Nombres et calculs
Les différents types de nombres
les nombres entiers naturels : ℕ= {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4...}
les nombres entiers relatifs : ℤ = {... − 3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ...}
les nombres décimaux : 0,17 ∈ ⅅ 2 ∈ ⅅ
les nombres rationnels : ∈ ℚ 5 ∈ ℚ
les nombres réels : Tous les nombres rationnels, irrationnels sont des nombres réels. Leur ensemble est noté ℝ
∉ ⅅ
∉ ℚ
−1,5∈ ℝ
∈ ℝ
− ∈ ℝ
∈ ℝ
4,7∈ ℝ
∈ ℝ
Démontrons par l'absurde que
Supposons que et démontrons que l'on arrive à une contradiction.
Démonstration :
On en conclut que
La contraposée d'une proposition
Proposition :
Si un triangle ABC est rectangle en A
alors BC2=AB2+AC2.
Si BC2=AB2+AC2
alors le triangle ABC n'est pas rectangle en A
Contraposée de la proposition :
Si A alors B (on note A⇒B )
Proposition :
Contraposée de la proposition :
plus généralement :
Si non B alors non A (on note B⇒A )
Propriété (admise) : Si la contraposée d'une propriété est vraie alors la propriété est vraie
Comment caractériser un nombre pair ?
Comment caractériser un nombre impair ?
Si a est un entier pair, que peut-on dire de a2 ?
Soit a un nombre entier.
Si a2 est pair, que peut-on dire de a ?
a2 est pair.
a est pair.
C'est le résultat que nous allons démontrer...
lemme
Si a2 est pair alors a est pair.
Proposition :
Contraposée de la proposition :
Si a est impair alors a2 est impair.
Pour démontrer la proposition nous allons prouver que sa contraposée est vraie.
Nous allons considérer un nombre impair et montrer que son carré est aussi un nombre impair.
Soit a un nombre impair. Il existe un entier relatif k tel que a=2k+1.
Donc a2=(2k+1)2=4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1.
Si on note n=(2k2+2k), a2 est de la forme 2n+1 avec n entier.
Donc a2 est un nombre impair.
Nous avons démontré par contraposée que si a2 est un nombre pair alors a est un nombre pair.
Démontrons par l'absurde que
Supposons que
c'est à dire qu'il existe un nombre
Démonstration :
On en déduit que a2 est pair.
Donc d'après le lemme a est pair .
ce qui est absurde car la fraction
ba est irréductible.
On en déduit que b2 est pair.
Donc d'après le lemme b est pair .
On en conclut que
Méthode : pour montrer qu'un nombre est décimal, l'écrire sous la forme :
Démontrons par l'absurde que
Supposons que
c'est à dire qu'il existe un nombre
Démonstration :
donc a² est un multiple de 5
donc a est un multiple de 5. Donc il existe un nombre
donc b² est un multiple de 5 donc b est un multiple de 5.
On en déduit qu'il existe un nombre
ce qui est absurde car la fraction
est irréductible. On en conclut que
5) Vrai : tous les nombres rencontrés en seconde sont des nombres réels.
Démontrons par l'absurde que
Supposons que
c'est à dire qu'il existe un nombre
Démonstration :
est un multiple de 7 ce qui est absurde.
On en conclut que
1) Faux. En effet,
3) Faux. En effet,
2) Faux. En effet,
4) Vrai. En effet, si
1) 3² + 4² = 5² donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle est rectangle. 3 et 4 sont des entiers consécutifs donc le triangle rectangle est presque isocèle.
2) Soit un triangle rectangle presque isocèle. Soit n le nombre entier correspondant à la longueur du petit côté de l'angle droit. L'autre coté de l'angle droit est alors n + 1.
D'après le théorème de Pythagore l'hypoténuse a donc pour longueur
Nous devons donc élaborer un algorithme qui renvoie trois nombres :
est un nombre entier.
Pour n allant de 1 à 9999 (on fixe arbitrairement un seuil)
est un nombre entier
Algorithme :
Intersection et réunion d'intervalles
• L’intersection de deux intervalles I et J est l’ensemble des réels appartenant à I et à J. On le note I ∩ J. Le ∩ se lit "inter".
• La réunion de deux intervalles I et J est l’ensemble des réels appartenant à I ou à J (ou éventuellement aux deux) On le note I ∪ J. Le ∪ se lit "union".
Exemples :
L'intersection est l’intervalle
"doublement" colorié
La réunion est l’intervalle
colorié : 1 ou 2 couleur(s)
Automatismes :
[
]
[
]
Automatismes :
[
]
]
[
]
On traduit les inégalités avec des intervalles.
C'est le ou qui indique que x appartient à la réunion des deux intervalles.
]
]
[
]
[
[
[
[
[
]
On passe d'abord des inégalités aux intervalles.
]
]
Le et indique que a appartient à l'intersection des deux intervalles.
[
]
[
[
]
[
Valeur absolue
Soit x et a deux nombres réels.
La valeur absolue de x−a, notée ∣x−a∣ est la distance entre x et a sur la droite des réels.
La valeur absolue de x, ∣x∣=∣x−0∣, est la distance entre x et 0 sur la droite des réels.
Si x est positif ∣x∣=x
Si x est négatif ∣x∣=−x
Une valeur absolue est toujours positive (c'est une distance)
- ∣−5∣=5
- ∣−3−2∣=32
- ∣−289∣=289=17
- ∣3−32×(6−4)∣=35=35
La distance entre deux nombres réels est la valeur absolue de la différence de ces deux nombres.
- ∣−2−(−12)∣=∣10∣=10
- 35−67=21=21
- ∣−π−2π∣=∣−3π∣=3π
- ∣−4−6∣=∣−10∣=10
1. Quels sont les nombres dont la valeur absolue est 8 ?
Ensemble des solutions
2. Quels sont les nombres dont la valeur absolue est −5 ?
Aucun
3. Quels sont les nombres dont la valeur absolue est 3 ?
3 et −3.
4. Quels sont les nombres dont la valeur absolue est 4 ?
4 et −4.
La proposition est vraie.
2. Si k est un entier positif, ∣k∣=k.
La proposition est fausse.
La proposition est vraie.
La proposition est fausse.
1. Soit a l'âge d'une personne.
Condition pour rentrer au Macumba :
Condition pour rentrer au La Playa :
Condition pour rentrer dans les deux clubs :
2. Condition pour rentrer dans l'un des deux clubs :