Configurations du plan
ST²=RS²+RT² donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle RST est rectangle en R.
N
M
L
10
1. Le triangle MAS est rectangle en A, donc d'après le théorème de Pythagore on a
2. On a de même :
3. a) H est le projeté orthogonal de R sur (AD) donc :
On en déduit que le triangle RSH est rectangle en H.
3. b)
3. c) Le triangle RSH est rectangle en H, donc d'après le théorème de Pythagore on a
4. Conclusion :
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle RSM est rectangle en M et donc
L'échelle mesure 2,5 m.
1. Si un parallélogramme a un angle droit alors c'est un rectangle.
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors c'est un rectangle.
2. Si un rectangle a deux côtés consécutif de même longueur alors c'est un carré.
Si un rectangle a ses diagonales perpendiculaires alors c'est un carré.
3. Oui un carré est a la fois un losange et un rectangle.
Géométrie repérée
Un repère quelconque
Définir un repère du plan, c’est choisir 3 points non alignés dans un ordre précis : O, I, J.
On note ce repère (O, I , J)
(OI) :
(OJ) :
Origine du repère
Repères
Repère orthogonal
Des repères particuliers :
Repère orthonormé
(OI)⊥(OJ)
(OI)⊥(OJ) et OI = OJ
abscisse
du point M
ordonnée
du point M
(xM ; yM) : coordonnées du point M dans le repère (O, I , J).
Exemples : Dans le repère (O, I , J), on a :
O (0 ; 0) ; I (1 ; 0) ; J (0 ; 1) ; A (3 ; 2) ; B (−2 ; 3) et C (−1 ; −2).
Coordonnées du milieu d’un segment
Coordonnées du milieu d’un segment
Soit (O, I , J) un repère du plan et A (xA ; yA) et B (xB ; yB) deux points du plan.
Les coordonnées du milieu I de [AB] sont :
et
Exemples :
1) C(−5 ; 7) et E(9 ; −4) sont deux points du plan muni d'un repère (O ; I, J).
Calculer les coordonnées du milieu K du segment [CE].
et
et
et
Exemples :
2) M(−1 ; 3) et K(2 ; −3) sont deux points du plan muni d'un repère (O ; I, J).
Soit N le point du plan tel que K soit le milieu du segment [MN]. Calculer les coordonnées du point N.
et
et
et
Exemples :
3) A(−1 ; 2), B(1 ; 4) et C(7 ; −2) sont trois points du plan muni d'un repère (O ; I, J).
Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
Étape 1:
On calcule les coordonnées de K, le milieu de [AC], diagonale du parallélogramme ABCD.
et
et
et
Étape 2:
K étant aussi le milieu de la diagonale [BD], on a :
et
et
et
et
V
F
V
F
(A, B et C uniquement)
et
Le point D est le symétrique du point A par rapport au point K si et seulement si le point K est le milieu de [AD] :
et
et
et
Les diagonales [BC] et [AD] du quadrilatère ABCD ont le même milieu K donc ABCD est un parallélogramme.
2. Le triangle ABC semble isocèle en C.
2. Dans le repère (A;B,D) on a :
3. Le repère étant orthonormé on peut utiliser la formule de calcul d’une distance :
4. D'après la question 3., EF=AF donc le triangle AEF est isocèle en F.
donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle AEF est rectangle en F.
Conclusion : le triangle AEF est isocèle rectangle en F.
2. D’après la figure ci-contre, on peut conjecturer que le quadrilatère est un losange.
3. On peut montrer que [BD] et [AC] se coupent en leur milieu et que AB = BC...
Les points K et L sont confondus donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
On a AB = BC ; Le parallélogramme ABCD a deux côtés consécutifs de même longueur donc c'est un losange.
