Probabilités conditionnelles
P(A\cap B)=0,3\times 0,4 = 0,12
Act 1 p 120
0,7
0,4
0,8
P(A)\times P_A(B)=0,3\times 0,4 = 0,12
P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)
A retenir :
P(A)
P(\overline{A}) = 1-P(A)
P(\overline{A})
P_A(B)
P_{\overline{A}}(\overline{B})
A\cap B
A\cap \overline{B}
\overline{A}\cap \overline{B}
\overline{A}\cap B
P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)
En divisant par \(P(A)\), on retrouve la formule des probabilités conditionnelles :
P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}
P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)=0,12+0,14=0,26
\text{Formule des probabilités totales :} \\P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)
P(\overline{A}\cap B)=P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B)=0,7\times 0,2 = 0,14
0,7
0,4
0,8
A\cap B
A\cap \overline{B}
\overline{A}\cap \overline{B}
\overline{A}\cap B
P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)=P(B)
Act 2 p 120
P(T)=0,3
P(S)=1-0,3=0,7
P_T(M)=0,4
P_S(M)=0,2
T ∩ M : « l’élève utilise le téléchargement et lit les vidéos sur son smartphone »
S ∩ M : « l’élève utilise le streaming et lit les vidéos sur son smartphone »
P(T\cap M)=P(T)\times P_T(M)=0,3\times 0,4 = 0,12
P(S\cap M)=P(S)\times P_S(M)=0,7\times 0,2 = 0,14
P(M)=P(T\cap M)+P(S\cap M)
D'après la formule des probabilités totales :
P(M)=0,12+0,14=0,26
P_M(T)= \dfrac{P(T\cap M)}{P(M)}
P_M(T)= \dfrac{0,12}{0,26}
P_M(T)= \dfrac{6}{13}
P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0,2}{0,8}=0,25
P(A\cap B) = P(B)\times P_B(A)
0,3 = P(B)\times 0,5
P(B)=\dfrac{0,3}{0,5} = 0,6
\frac{1}{2}
\frac{2}{3}
\frac{3}{4}
0,79
0,57
0,4
\frac{1}{2}
1
0
\frac{5}{7}
0,01
\frac{2}{5}
P(A)=0,15
P_A(\overline{B})=0,56
P_{\overline{A}}(B)=0,3
\text{Non}
P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)
P({\overline{A}}\cap B)=P({\overline{A}})\times P_{\overline{A}}(B)
P(A\cap B)=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{5}{7}=\dfrac{2}{7}
P(\overline{A}\cap B)=\dfrac{3}{5}\times \dfrac{5}{7}=\dfrac{3}{7}
1.
2. D'après la formule des probabilités totales on a :
\\P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)
\\P(B)=\dfrac{2}{7}+\dfrac{3}{7}=\dfrac{5}{7}
P(A)\times P_A(B)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}
P({\overline{A}})\times P_{\overline{A}}(B)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}
1.
2. D'après la formule des probabilités totales on a :
\\P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)
\\P(B)=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}
P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)
P({\overline{A}}\cap B)=P({\overline{A}})\times P_{\overline{A}}(B)
P(A\cap B)=0,4\times 0,8=0,32
P(\overline{A}\cap B)=0,6\times 0,7=0,42
2.
3. D'après la formule des probabilités totales on a :
\\P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)
\\P(B)=0,32+0,42=0,74
On note F : "l'employée est une femme".
On note H : "l'employé est un homme".
On note I : "l'employé(e) est un(e) ingénieur(e)".
On note T : "l'employé(e) est un(e) technicien(ne)".
\\P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)
\\P(B)=P(A)\times P_A(B)+P({\overline{A}})\times P_{\overline{A}}(B)
\\P(B)=0,5\times 0,2+0,5\times 0,6
\\P(B)=0,4
\\P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap \overline{B})
\\P(A)=0,35+0,45
\\P(A)=0,8
On note G : "le licencié est un garçon".
On note M : "le licencié est majeur".
\\P(G)=0,8
~;~P_G(M)=0,75
~;~P_{\overline{G}}(M)=0,25
\\P(M)=P(G\cap M)+P(\overline{G}\cap M)
\\P(M)=P(G)\times P_G(M)+P({\overline{G}})\times P_{\overline{G}}(M)
\\P(M)=0,8\times 0,75+0,2\times 0,25
\\P(M)=0,65
P_B({\overline{C}})=0,8
P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{\dfrac{7}{15}}{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{7}{15}\times\dfrac{5}{3}=\dfrac{7}{9}
2.\;P(S\cap E)=P(S)\times P_S(E)=0,25\times 0,4=0,1
3.\;P(\overline{S}\cap E)=P(\overline{S})\times P_{\overline{S}}(E)=0,75\times 0,08=0,06
P(E)=P(S\cap E)+P(\overline{S}\cap E)=0,1+0,06=0,16
P_E(S)=\dfrac{P(S\cap E)}{P(E)}=\dfrac{0,1}{0,16}=0,625
1. Faux
Indépendance de deux événements :
\text{A et B sont indépendants}\\
\text{si et seulement si}\\
P(A\cap B) = P(A)\times P(B)
\text{A et B sont indépendants}\\
\text{si et seulement si}\\
P_A(B) = P(B)
P(A)\times P(B)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}=P(A\cap B)
\text{Donc les événements A et
B sont indépendants.}
P_B(A)\neq P(A)
\text{Donc les événements A et
B ne sont pas indépendants.}
\text{A et B sont indépendants donc }\\
P(A\cap B) = P(A)\times P(B)=0,6\times 0,5=0,3
\text{A et B sont indépendants donc }\\
P(A\cap B) = P(A)\times P(B)
\dfrac{2}{5}= \dfrac{2}{3}\times P(B)
\text{et donc } P(B)= \dfrac{2}{5}:\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{5}\times\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{5}
Réussir le premier et le deuxième service sont deux événements indépendants.
\dfrac{3}{5}\times \dfrac{4}{5}=\dfrac{12}{25}
\dfrac{2}{5}\times \dfrac{4}{5}=\dfrac{8}{25}
1-\dfrac{2}{5}\times \dfrac{1}{5}=\dfrac{23}{25}
ou Réussir au moins un service est l'événement contraire de rater les deux :
\dfrac{3}{5}\times \dfrac{4}{5}+\dfrac{3}{5}\times \dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{5}\times \dfrac{4}{5}=\dfrac{23}{25}
1. \text{Faux. Avec} P(A)=\dfrac{6}{9}\text{ et }P(B)= \dfrac{9}{10}
\text{Si A et B sont indépendants on a }
P(A)\times P(B)= P(A\cap B)
\dfrac{6}{9}\times \dfrac{9}{10}= 0,6
2. \text{Faux. Si A et B sont indépendants alors }\\ P(A)=P_B(A)
3. \text{Vrai. }0,4 \times \dfrac{3}{4}=0,3
4. \text{Vrai. }P(\overline{A})\times P(B) =0,4 \times 0,5=0,2=P(\overline{A}\cap B)
1. Les événements A et B ne sont pas indépendants mais incompatibles :
P(A\cap B)=0\neq P(A)\times P(B)
P(A)\times P(B)= P(A\cap B)
P(A\cap B)\neq P(A)\times P(B)
\text{1. La première pièce est équilibrée donc }P(P_1) = \dfrac{1}{2}
P(A)\times P(B)=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{5}{6}=\dfrac{5}{9}= P(A\cap B)
\text{donc A et B sont indépendants : Réponse a.}
\text{Il manque la donnée de P(B) ou de }P_B(A).
\text{donc on ne peut pas savoir : Réponse c.}
P(A)\times P(B)=P(A\cap B)\text{ donc }P(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{5}{12}}{\frac{2}{3}}=\frac{5}{8}
\text{Si A et B sont indépendants alors }
\text{Réponse b.}
P(A)=1-0,25=0,75
\text{Réponse a.}
\text{A et B sont indépendants si et seulement si }P(A)=P_B(A)