Bewijzen en redeneren voor informatici 

Oefenzitting 1: Verzamelingen

Basisconcepten

\(a\) is een element van de verzameling \(A\): \(a \in A\)

Speciale verzamelingen: \(\emptyset \), singleton en paar

Relaties tussen verzamelingen: \( \subset , \subseteq , = \)

Bewerkingen op verzamelingen:

• \( A \cap B = \{x | x \in A \text{ en } x \in B\} \)
• \( A \cup B = \{ x | x \in A \text{ of } x \in B \} \)
• \( A \setminus B = \{ x | x \in A \text { en } x \notin B\} \)
• \( A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \)
• \( A^c = \{x | x \notin A \}\) altijd t.o.v. universum \( U \)

Venn diagrammen

Rekenregels

Verzamelingen van verzamelingen

De machtsverzameling \( \mathcal{P}(A) \)

 

Oefening 1.10

Toon aan: \(A \cap A = A \)

• Gebruik de definitie van doorsnede van een verzameling:
  \( A \cap A = \{ x | x \in A \text{ en } x \in A \} \)
• Dit kunnen we vereenvoudigen:
  \( = \{x | x \in A \} \)
• De verzameling van alle elementen \(x\) die in \(A\) zitten is eenvoudigweg gelijk aan de verzameling \(A\)
  \( = A\)

Oefening 1.28

Toon aan: \(A \cap A^c = \emptyset \)

• Gebruik de definitie van doorsnede van een verzameling:
  \( A \cap A^c = \{ x ~|~ x \in A \text{ en } x \in A^c \} \)
• Gebruik de definitie van \(A^c\):
  \( = \{ x | x \in A \text{ en } x \notin A \}\)
• Geen enkele \( x \) voldoet hieraan!
  \( = \emptyset \)

Algemene bewijstechniek!

Oefening 1.14

Is de volgende bewering juist? Beargumenteer je antwoord.
"Als \(x \in A \cup B \) dan \( x \in A \) en \(x \in B\)"

• Nee!
  Als  \(x \in A \cup B \) dan  \( x \in A \) of \(x \in B\)
• Tegenvoorbeeld:
  • Stel \( x = a, A = \{ a \}, B = \emptyset \)
  • Dan geldt er \(x \in A \cup B \) en \(x \in A \) maar niet \(x \in B\)

Oefening 1.45

Vereenvoudig \( ( A \cup B) \cap A^c \)

• Gebruik distributiviteit van doorsnede over unie:
  \( = (A \cap A^c ) \cup (B \cap A^c) \)
• Gebruik \( A \cap A^c = \emptyset \):
  \( = \emptyset \cup (B \cap A^c) \)
• Gebruik \( \emptyset \cup X = X \):
  \( = (B \cap A^c) \)
• Gebruik \( B \cap A^c = B \setminus A \):
  \( = B \setminus A \)

Oefening 1.56!

Welke van de volgende eigenschappen gelden steeds? Beredeneer.

\( (A \cap B) \cup ( A \setminus B) = A \)

• \( (A \cap B) \cup ( A \setminus B)\)
• Gebruik definitie unie:
  \( =\{ x~|~ (x \in A \cap B) \text{ of } x \in (A \setminus B) \} \)
• Gebruik definitie doorsnede en verschil:
  \( =\{ x~|~ (x \in A \text{ en } x \in B) \text{ of } (x \in A \text{ en } x \notin B) \} \)
• Vereenvoudig:
  \( =\{ x ~|~ x \in A \text{ en } (x \in B \text{ of } x \notin B) \} \)
• \( x \in B \text{ of } x \notin B \) is altijd waar:
  \( =\{x ~|~ x \in A \} \)
• \( =A \)

Technieken: definities toepassen, rekenregels en/of venn-diagram 

Oefening 1.56!

Welke van de volgende eigenschappen gelden steeds? Beredeneer.

\( (A \cap B) \cup ( A \setminus B) = A \)

 

Of in woorden:

• \( (A \cap B) \cup ( A \setminus B) \) bevat alle elementen die in A en in B zitten en alle elementen die in A zitten maar niet in B zitten.
• Omdat elk element van A ofwel in B, ofwel niet in B zit bevat \( (A \cap B) \cup ( A \setminus B) \) juist alle elementen van A.

​​
 

Technieken: definities toepassen, rekenregels en/of venn-diagram 

Oefening 1.56!

Welke van de volgende eigenschappen gelden steeds? Beredeneer.

\( (A \cap B) \cup ( A \setminus B) = A \)

 

Of met een venn-diagram:

Technieken: definities toepassen, rekenregels en/of venn-diagram 

\( A \cap B \)

\( A \setminus B \)

\( ( A \cap B) \cup ( A \setminus B) \)

Oefening 1.57!

Vereenvoudig \( A \cup B \setminus (A \cap B) \) 

• \( \setminus \) is rechts-distributief over \( \cup \):
  \(=(A \setminus (A \cap B)) \cup (B \setminus (A \cap B)) \)
• Gebruik \( X \setminus Y = X \cap Y^c \):
  \( = (A \cap (A \cap B)^c) \cup ( B \cap (A \cap B)^c) \)
• Gebruik wetten van de morgan:
  \(=(A \cap (A^c \cup B^c)) \cup (B \cap (A^c \cup B^c))\)
• Gebruik distributiviteit van \( \cap \) over \( \cup \):
  \( = ((A \cap A^c) \cup (A \cap B^c)) \cup ((B \cap A^c) \cup (B \cap B^c)) \)
• Gebruik \( X \cap X^c = \emptyset \) en \( X \cap Y^c = X \setminus Y \):
  \(= \emptyset \cup (A \setminus B)) \cup ((B \setminus A) \cup \emptyset )\)
• Gebruik \( X \cup \emptyset = X \):
  \(= (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \)
• Gebruik definitie van symmetrisch verschil:
  \(=A \Delta B \)