1.1 Définition, exemples
Définition : On dit qu’une suite (un) est arithmétique si on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre réel r.
On a donc : $$ \textcolor{red}{u_{n+1}=u_n+r} $$
Le réel r est alors appelé raison de la suite.
Exemples :
1.2 Expression en fonction de n
Soit (un) une suite arithmétique de raison r.
Si le premier terme est u0 on a :
u1 = u0 + r
u2 = u1 + r = u0 + 2r
u3 = u2 + r = u0 + 2r + r = u0 + 3r
Plus généralement, on a le résultat suivant :
Théorème : Soit (un) une suite arithmétique de raison r. Alors :
u2 = u1 + r
u3 = u2 + r = u1 + 2r
u4 = u3 + r = u2 + 2r + r = u1 + 3r
Plus généralement, on a le résultat suivant :
Théorème : Soit (un) une suite arithmétique de raison r. Alors :
Si le premier terme est u1 on a :
Exemples :
On a : un = u0 + nr = 7 + n × (−2) = 7 − 2n.
En particulier : u50 = 7 − 2 × 50 = 7 − 100 = −93.
On a : vn = v1 + (n − 1)r = 3 + (n − 1) × 1,5 = 3 + 1,5n − 1,5
En particulier : v50 = 1,5 × 50 + 1,5 = 75 + 1,5 = 76,5.
On a : vn = 1,5n + 1,5
Remarque :
On peut utiliser une calculatrice ou un tableur pour déterminer les termes consécutifs d'une suite arithmétique.
Exemple d'utilisation d'un tableur :
On veut, à l’aide d’un tableur, obtenir les 50 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme u0 = 17 et de raison –5.
Exemple d'utilisation de la calculatrice :
On veut, à l’aide d’une calculatrice, obtenir les 10 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme u0 = 17 et de raison –5
1. Mettre sa calculatrice en mode suite
TI : mode
CASIO : mode RECUR
2. Entrer la suite comme une fonction :
TI :
CASIO :
Entrée de u0 : F5 : SET UP
3. Afficher le tableau de valeurs :
TI : 2nde graphe
CASIO : F6 TABL
EX 1 p 48 :
(un) est une suite arithmétique de premier terme u0 = 1 et de raison r = 5.
Calculer les termes u1, u2 et u3 puis calculer u5.
EX 5 p 48 :
(vn) est une suite arithmétique de premier terme v1 = 12 et de raison r = –3.
EX 6 p 48 :
(un) est une suite arithmétique telle que u0 = 78 et u1 = 84.
Déterminer sa raison.
EX 9 p 48 :
(un) est une suite arithmétique telle que un+1 = un – 15
pour entier naturel n
Déterminer sa raison.
La raison de la suite (un) est –15.
Donner l'expression du terme général de la suite (un) c'est exprimer un en fonction de n.
Le dixième terme est u9.
2.1 Définition, exemples
Définition : On dit qu’une suite (un) est géométrique si on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre réel q.
On a donc : $$ \textcolor{red}{u_{n+1}=q\times u_n} $$
Le réel q est alors appelé raison de la suite.
Exemples :
2.2 Expression en fonction de n
Soit (un) une suite géométrique de raison q.
Plus généralement, on a le résultat suivant :
Théorème : Soit (un) une suite géométrique de raison q. Alors : $$ \textcolor{red}{u_n=u_0\times q^n} $$
Si le premier terme est u0 on a :
Plus généralement, on a le résultat suivant :
Théorème : Soit (un) une suite géométrique de raison q. Alors : $$ \textcolor{red}{u_n=u_1\times q^{n-1}} $$
Si le premier terme est u1 on a :
Exemples :
On a :
On a :
En particulier :
En particulier :
EX 26 p 49 :
(vn) est une suite géométrique de premier terme v0 = 1 et de raison q = 2.
Calculer les termes v1, v2 et v3 puis calculer v5.
EX 28 p 49 :
(wn) est une suite géométrique de premier terme w1 = 5 et de raison q = 3.
Calculer les termes w2, w3 et w4 puis calculer w6.
On veut calculer la somme des k premiers termes d’une suite arithmétique ou géométrique.
Si le premier terme est u0 :
Si le premier terme est u1 :
Remarque : On peut utiliser un tableur ou une calculatrice pour calculer ces sommes.
Exemples d'utilisation de la calculatrice :
1. On veut, à l’aide d’une calculatrice, calculer la somme des 13 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme u0 = 2 et de raison 3 :
1. Exprimer un en fonction de n
TI : 2nde 0 (catalog) ln (s)
CASIO : Menu RUN MAT
F4 F6 F2
2. Utiliser le terme général de la suite et la fonction somme de la calculatrice :
2. On veut, à l’aide d’une calculatrice, calculer la somme des 10 premiers termes de la suite géométrique de premier terme u0 = 2 et de raison 3 :
1. Exprimer un en fonction de n
TI : 2nde 0 (catalog) ln (s)
CASIO : Menu RUN MAT
F4 F6 F2
2. Utiliser le terme général de la suite et la fonction somme de la calculatrice :