Rappels sur le coefficient directeur correspondant à n évolutions

CM_\text{global}=CM_1\times CM_2\dots
\text{Ici }CM_\text{global}=1,02^{18}
CM_\text{global}=CM^n \text{ (pour n évolutions identiques)}
CM_\text{global}=1+t_\text{global}\text{ donc }t_\text{global}=CM_\text{global}-1
t_\text{global}=1,02^{18}-1\approx 0,4282\text{ soit une augmentation d'environ 42,82 \%.}

Taux d'évolution moyen équivalent à n évolutions

Exemple :

On considère trois évolutions successives : 

  • Une hausse de 5%.
  • Une hausse de 8%.
  • Une baisse de 11%.

On cherche à déterminer le taux d'évolution moyen équivalent à ces trois évolutions successives.

On détermine d'abord le coefficient multiplicateur global correspondant à ces trois évolution successives : 

  • Une hausse de 5% : \(CM_1=1,05\)
  • Une hausse de 8% : \(CM_2=1,08\)
  • Une baisse de 11% : \(CM_3=0,89\)

Pour cela  on multiplie les coefficients multiplicateurs :

CM = CM_1\times CM_2\times CM_3
CM = 1,05\times 1,08\times 0,89 = 1,00926

\(t\), le taux d'évolution moyen vérifie l'égalité suivante :

(1+t)^3=CM
(1+t)^3=1,00926
\left((1+t)^3\right)^\frac{1}{3}=1,00926^\frac{1}{3}
(1+t)^1=1,00926^\frac{1}{3}
1+t=1,00926^\frac{1}{3}
t=1,00926^\frac{1}{3}-1
t\approx 0,003

Soit un taux d'évolution moyen d'environ 0,3%.

t=CM^\frac{1}{n}-1

Formule à connaître : 

Exemple :

On veut calculer le taux d'évolution moyen annuel correspondant à une hausse globale de 20% en 10 ans.

Ici le coefficient multiplicateur global est \(CM = 1,2\) et \(n=10\).

t = 1,2^{\frac{1}{10}}-1\approx 0,0184

On a donc :

soit un taux moyen annuel d'environ 1,84%. 

Ici le coefficient multiplicateur global est \(CM = 0,8\) et \(n=12\).

t = 0,8^{\frac{1}{12}}-1\approx -0,0184

On a donc :

soit un taux mensuel moyen d'environ \(-1,84\)%. 

Ici le coefficient multiplicateur global est \(CM = 0,95^ 2\times 1,03^4\) et \(n=6\).

t = 1,0158^{\frac{1}{6}}-1\approx 0,0026

On a donc :

Soit un taux moyen d'environ 0,26%. 

Le coefficient multiplicateur global : \(CM = 0,95^2\times 1,03^4\approx 1,0158\).

Ici le coefficient multiplicateur global est \(CM = 1,01^ 4\times 0,9925^8\) et \(n=12\).

t = 0,9798^{\frac{1}{12}}-1\approx -0,0017

\(CM<1\) donc ce prix à diminué au bout d'un an.

Soit un taux moyen d'environ \(-0,17\)%. 

Le coefficient multiplicateur global : \(CM = 1,01^ 4\times 0,9925^8\approx 0,9798\).

t=-0,75\%\text{ correspond à } t=-\dfrac{0,75}{100}=-0,0075

Coefficient multiplicateur correspondant à une basse de 0,75% :

CM=1+t=1+(-0,0075)=0,9925
t_{moyen}=CM^\frac{1}{n}-1
0,035=CM^\frac{1}{3}-1
CM^\frac{1}{3}=1,035
CM=1,035^3
CM\approx 1,1087
CM\approx 1,1087
CM=(1+t)^2\times 0,95
(1+t)^2\times 0,95\approx 1,1087
(1+t)^2\approx\dfrac{1,1087}{0,95}
(1+t)^2\approx 1, 167
1+t\approx \sqrt{1, 167}
t\approx \sqrt{1, 167}-1
t\approx0,08

Le taux d'augmentation est environ égal 8%. 

CM=1,05^4\times 0,96^5\approx 0,9911
CM=1+t \text{ donc } t=CM-1
t\approx 0,9911-1=-0,0089

soit un taux global d'environ \(-0,89\,\%\)

t_{moyen}=CM^\frac{1}{n}-1\approx 0,9911^{\frac{1}{9}}-1\approx -0,001

soit un taux moyen d'environ \(-0,1\,\%\)

CM=1,24
t_{moyen}=1,24^\frac{1}{n}-1
\text{a. }t_{moyen}=1,24^\frac{1}{12}-1\approx 0,0181 \text{ soit environ 1,81\%}
\text{b. }t_{moyen}=1,24^\frac{1}{4}-1\approx 0,0553 \text{ soit environ 5,53\%}
\text{c. }t_{moyen}=1,24^\frac{1}{2}-1\approx 0,1136 \text{ soit environ 11,36\%}
\text{d. }t_{moyen}=1,24^\frac{1}{365}-1\approx 0,0006 \text{ soit environ 0,06\%}
CM=0,89^4\times 1,08^6\approx 0,9956
t_{moyen}=CM^\frac{1}{n}-1\approx 0,9956^{\frac{1}{10}}-1\approx -0,00044

soit un taux moyen annuel d'environ \(-0,044\,\%\)

t_{moyen}=CM^\frac{1}{n}-1\approx 0,3333^{\frac{1}{2}}-1\approx -0,4226

soit un taux moyen annuel d'environ \(-42,26\,\%\)

\text{Coefficient multiplicateur global : }CM=\dfrac{v_a}{v_d}=\dfrac{10}{30} \approx 0,3333
\text{Coefficient multiplicateur moyen : }\\ CM=1+t \approx 1-0,4226=0,5774
10\times 0,5774^{10}\approx 0,04

soit un taux d'endettement en 2030 d'environ \(0,04\,\%\)

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