Loi normale centrée réduite

Une variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite notée \(\mathcal{N}(0\;;1)\) si elle a pour densité la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par 

f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\text{e}^{-\frac{x^2}{2}}

Activité 4 : De la loi binomiale à la loi normale

Partie A : X est une variable aléatoire  suivant la loi binomiale B(30 ; 0, 3)

\mu = E(X) = np = 30\times 0,3 = 9

1.Espérance de X :

Imaginons l'expérience aléatoire consistant à répéter 30 fois la même épreuve de Bernouilli de façon indépendante et dont la probabilité du succès est 0,3.

X correspond au nombre de succès et peut prendre toute valeur de 0 à 30.

L'espérance correspond à la moyenne théorique du nombre de succès : si on répète un grand nombre de fois l'expérience, la moyenne des valeurs prises par X va se rapprocher de 9.

\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}

Ecart-type de X :

=\sqrt{30\times0,3\times 0,7}
\approx 2,51

l'écart-type représente une mesure de la dispersion des valeurs de la variable X autour de son espérance mathématique.

En répétant l'expérience précédente un grand nombre de fois X ne prendra pas toujours la valeur 9.

\(\sigma(X)\) peut s'interprété comme l'écart moyen des valeurs prises par X et son espérance.

2. l'histogramme correspondant

3. la somme des aires des rectangles correspond à la somme des probabilités donc est égale à 1.

Partie B : On s'intéresse maintenant à la variable aléatoire \(Y= X-\mu\)

\text{Soit } Y = X-9

Pour calculer les valeurs prises par Y il suffit de soustraire 9 aux valeurs prises par X :

4-9=-5\dots

2. l'histogramme correspondant

X
Y

3. Espérance et écart-type de Y : 

\text{et } \sigma(Y )= a\sigma(X)
\text{Si } Y = aX + b\text{ alors } E(Y) = a E(X)+b
\text{Ici } Y = X-9
(a=1\text{ et }b=-9)
\text{ donc } E(Y) = E(X)-9 = 9-9=0
\text{et } \sigma(Y )= \sigma(X) =\sigma

Lorsque l'espérance d'une variable aléatoire est égale à 0, ce qui est le cas de Y on dit qu'elle est centrée.

Partie C : On s'intéresse maintenant à la variable aléatoire \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\)

\text{Soit } Z=\dfrac{X-9}{\sigma}=\dfrac{Y}{\sigma}

1. Pour calculer les valeurs prises par Z il suffit de diviser les valeurs de Y par \(\sigma\) soit environ par 2,51 :

\frac{-5}{2,51}\approx -1,99\dots

2. On vérifie que la différence entre deux valeurs successives prises par Z est égale à  

\frac{1}{\sigma}\approx 0,4.

Pour calculer la hauteur de chaque rectangle de l'histogramme de la variable Z il suffit de diviser son aire par 0,4

\text{aire d'un rectangle }=\text{hauteur}\times \text{largeur}
\text{hauteur d'un rectangle }=\dfrac{\text{aire}}{ \text{largeur}}
\frac{0,02}{0,4}=0,05\dots
\dots

3. Espérance et écart-type de Z : 

\text{et } \sigma(Z )= a\sigma(Y)
\text{Si } Z = aY\text{ alors } E(Z) = a E(Y)
\text{Ici } Z = \dfrac{Y}{\sigma}
(a=\frac{1}{\sigma})
\text{ donc } E(Z) = \dfrac{1}{\sigma}E(Y) =\dfrac{1}{\sigma}\times 0 = 0
\sigma(Z )=\dfrac{1}{\sigma}\times \sigma(Y) = \dfrac{\sigma}{\sigma} =1

Comme Y, la variable Z est centrée.

Lorsque l'écart-type d'une variable aléatoire est égal à 1, ce qui est le cas de Z, on dit qu'elle est réduite.

La variable aléatoire Z est centrée réduite.

En faisant varier n :

plus n augmente, plus le graphique évoque une cloche...

\text{L’histogramme est limité par l’axe des abscisses}
\text{et une ligne brisée qui, lorsque }n\text{ augmente, tend}
\text{à se confondre avec la représentation graphique }
\text{d'une fonction }f\text{ définie sur }\mathbb{R} \text{ par}
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\text{e}^{-\frac{x^2}{2}}

Si une variable aléatoire \(X\)  suit la loi normale centrée réduite alors \(E(X)=0\) et \(\sigma(X)=1\)

Loi normale et calculatrice :

p(-1,96\leq X \leq 1,96)\approx0,95

TI : 2nde var (distrib)

CASIO : menu Stat. - DIST(F5) - NORM(F1) - Ncd(F2)

p(a\leqslant X \leqslant b)

Sur CASIO et TI on ne peut calculer que des  probabilités du type 

p(X \leqslant 1)

  • Pour calculer par exemple

on calcule

p(-10^{99}\leqslant X \leqslant 1)
p(X \leqslant 1)\approx0,8413
p(X \geqslant 0,5)

  • Pour calculer par exemple

on calcule

p(0,5\leqslant X \leqslant 10^{99})
p(X \geqslant 0,5)\approx0,3085
c)\; p(-1,96\leq X \leq 1,96)\approx0,95
p(X\in [-1,96\;;1,96])\approx0,95
6,8-1,96=4,84\text{ et }6,8+1,96=8,76

Le prix de l'ustensile est compris entre  4,84 € et 8,76 € avec une probabilité de 95%.

X<199

⇔

Y<-1
p(Y<-1)\approx0,159

a)

X-200<199-200

⇔

198,04 < X <201,96
-1,96 < Y<1,96

b)

⇔

p(-1,96 < Y<1,96)\approx0,95

La probabilité que la baguette de soit pas commercialisable est environ égale à 0,159.

La probabilité que la baguette ait une masse comprise entre 198,04 g et 201,96 g est environ égale à 0,159.

X\geqslant 300\Leftrightarrow Z\geqslant \dfrac{300-240}{20}\Leftrightarrow Z\geqslant 3
X\leqslant 320\Leftrightarrow Z\leqslant \dfrac{320-240}{20}\Leftrightarrow Z\leqslant 4
\approx 0,00132
\approx 0,00135
Made with Slides.com