基本組合

aka 數(ㄕㄨˇ)數(ㄕㄨˋ)

 

建國中學 賴昭勳

什麼是組合數學?

組合數學 (Combinatorics)

「組合數學是一門研究可數或離散對象的科學。」 -Wikipedia

離散: 非連續,可數的 (ex. 圖論)

不是離散的數學 (ex. 實數)

 

 

簡單來說,就是研究如何數能一個一個數的東西。

為什麼要學?

  • 競程大部分的東西都是離散的
  • 一半以上的「數學」題都會用到
  • 可以會數數

符號

\(\sum\) : 求和符號 (Sigma)

\(\Pi\) : 求積符號 (Product)

\(\cap\) : 集合的交集

\(\cup\) : 集合的聯集

\(|A|\) : 集合\(A\)的大小

基本計數原則

加法原理

假設有 \(k\)個集合 \(A_1, A_2, ..., A_k\),任兩個集合皆互斥,則

\[|\cup_{i=1}^k A_i | = \sum_{i=1}^k |A_i|\]

當你要數符合某個條件的東西時,可以試著把它分成一些互斥的情況,把每種情況的方法數加起來得到答案。

乘法原理

假設有 \(k\)個集合 \(A_1, A_2, ..., A_k\),定義他們的笛卡爾積(Cartesian Product) 為集合

 

 

\Pi A_i = A_1 \times A_2 \times ... \times A_k = \{(a_1, a_2, ..., a_k) | a_i \in A_i, i = 1, 2, ..., k\}
|\Pi A_i| = |A_1| \times |A_2| \times ... \times |A_k| = \Pi |A_i|

也就是說,假設每個集合都有\(c_i\)個東西可以選,那從每個集合各選一個東西有\(\Pi c_i\)種選法

來看例題吧

請問 2940 有幾個因數?

答:

36個

對於任意正整數\(n\),假設他的質因數分解為

\(n = \Pi p_i^{m_i}\)

則\(n\)有\(\Pi (m_i + 1)\)個因數

認識階乘

\(n\) 個相異的東西排成一列,有多少種方法?

第一個東西有\(n\)個位置可以選,第二個東西有\(n-1\)個位置,第\(i\)個東西有\(n-i+1\)個位置...

1 \ \ \ \ 2 \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 4

\(n\) 個相異的東西排成一列,有多少種方法?

答: \(n!\)

總共 \(n * (n-1) * ... * 1 = \Pi_{i=1}^n i \) 種

定義這個數字為 \(n! = \Pi_{i=1}^n i\)

 

額外定義 \(0! = 1\)

簡單例題

有\(n > 2\)個人(編號\(1, 2, ..., n\))圍著一桌圓桌坐,若\(1\)和\(n\)兩個人不相鄰,且兩種坐法若旋轉後一樣則視為同一種,那有多少種方法?

\(Ans: (n-1)! - 2(n-2)!\)

排列數 \(P_k^n\)

把剛剛的問題再延伸...

\(n\) 個相異的東西,選\(k\)個排成一列,有多少種方法?

用同樣的邏輯,第一個東西有\(n\)個位置可以選,第二個東西有\(n-1\)個位置,第\(k\)個東西有\(n-k+1\)個位置...

\(n\) 個相異的東西,選\(k\)個排成一列,有多少種方法? 答: \(P_k^n\)

定義 \(P_k^n = n * (n - 1) * ... * (n-k+1) = \frac{n!}{n-k!} \)

由此可以注意到,\(P_n^n = \frac{n!}{0!} = n!\)

與前面\(0! = 1\)的定義相符

重複排列問題

 

有\(n\)顆球被塗成\(k\)個不同顏色,其中塗成第\(i\)個顏色的有\(c_i\)顆球,將這\(n\)顆球排成一列有幾種方法? (同樣顏色的球視為同一種)

假設每個球都不一樣,那有\(n!\)種方法。

重複排列問題

考慮一種排法: RGGBRRB

對於每一種排法,把顏色相同的球再任意順序編號,則可以對應到\(\Pi c_i!\)種排列。

 

那麼方法數為                          種。

\frac{n!}{c_1!c_2!...c_k!}

再看一題

有\(n\)個男生和\(m\)個女生 (\(n \geq m\)) 要排成一列,有多少種排法使得任兩個女生不相鄰?

\(Ans: n!P_m^{n+1}\)

組合數 \(\binom{n}{k}\)

 

新的問題

從大小為\(n\)的集合中選出大小為\(m\)的子集有多少種選法?

Hint: 先排成一列,再處理順序問題

考慮順序的話,那有 \(P_m^n\) 種選法。

每個集合都有\(m!\)種排法。

從大小為\(n\)的集合中選出大小為\(m\)的子集有多少種選法? \(Ans: \binom{n}{m} \)

定義 \[C_m^n = \binom{n}{m} = P_m^n / m! = \frac{n!}{m!(n-m)!}\]

註: 先假設 \(n, m\)為非負整數且\(m \leq n\)

若\(m>n\)則定義\(\binom{n}{m} = 0\)

重複排列問題 (Part 2?)

有\(a+b\)顆球,\(a\)顆紅色\(b\)顆藍色排成一列,有多少種方法?

\(Ans: \binom{a+b}{a} = \binom{a+b}{b}\)

走格子問題

A

B

A到B,只往右或往下走有幾種走法?

卡特蘭數

一路領先問題: 求有多少個長度為\(2n\)的01字串,有\(n\)個\(0\)和\(n\)個\(1\),並且對於任意前綴,\(0\)的個數都比\(1\)多。

 

ex. 001011, 010011 為 \(n=3\)的合法字串

二項式定理與應用

組合數的規律

把各\(\binom{n}{m}\)的值寫成一個表格...

n\m 0 1 2 3 4
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1

有什麼樣的規律?

組合恆等式

\(\binom{n}{m} = \binom{n-1}{m} + \binom{n-1}{m-1}\)

組合(Combinatorial) 證明: 從\(n\)個相異物品選出\(m\)個,如果選\(1\)號物品,剩下有\(\binom{n-1}{m-1}\)種方法;

不選的話,剩下有\(\binom{n-1}{m}\)種。

上一頁的表格又稱為巴斯卡三角形

二項式定理

若\(n\)為非負整數,\((x + y)^n\)的展開式為

\(x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}y + ... + \binom{n}{1}xy^{n-1} + y^n \\ = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} x^iy^{n-i}\)

各係數可由巴斯卡三角形第\(n\)行求出

注意到,這代表巴斯卡三角形第\(n\)行的數字和,也就是 \(\sum_{i=0}^n \binom{n}{i} = 2^n\)

酷酷定理

Hockey Stick Identity: 

\(\sum_{i=0}^m \binom{n+i}{i} = \sum_{i=0}^m \binom{n+i}{n} =  \binom{n+m+1}{m}\)

Vandermonde's Identity (證明?)

\(\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}\binom{m}{k-i} = \binom{n+m}{k}\) 

小練習

有一個大小為\(n\)的集合\(A\),證明\(A\)每一個子集合的子集合總數為\(3^n\)。

給定\(x\),請輸出一個合法的巴斯卡路徑使其數字總和為\(x\)。

一個巴斯卡路徑由起點\((0, 0)\)開始,沿途經過相鄰格子(必須在三角形內),且同一格子最多經過一遍。格子\((i, j)\)上面的數字為\(\binom{i}{j}\)

排容原理

回顧加法原理

假設有 \(k\)個集合 \(A_1, A_2, ..., A_k\),任兩個集合皆互斥,則

\[|\cup_{i=1}^k A_i | = \sum_{i=1}^k |A_i|\]

那麼兩個集合不互斥怎麼辦?

需要想辦法扣掉多餘的情況...

簡單一點的情況

只有三個集合

一般化?

排容原理

假設有 \(k\)個集合 \(A_1, A_2, ..., A_k\),則

\[|\cup_{i=1}^k A_i | = \sum_{i=1}^k (-1)^{i+1} \sum_{p_1 < p_2 < ... < p_i} |A_{p_1} \cap A_{p_2} \cap ... \cap A_{p_i}|\]

錯排問題

歐拉\(\phi\)函數

想不到吧

第二類斯特林數 \(S(n, m)\)

 

排容原理的精神

把多的東西扣掉

把多扣的東西加回來

把多加的東西扣掉

...

競程裡的數數

如何計算組合數

1. 巴斯卡三角形

2. 直接做 (模逆元)

善用 DP

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