什麼是組合數學?

基本計數原則

假設有 $k$ 個集合 $A_1, A_2, ..., A_k$ ，定義他們的笛卡爾積(Cartesian Product) 為集合

則

\Pi A_i = A_1 \times A_2 \times ... \times A_k = \{(a_1, a_2, ..., a_k) | a_i \in A_i, i = 1, 2, ..., k\}

\Pi A_i = A_1 \times A_2 \times ... \times A_k = \{(a_1, a_2, ..., a_k) | a_i \in A_i, i = 1, 2, ..., k\}

|\Pi A_i| = |A_1| \times |A_2| \times ... \times |A_k| = \Pi |A_i|

|\Pi A_i| = |A_1| \times |A_2| \times ... \times |A_k| = \Pi |A_i|

也就是說，假設每個集合都有 $c_i$ 個東西可以選，那從每個集合各選一個東西有 $\Pi c_i$ 種選法

若 $n$ 為非負整數， $(x + y)^n$ 的展開式為

$x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}y + ... + \binom{n}{1}xy^{n-1} + y^n \\ = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} x^iy^{n-i}$

各係數可由巴斯卡三角形第 $n$ 行求出

注意到，這代表巴斯卡三角形第 $n$ 行的數字和，也就是 $\sum_{i=0}^n \binom{n}{i} = 2^n$

假設有 $k$ 個集合 $A_1, A_2, ..., A_k$ ，則

$|\cup_{i=1}^k A_i | = \sum_{i=1}^k (-1)^{i+1} \sum_{p_1 < p_2 < ... < p_i} |A_{p_1} \cap A_{p_2} \cap ... \cap A_{p_i}|$