Basisconcepten

• Bewijs door vaststelling (e.g. waarheidstabel)
• Bewijs door constructie
  bv. er bestaat een x waarvoor P(x), geef simpelweg een voorbeeld
• Bewijs door tekening (e.g. venn diagram)
• Substitutie, gebruik definities, modus ponens
  modus ponens \( A \Rightarrow B \) is waar en \(A \) is waar dan is \( B \) waar zijn
• Ketens van (on)gelijkheden, implicaties en equivalenties
  bv. toon aan dat \( A \Leftrightarrow B \): \( A \Leftrightarrow \dots \Leftrightarrow \dots \Leftrightarrow B \)

Basisconcepten

• Wederzijdse implicatie
  \( A \Leftrightarrow B \) asa \( A \Rightarrow B \wedge B \Rightarrow A \)
• Inclusie van verzamelingen
  \( A \subseteq B \) asa \(\forall x \in A: x \in B\)
• Gelijkheid van verzamelingen
  \(A = B \) asa \( A \subseteq B \wedge B \subseteq A\)
• Gevalsonderscheid
• Bewijs uit het ongerijmde
  Om \(P\) te bewijzen bewijs dat \(\neg P \) een contradictie is
• Bewijs door inductie: inductiebasis, inductiestap

Oefening 4.12

Keten van gelijkheden, substitutie

Oefening 4.14

Wederzijdse implicatie, bewijs adhv tekening

TB: \( A \subseteq B \Leftrightarrow A \cup B = B \)

\( A \subseteq B \Rightarrow A \cup B = B \)

Oefening 4.14

Wederzijdse implicatie, inclusie en gelijkheid van verzamelingen, substitutie

TB: \( A \subseteq B \Leftrightarrow A \cup B = B \)

\( A \cup B = B \Rightarrow A \subseteq B \)

Gegeven:  \( \forall x: x\in A \vee x \in B \Leftrightarrow x \in B \)

Te bewijzen: \( \forall y: y \in A \Rightarrow x \in B \)

• Neem een willekeurige \( y \in A \)
• Deze \(y \in A\) en is er voldaan aan \(y \in A \vee y \in B \)
• Dus volgens het gegeven is \( y \in B \) waar 

Oefening 4.22

Bewijs uit het ongerijmde