Second degré

1 Polynômes du second degré

1.1 Définition

Définition : On appelle polynôme du second degré toute fonction f définie sur ℝ par                                                      avec        

f(x)=ax^2+bx+c
f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c
a\neq 0
a≠0a\neq 0

Exemples :

  • f (x) = 3x² − x + 1 est un polynôme du second degré (a = 3 ; b = −1 et c = 1) Il est écrit sous sa forme développée.
  • g (x) = (3x − 2) (1 − x) est un polynôme du second degré. Il est écrit sous sa forme factorisée. En développant, on obtient : g (x) = −3x² + 5x − 2 (a = −3 ; b = 5 et c = −2)

1.2 Forme canonique

Propriété - Définition : Toute fonction polynôme du second degré définie par                                                      avec        

admet pour forme canonique 

où                  sont les coordonnées du sommet de la parabole qui représente f. De plus :                           et 

f(x)=ax^2+bx+c
f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c
a\neq 0
a≠0a\neq 0

Exemple :

f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta
f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta
\alpha\;et\;\beta
αetβ\alpha\;et\;\beta
\alpha = -\frac{b}{2a}
α=−b2a\alpha = -\frac{b}{2a}
\beta =f(\alpha)
β=f(α)\beta =f(\alpha)
f(x)=3x^2-6x-2
f(x)=3x2−6x−2f(x)=3x^2-6x-2
\alpha = -\frac{-6}{2\times 3}=1
α=−−62×3=1\alpha = -\frac{-6}{2\times 3}=1
\beta =f(1)=-5
β=f(1)=−5\beta =f(1)=-5

La forme canonique de la fonction f est donc :

f(x) =  3(x − 1)² − 5

1.3 Sens de variation

c'est le signe de a qui détermine les variations de la fonction.

2 Equations du second degré

Remarque : Suivant le signe du discriminant, il peut être possible de factoriser l'expression entre crochets, ce qui permet de résoudre dans le cas général une équation du second degré :

Exemples :

3 Inéquations du second degré

3.1 Signe des polynômes du second degré :

Activité 1 p 21

1)

2)

Propriété : Signe du trinôme

  • Si Δ > 0, f est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe opposé à a entre les racines.
  • Si Δ = 0, f est toujours du signe de a (et s’annule uniquement en x0)
  • Si Δ < 0, f est toujours strictement du signe de a.

Exemple : Etude du signe de

f(x)=x^2+4x-5
f(x)=x2+4x−5f(x)=x^2+4x-5

a = 1, donc a > 0. On calcule Δ :

3.2 Résoudre une inéquation :

Exemple : Résoudre l'inéquation 

-3x^2+4x+4\geq 0
−3x2+4x+4≥0-3x^2+4x+4\geq 0

On étudie le signe du trinôme 

f(x)=-3x^2+4x+4
f(x)=−3x2+4x+4f(x)=-3x^2+4x+4
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