Euler Tour & DFS

樹壓平

樹的DFS順序 - 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

前序遍歷：

1, 2, 9, 5, 8, 7, 6, 10, 3, 4

性質：進入一個節點後，走完該子樹的所有節點之後才會離開。

他的用處：用序列表示樹

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

紀錄每個點的左界和右界，代表該點的子樹的區間。

int ti = 0;
int lef[maxn], rig[maxn]; //[lef, rig)
void dfs(int n, int par) {
    lef[n] = ti++;
    for (int v:adj[n]) {
        if (v != par) {
            dfs(v, n);
        }
    }
    rig[n] = ti;
}

考慮這種問題

樹上每個點上有一個數值 $a_i$ ，

處理 $q$ 筆操作。

改變某個點的值
詢問以 $v$ 為子樹的數值和

變成線段樹！

在樹上歐拉遍歷 - 2

進去和離開點時都把點加到序列裡面，

也就是說序列長度為 $2n$

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

進入：1, 2, 9, 5, 8, 7, 6, 10, 3, 4,

離開： 9, 8, 5, 7, 2, 3, 10, 4, 6, 1

解決路徑相關的問題！

尋找根到任意節點的路徑

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

$\text{In}$ ：1, 2, 9, 5, 8, 7, 6, 10, 3, 4,

$\text{Out}$ ： 9, 8, 5, 7, 2, 3, 10, 4, 6, 1

考慮區間 $[in[1], in[v]]$

所有只出現一次 $in$ 的點都在 $(1, v)$ 的路徑上， $in$ 跟 $out$ 都出現的點應該被「抵銷」掉。

如果題目求的數值是可以用扣的(ex.路徑和)，那可以將 $(u, v)$ 拆成

$(1, u) + (1, v) - 2 * (1, lca(u, v))$

還有一種樹壓平-3

在歐拉遍歷時每次遇到一個點就把他紀錄下來。

額外紀錄一個深度陣列

1

2

4

5

6

8

7

3

$arr$ : 1, 2, 7, 7, 2, 5, 8, 8, 5, 2, 1, 6, 3, 3, 6, 4, 4, 6, 1

$dep$ : 0, 1, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 0

用這種方法找路徑

1

2

4

5

6

8

7

3

$arr$ : 1, 2, 7, 7, 2, 5, 8, 8, 5, 2, 1, 6, 3, 3, 6, 4, 4, 6, 1

紀錄每個點的首次出現( $in$ )和最後一次出現( $out$ )時間

對於兩個節點 $u, v \ (in[u] < in[v])$ ：

1. $v$ 在 $u$ 的子樹內 (ex. 1-8)

$[in[u], in[v]]$

2. $v$ 不在 $u$ 的子樹內 (ex. 5-4)

$[out[u], in[v]]$

用樹壓平做 $O(n \log n)/ O(1)$ LCA

一樣定義 $in[v], out[v]$ 分別為點 $v$ 第一個、最後一個出現在序列的位置

1

2

4

5

6

8

7

3

$arr$ : 1, 2, 7, 7, 2, 5, 8, 8, 5, 2, 1, 6, 3, 3, 6, 4, 4, 6, 1

$dep$ : 0, 1, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 0

Sparse Table!

對於兩個點 $u, v$ ， $lca(u, v)$ 會位於

$in[u], in[v]$ 中間，且 $in[u], in[v]$ 必定在 $[in[lca(u, v)], out[lca(u, v)]]$ 中間

也就是說 $lca(u, v)$ 是 $[in[u], in[v]]$ 中間深度最小的一個！

以下是練習題

大家自己判斷要怎麼樹壓平！

例題1： USACO Plat, Promotion Counting

給你一棵樹，每個點上有值 $v_i$ ，對於每個點 $u$ ，找出他子樹內有幾個點 $v$ 值比 $u$ 大。

$n \leq 10^5, v_i \leq 10^9$

例題2：USACO Gold: Cow Land

給你一棵樹，每個點上有值 $a_i$ ，有 $q$ 筆詢問，每次問兩個點 $u, v$ 的路徑間的 $xor$ 和。

$n, q \leq 10^5, a_i \leq 10^9$

例題3：TIOJ 1272: The Agency

給一棵有根樹，上面每個點是 1 或 0 （一開始全部是0），接下來有 $q$ 筆操作。

1. 改一個子樹裡面每個點的值 (0變1, 1 變 0)

2. 詢問一個點的值

$n, q \leq 10^5$

例題4：CSA - Trees Partition

給你兩棵有 $n$ 個節點的樹 $T_1, T_2$ ，

請找出有多少對邊 $e_1 \in T_1, e_2 \in T_2$ ，使得當我們分別把這兩條邊拔掉後，兩棵樹上所製造的兩個連通塊點集可以一一對應。

1

2

3

5

4

1

4

5

如左圖有三組解：

$n \leq 10^5$

註：想想看確定性（不用random/hash）的解

例題5：數樹問題

樹DP/樹分治

在樹上DP有什麼特別的？

通常需要考慮不定數量個轉移點（例如子節點數量）
有根樹 vs 無根樹
有時候他根本不是DP，而是分治或Greedy
有不同的應用/變形

樹DP常見的想法：

把根拔掉，拆成一棵棵的子樹

簡單的例題：樹上最大匹配

給定一棵樹，選出一個邊的集合 $S$ ，使得 $S$ 裡面任兩條邊都沒有共用點，並且 $|S|$ 盡量大。

$O(n)$

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

解一：DP

令 $dp[0][v]$ 代表以 $v$ 為根的子樹中，不把 $v$ 連到子節點的最大邊數。

$dp[1][v]$ 代表把 $v$ 連到其中一個子節點的最大邊數。

$dp[0][v] = \sum max(dp[0][u], dp[1][u])$

$dp[1][v]$ 要怎麼辦？

解一：DP

所有子節點 $u$ 中，至少要有一個使用 $dp[0][u]$ ，其他的可以用 $max(dp[0][u], dp[1][u])$

也就是說：

dp[1][v] = (\sum max(dp[0][u], dp[1][u])) \\ - min(max(dp[0][u], dp[1][u]) - dp[0][u]) + 1

dp[1][v] = (\sum max(dp[0][u], dp[1][u])) \\ - min(max(dp[0][u], dp[1][u]) - dp[0][u]) + 1

把 $u$ 跟 $v$ 配對所付出的「代價」

解二：其實Greedy就好了

從葉節點開始選，如果可以配對就配對，並把配對的兩個節點拔掉。

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

為什麼是對的？

選那一條邊的答案 $\geq$ 不選

（如果不選就等同於那個葉節點不存在）

其實樹DP大概就這樣

但他超難><

以下的題目會有某些 OI 題的雷

例題：BOI Village (Minimum)

給你一棵樹，每個節點上面有一個人，現在每個人都必須去一個不同的節點，而且每個節點最後只能有一個人，問所有人移動距離的最小總和（並輸出移動方法）。

$n \leq 10^5$

例題2: Appleman and Tree

給你一棵樹，每個節點是黑色或白色，問有多少種方法把樹分成任意多個連通塊，使得每個連通塊內洽有一個黑點。

（答案模 $10^9 + 7$ )

$n \leq 10^5$

例題3:CSES: Creating Offices

給你一棵 $n$ 個節點的樹和距離 $D$ ，請選出最多個點，使得任兩點的距離至少為 $D$ 。

全方位木DP

なに

在大部份的樹DP問題，我們都可以直接選根

但有時候我們必須考慮所有可能的根

要怎麼有效率的做這件事呢？

來看一個裸題

Tree With Maximum Cost

在一棵樹上，點有點權 $a_i$ ，請找出一個點 $v$ ，使得 $\sum_{1 \leq i \leq n} dist(i, v) \cdot a_i$ 最大

$n \leq 2 \times 10^5$

$O(n^2)$ 顯然可做，但是要怎麼優化？

優化暴力？

先隨便選一個點DFS，用一個變數紀錄答案，並對每個點存兩個值：

子樹大小
子樹內的 $a_i$ 總和

當我要從目前的根 $u$ 移動到相鄰的點 $v$ 為根時...

u

v

4

5

6

7

8

9

10

只會改到 $u, v$ 的資訊！

$O(1)$ 更新

並維護答案

我們做得到的事

在 $O(1)$ 內把根往一條邊移動

這樣就夠了

對樹做歐拉遍歷，每經過一條邊就改變根的位置，總共改變 $O(n)$ 次，而且每個點都會被看到。

這就是全方位木DP，又稱Rerooting Technique

例題1: TIOJ 魔法鏈

給你一棵樹，你每次可以選一個葉子（只有連到一個點）的節點，把他的編號紀錄在一個序列，並拔掉那個點。問可以形成的序列數。

註：本題的 $n \leq 2000$ ，但其實可以做到 $n \leq 2 \times 10^5$

2

5

7

8

9

合法序列有：

9, 8, 5, 7, 2

7, 8, 5, 2, 9

...

不合法序列有：

9, 5, 8, 7, 2

例題2: Distinctive Roots in a Tree

給你一棵樹，點有點權 $a_i$ ，一個「好的」根節點 $v$ 會符合，對於任意一條從 $v$ 到點 $u$ 的路徑，路徑上都不會有權值相同的點。問有幾個好的根節點。

$n \leq 2 \times 10^5$

Binary Jumping

倍增法

還記得倍增法的LCA怎麼做嗎？

對每個點維護他的 $1, 2, 4, ..., 2^k$ 倍祖先，即可以在 $O(\log n)$ 時間內找到一個點的 $x$ 倍祖先。

其實，這個技巧不一定要在樹上也可以做。

一個常見的變形是：一個點指向另一個（可能有環）

這題：Lynyrd Skynyrd

你有一個 1~n 的排列 $p$ 和一個長度為 $m$ 的序列 $a$ ，

保證 $1 \leq a_i \leq n$ 。

接著有 $q$ 筆詢問，每次問區間 $[l, r]$ ，回答 $a$ 裡面是否存在一個在 $[l, r]$ 內的子序列，是排列 $p$ 的某個循環移位 (Cyclic shift)

$n, m, q \leq 2 \times 10^5$

假設我固定子序列的第一項，如果他是答案的話，考慮最後一項....

提示->

倍增法還可以做什麼

把一條路徑分成 $\log n$ 條不重疊的路徑！

當我們在處理可合併的東西的時候(ex. min, max, sum, gcd, ...)，在做倍增表的時候就可以一邊紀錄這個東西，並用相同的方法在 $O(\log n * 合併時間)$ 找答案。

相信大家都有看過這一類題目了：

https://ojdl.ck.tp.edu.tw/problem/7110

初選pD (Work in progress)

LCA 的一個（有點廢話的）性質

每一對點會有恰好一個LCA，因此可以用枚舉LCA的方式枚舉路徑
其實我原本要寫更多性質的但我想不到了

例題：MST For each Edge

給你一張圖，邊有邊權，對於每一條邊，找到包含那條邊的最小生成樹權值。

$n, m \leq 2 \times 10^5$ ，圖連通

例題：Root LCA Queries

給你一棵樹，有 $q$ 筆詢問，每次問三個點 $a, b, c$ ，回答有多少點 $d$ ，使得如果你把 $d$ 當根節點， $lca(a, b) = c$ 。

$n, q \leq 10^5$ ，

補充：強強的LCA

使用 $O(n)$ 記憶體和預處理時間，一樣 $O(\log n)$ 跳 $k$ 倍祖先

然後其實倍增表能做到的所有事情他都可以做到（因為路徑一樣可以被拆解）。

Small to large Merging

啟發式合併

啟發式合併？

簡單來說，就是當我們要合併兩個大小為 $a, b \ (a \geq b)$ 的資料結構（可以是序列，set，map...）時，把小的合併到大的。

他跟樹上問題的關係？

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

假設我對一個子樹必須維護 $O(子樹大小)$ 的東西

那在合併子樹答案的時候就可以用這個方法。

他的複雜度是...?

什麼？多一個 log 而已

有 $n$ 個點，每次合併大小為 $a, b$ 的連通塊時需要 $O(min(a, b))$ 的時間。

考慮一個點所在的連通塊大小，每次他「被合併到其他連通塊」時，這個大小會增加為原本的至少 $2$ 倍，也就是說一個點只會被算到 $O(\log n)$ 次。

有 $n$ 個點，所以總共合併 $O(n \log n)$ 次

例題：Lomsat Gelral

給你一棵有根樹，每個點上有顏色 $c_i$ ，一個子樹內的顏色為「重要」的，代表沒有其他顏色在那個子樹內出現比該顏色更多次（也就是說可能有多個重要的顏色）。

對於每個點，找到該子樹所有重要顏色的編號( $c_i$ )總和。

$n \leq 10^5$

例題：忍者調度問題

給你一棵有根樹以及預算上限 $M$ ，每個點上是一個忍者，有出動費用 $c_i$ 和領導值 $l_i$ ，如果你選了 $v$ 為領導人，則他的滿意度為

$l_v \times 預算內能在v子樹內出動的忍者數量$

請找出最大的滿意度。

$n \leq 10^5, M, c_i, l_i \leq 10^9$

例題：POI: Tree Rotations

給你一棵 $n$ 個葉節點的二元樹，每個葉子上有一個值 $a_i$ ，且所有 $a_i$ 形成一個排列。

你可以選擇任意個非葉節點並把他們的左右小孩交換。在交換之後，我們用前序遍歷這棵二元樹並上葉節點上的值紀錄成一個序列，

求這個序列最少的逆序數對數。

$n \leq 2 \times 10^5$

Heavy Light Decomposition

樹鏈剖分

Binary Jumping 的問題

一個點會被 $O(n)$ 個區間覆蓋到，所以如果點上要修改，會有 $O(n)$ 個值改變。

我們需要把樹上路徑切成 $O(\log n)$ 條不相交的路徑，而且每個點都只被一個紀錄的路徑覆蓋到。

所以就有樹鏈剖分了

每個點都屬於一條樹鏈

考慮點 $v$ 所在的樹鏈 $d(v)$ 和他所有的小孩 $u$ 。

子樹大小最大的一個小孩會有 $d(u) = d(v)$ 。

其他的小孩屬於一條新的樹鏈。

這樣的複雜度

定義 $up(v)$ 為點 $v$ 所在樹鏈的「頂端」的節點。

那考慮一個點 $v$ 走到根的路徑中，依序經過的樹鏈頂端的子樹大小。

跳到另一個樹鏈時，樹鏈頂端的子樹大小至少會加倍。

至多只會經過 $O(\log n)$ 條樹鏈

那樹鏈剖分之後呢？

任意一條路徑可以被拆成 $O(\log n)$ 條樹鏈組成的路徑

把一條樹鏈當成序列的一個區間，一條路徑會變成 $O(\log n)$ 個區間，可以用線段樹維護。

那我們就會做這種問題

給你一棵樹，點有點權 $a_i$ ，處理 $q$ 筆操作。

把點 $v$ 的值改成 $x$
詢問 $u$ 到 $v$ 路徑的最大 $a_i$ 值

$n, q \leq 10 ^5$

More (hard) Problems

以下有很多 OI 題

很多我曾經會的題

跟很多我不會的題

BOI 2016: Swap

卡常

IOI 2007: Training

(TIOJ 1346)

CEOI 2020: Star Trek

Victor Takes Over Canada

在一個 $n$ 個點的有根樹上，每個點有顏色 $1 \leq c_i \leq K$ ，接著有 $q$ 筆操作：

1. 把一個點的顏色改為 $x$

2. 詢問以 $v$ 為根的子樹有多少種不同的顏色

$n \leq 5 \times 10^5, q \leq 3 \times 10^5, SLOW JUDGE$

這題有兩種解法w

進階樹論

Euler Tour & DFS

樹壓平

樹的DFS順序 - 1

他的用處：用序列表示樹

考慮這種問題

在樹上歐拉遍歷 - 2

尋找根到任意節點的路徑

還有一種樹壓平-3

用這種方法找路徑

用樹壓平做O(nlog⁡n)/O(1)O(n \log n)/ O(1)O(nlogn)/O(1) LCA

以下是練習題

大家自己判斷要怎麼樹壓平！

例題1： USACO Plat, Promotion Counting

例題2：USACO Gold: Cow Land

例題3：TIOJ 1272: The Agency

例題4：CSA - Trees Partition

例題5：數樹問題

樹DP/樹分治

在樹上DP有什麼特別的？

樹DP常見的想法：

把根拔掉，拆成一棵棵的子樹

簡單的例題：樹上最大匹配

給定一棵樹，選出一個邊的集合SSS，使得SSS裡面任兩條邊都沒有共用點，並且∣S∣|S|∣S∣盡量大。

解一：DP

解一：DP

解二：其實Greedy就好了

其實樹DP大概就這樣

例題：BOI Village (Minimum)

例題2: Appleman and Tree

例題3:CSES: Creating Offices

全方位木DP

なに

來看一個裸題

優化暴力？

我們做得到的事

例題1: TIOJ 魔法鏈

例題2: Distinctive Roots in a Tree

Binary Jumping

倍增法

還記得倍增法的LCA怎麼做嗎？

這題：Lynyrd Skynyrd

倍增法還可以做什麼

把一條路徑分成log⁡n\log nlogn條不重疊的路徑！

LCA 的一個（有點廢話的）性質

每一對點會有恰好一個LCA，因此可以用枚舉LCA的方式枚舉路徑

例題：MST For each Edge

給你一張圖，邊有邊權，對於每一條邊，找到包含那條邊的最小生成樹權值。

例題：Root LCA Queries

補充：強強的LCA

Small to large Merging

啟發式合併

啟發式合併？

簡單來說，就是當我們要合併兩個大小為a,b (a≥b)a, b \ (a \geq b)a,b (a≥b)的資料結構（可以是序列，set，map...）時，把小的合併到大的。

他跟樹上問題的關係？

什麼？多一個 log 而已

例題：Lomsat Gelral

例題：忍者調度問題

例題：POI: Tree Rotations

Heavy Light Decomposition

樹鏈剖分

Binary Jumping 的問題

所以就有樹鏈剖分了

這樣的複雜度

那樹鏈剖分之後呢？

那我們就會做這種問題

More (hard) Problems

卡常

用樹壓平做 $O(n \log n)/ O(1)$ LCA

給定一棵樹，選出一個邊的集合 $S$ ，使得 $S$ 裡面任兩條邊都沒有共用點，並且 $|S|$ 盡量大。

把一條路徑分成 $\log n$ 條不重疊的路徑！

簡單來說，就是當我們要合併兩個大小為 $a, b \ (a \geq b)$ 的資料結構（可以是序列，set，map...）時，把小的合併到大的。