x+3}{x+7}&=3\\
2x+3&=3(x+7)\\
2x+3&=3x+21\\
-x&=18\\
x&=-18
\end{align*}
S=\left\{-18\right\}
\begin{align*}
A(x)&=-2\\
\dfrac{2x+3}{x+7}&=-2\\
2x+3&=-2(x+7)\\
2x+3&=-2x-14\\
4x&=-17\\
x&=-\dfrac{17}{4}
\end{align*}
S=\left\{-\dfrac{17}{4}\right\}
\begin{align*}
2x+1&>3\\
2x&>2\\
x&>1
\end{align*}
S=\left]1\,;+\infty\right[
\begin{align*}
3x-2&\leqslant 7\\
3x&\leqslant 9\\
x&\leqslant 3
\end{align*}
S=\left]-\infty\,;3\right]
\begin{align*}
-5x+\dfrac{1}{2}&\geqslant 3\\
-5x&\geqslant \dfrac{5}{2}\\
x&\leqslant -\dfrac{1}{2}
\end{align*}
S=\left]-\infty\,;-\dfrac{1}{2}\right]
\begin{align*}
2-x&<5\\
-x&<3\\
x&>- 3
\end{align*}
S=\left]-3\,;+\infty\right[
\begin{align*}
5(x+11)&>-6\\
5x+55&>-6\\
5x&>-61\\
x&>-\dfrac{61}{5}
\end{align*}
S=\left]-\dfrac{61}{5}\,;+\infty\right[
\begin{align*}
\dfrac{-9x+1}{5}&>11\\
-9x+1&>55\\
-9x&>54\\
x&<-6
\end{align*}
S=\left]-\infty\,;-6\right[
\begin{align*}
2-4x&\leqslant 3\\
-4x&\leqslant 1\\
x&\geqslant -\dfrac{1}{4}
\end{align*}
S=\left[-\dfrac{1}{4}\,; +\infty\right[
\begin{align*}
x\sqrt{2}-1&>1\\
x\sqrt{2}&>2\\
x&>\sqrt{2}
\end{align*}
S=\left]\sqrt{2}\,;+\infty\right[
\begin{align*}
7x+3&>2x-5\\
7x-2x&>-5-3\\
5x&>-8\\
x&>-\dfrac{8}{5}
\end{align*}
S=\left]-\dfrac{8}{5}\,;+\infty\right[
\begin{align*}
5x-3&\leqslant8x-6\\
-3x&\leqslant -3\\
x&\geqslant 1
\end{align*}
S=\left[1\,;+\infty\right[
\begin{align*}
7(x+1)&>5-2x\\
7x+7&>5-2x\\
9x&>-2\\
x&>-\dfrac{2}{9}
\end{align*}
S=\left]-\dfrac{2}{9}\,;+\infty\right[
\begin{align*}
-5x+3&\geqslant 2(x-5)\\
-5x+3&\geqslant 2x -10\\
-7x&\geqslant -13\\
x&\leqslant \dfrac{13}{7}
\end{align*}
S=\left]-\infty\,;\dfrac{13}{7}\right]
