字串演算法
by 建國中學 賴昭勳
今天的內容
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字串匹配
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Hashing
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Z-Algorithm
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KMP
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Trie
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Manacher
字串是什麼
一堆字元
反正字元要是什麼就可以是什麼
字母
數字
軟軟
上古漢語
所以字串是什麼
一堆字元用一維的順序合在一起
aka. 整數序列
跟字串有關的問題
字串匹配：問一些字元是否一樣的問題（數值不重要）
字典序問題：字元有定義大小順序
字串匹配 #0:
語法複習
C++ 裡面的 string
-
據說不用#include string 就能用
-
類似字元的vector，所有功能和vector 類似
string s;
cin >> s;
cin.ignore()
getline(cin, s);
s += 'a';
cout << s.size() << endl;
cout << s[0] << endl;
cout << s.substr(0, 5) << endl;
reverse(s.begin(), s.end());要怎麼知道兩個字串是否相同？
阿不就一個一個比
int main() {
string a, b;
cin >> a >> b;
int same = 1;
for (int i = 0;i < min(b.size(), a.size());i++) {
if (a[i] != b[i]) {
same = 0;
break;
}
}
if (same) {
cout << "JIZZ" << endl;
} else {
cout << 7122 << endl;
}
}但是同一個字串跟很多東西比怎麼辦？
或是在一個字串中找某一個子字串？
字串匹配 #1:
Hash (雜湊)
哈希 （Hash）
（可用的）有點唬爛的方法
Hash: 資料壓縮
INFOR33rd->712233
IOIGold->tmw
原則上:
不可逆
多對一關係
H(x) = y
可以用的hash方法
多項式表示法：
\((s_0*p^{n - 1} + s_1*p^{n - 2} + ... + s_{n - 2}*p^1 + s_{n - 1}*p^0) \% m\)
簡單來說就是把字串\(s\)
當成一個\(\ p\ \)進位的數字，再取模數
m, p 要怎麼選
通常 \(p\) 需要是一個比字元數還多的質數
如小寫字母者可選\(p = 29\)，
ASCII 可使用\(p = 257\)
\(m\)是一個很大的質數
常見的有：\(10^9 + 7, 998244353\)
還有\(10^{15} + 37, 712271227, 1000696969\)
這樣怎麼比對字串？
如果字串\(s == t\)，可以先分別把他們兩個Hash，再看兩者的 Hash 值是否相同就好了！
| Hash 一樣 | Hash 不同 | |
|---|---|---|
| 相同 | ||
| 不同 | ? | ? |
機率盡量小！
各種切字串->前綴
一邊做一邊存
\(O(n)\) 的時間建出所有前綴的Hash 值
各種切字串->子字串
假設要找 \([l, r]\)的 Hash 值，要怎麼從前綴Hash \(h[]\)得到？
區間和-> 前綴相減？
各種切字串->迴文？
迴文：正著念反著念都一樣
就正反Hash 一次！
切好子字串，對應到相同的index
差常數倍
石唑
https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1306
之後會一直寫這題的喔！
參考程式碼
#include <iostream>
#include <vector>
#define ll long long
using namespace std;
const ll P = 401, M = 998244353;
ll hashes[10005], modp[10005];
ll hashp(string s, bool saveval) {
ll val = 0;
int index = 0;
for (char c:s) {
val = ((val * P) % M + c) % M;
if (saveval) hashes[index] = val;
//cout << val << endl;
++index;
}
return val;
}
void modpow(int base, int exp) {
ll b = 1;
modp[0] = 1;
for (int i = 0; i < exp; i++) {
b = (b * base) % M;
modp[i + 1] = b;
}
}
ll subseq (int l, int r) { //[l, r]
if (l == 0) return hashes[r];
return(((hashes[r] - hashes[l - 1] * modp[r - l + 1]) % M + M) % M);
}
int main() {
ios_base::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
int n;
cin >> n;
modpow(P, 10001);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
string T;
int q;
cin >> T;
ll useless = hashp(T, true);
cin >> q;
for (int j = 0; j < q; ++j) {
string p;
cin >> p;
ll h = hashp(p, false);
int cnt = 0;
for (int k = 0; k < T.size() - p.size() + 1;++k) {
//cout << h << " " << subseq(k, k + p.size() - 1) << endl;
if (subseq(k, k+p.size() - 1) == h) ++cnt;
}
cout << cnt << "\n";
}
}
return 0;
}給一個字串\(S\)，問有多少個環狀位移是迴文。\(|S| \leq 10^5\)
給\(n\)個字串，問有多少對\((i, j)\)使得\(S_i, S_j\)合併起來是迴文。
\(n, \sum |S| \leq 10^5\)
補: 關於雜湊函數
- 雜湊值完全取決於輸入
- 雜湊函數用到所有輸入的資料
- 雜湊函數「平均地」將輸入資料分攤在所有可能數值
- 相近的輸入值通常會出現差很多的雜湊值
好的雜湊函數會有這些條件:
在此前提下，可以把它想成一種隨機分布
雜湊函數並不萬能
隨機挑選\(O(\sqrt C)\)個輸入就有高機率出現碰撞，其中\(C\)是輸出範圍。
如果想要用 Hash 找 \(n\)個字串是否有一組相同的字串，那就要注意此問題。
但是
「沒有什麼問題是Hash一次不能解決的。如果有，就Hash兩次。」
字串匹配 #2:
Z-Algorithm
Z-Algorithm
zzz...
-
確定性的\(O(n + m)\)字串匹配
-
Code 少好做（？
要來建奇怪的陣列了
\(z[i]\)代表從\(s_i\)開始的後綴與\(s\)的最長共同前綴長度
| A | A | B | B | A | A | B |
|---|---|---|---|---|---|---|
| X | 1 | 0 | 0 | 3 | 1 | 0 |
\(i\)
暴力法
直接做？\(O(n^2)\)
while (i + cnt < ps && p[cnt] == p[i + cnt]) {
cnt++;
}觀察一下...
從左到右，紀錄最大出現過的右界\(r\)
這同時代表著我們目前考慮到的最右邊
假設現在考慮 \(z[i]\)
如果\(i > r\)，就直接暴力做
否則...
a d a d c a d a c b
\(z[i]\) 至少有 \(min(z[i - l], r - i + 1)\)那麼大！
假設現在考慮 \(z[i]\)
如果\(i > r\)，就直接暴力做
否則令\(z[i] = min(r - i + 1, z[i - l])\)，繼續暴力做
a d a d c a d a c b
實作細節
int n = s.size();
int l = 0, r = 0;
z[0] = 0;
for (int i = 1;i < n;i++) {
if (i <= r) {
z[i] = min(z[i - l], r - i + 1);
}
while (i + z[i] < n && s[z[i]] == s[i+z[i]]) z[i]++;
if (i + z[i]-1 > r) {
l = i, r = i+z[i]-1;
}
}這樣複雜度是好的喔？
4
Z-Algorithm 的複雜度分析
觀察在計算的時候，\(r\)遞增
每次計算\(z[i]\)時，有以下情況
1. \(i > r\)，則 \(r\)增加，均攤\(O(n)\)
2. \(i \leq r, i + z[i - l] < r\)，則不會再往後
搜尋，\(O(1)\)
3. \(i \leq r, i + z[i - l] >= r\)，則\(r\)增加，均攤\(O(n)\)
整體複雜度：\(O(n)\)
那要怎麼做字串匹配
把要配對的單字（word) 和文句（paragraph）串在一起做 Z 陣列！
| a | b | # | a | c | a | a | b | d |
|---|
\(z[i]\)為單字的長度
Atcoder: Iroha Loves Strings
題解 by baluteshih
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#define ll long long
#define maxn 20005
using namespace std;
int z[maxn];
int main() {
ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
int t;
cin >> t;
while (t--) {
string s;
cin >> s;
int q;
cin >> q;
while (q--) {
string p;
cin >> p;
int ans = 0;
int l = 0, r = 0, ps = p.size(), ss = s.size();
z[0] = 0;
int cnt;
for (int i = 1;i < ps;i++) {
if (i > r) cnt = 0;
else cnt = min(r - i + 1, z[i - l]);
while (i + cnt < ps && p[cnt] == p[i + cnt]) cnt++;
z[i] = cnt;
cnt--;
if (i + cnt > r) l = i, r = i + cnt;
}
z[ps] = 0;
for (int i = 0;i < ss - ps + 1;i++) {
if (i + ps + 1 > r) cnt = 0;
else cnt = min(r - int(ps + i), z[ps + i + 1 - l]);
while (i + cnt < ss && cnt < ps && p[cnt] == s[i + cnt]) cnt++;
z[ps + i + 1] = cnt;
if (cnt == ps) ans++;
cnt--;
if (i + cnt > r) l = ps + 1 + i, r = ps + 1 + i + cnt;
}
cout << ans << "\n";
}
}
return 0;
}
然後這題丟上去會TLE
字串匹配 #3:
KMP
KMPlayer(x
很難看懂的東西
Failure Function
次長共同前後綴
ababccab
babbabba
Failure Function Table FFT(x)
定義 \(p[i]\)為字串第\(i\) 個前綴（s0...i - 1)的次長共同前後綴
ex. j i z j i
j
j i
j i z
j i z j
j i z j i
對應到的數值為
0
0
0
1 -> j
2 -> ji
怎麼找？
爆搜：\(O(n^3)\)
每個前綴都要比較\(n\)次字串，每次\(O(n)\)
484 有點太爛了？
觀察性質 #1
\(p[i + 1] \leq p[i] + 1\)
babbabbab?
^這個不可能再往左邊
觀察性質 #2
判斷的時候只要看一個字元
babbabbab?
如果相同，\(p[i + 1] = p[i] + 1\)
那麼不相同呢？
觀察性質 #2-2
找到最大的 \(j\)，使得\(p[i + 1] = j\)
(符合共同前後綴條件）
babbabbab?
\(j = p[p[i] - 1]\) 是可能會對的數值中最大的！
從綠色再檢查一次
演算法總結
-
存一個陣列\(p[i]\)，代表字串\(\ s\)第\(\ i\)個前綴的次長共同前後綴
-
邊界條件：\(p[0] = 0\)
-
若已經做完\(\ p[0]...p[i]\)，令\(j = p[i]\)
-
若\(\ s[i + 1] = s[j]\)，則\(\ p[i + 1] = j + 1\)
-
否則，更新\(\ j = p[j]\)，重複以上迴圈直到上述條件成立
-
若最後\(\ j = 0\)，則\(\ p[i + 1] = 0\)
複雜度證明
由性質#1得知，\(p[i]\) 的值不會超過\(n\)，且每次最多加一，因此\(p[i]\)的變動量不會超過\(2*n = O(n)\) （也就是加了多少才能扣多少），且每次改變時皆為\(O(1)\)字元比較，故得證
那要怎麼找相同子字串呢？
簡單做法：跟Z-Algorithm 一樣，把要匹配的兩個字串串起來做一次Failure Function
如：要在 TTFTFFT 裡面找 FFT 的話
就對 FFT#TTFTFFT 做Failure Function
如果在後面 \(p[i] = len(s)\)那就是有找到
但是這樣484太慢了？
真正的KMP
每次遇到不能匹配時，快速回到下一個可以的位置。
要在 S 中尋找W 的出現
紀錄兩個變數：\(m\) -> W目前第一個字元的位置，\(i\) ->比到W的第幾個字元
此處 \(m = 4, i = 6\)
性質 #1
黑線畫的AB是下一個可能匹配到的開頭。
即m須更新為：大於m的數字中，最小可能匹配到的開頭。
可能匹配到的開頭 -> 剩下的是 W的前綴
性質 #2
當我更新完 W的值之後，AB不用再重複跑一遍。因為已和 S 配對且是 W 的前綴。
因此，只要從原本的位置繼續找就好了。
演算法簡介
1. 對單字\(W\)做Failure Function
2. 紀錄\(W\)在\(S\)中起始的位置為\(m\)，
當前比較到\(W[i]\)和\(S[i + m]\)。
3. 增加\(i\)直到\(W[i] \neq S[i + m]\)，如
果\(i \geq W.size()\)那就配對到了
4. 令\(m' = m + i - p[i - 1], i = p[i - 1] \)
，重複步驟 3直到 \(m > S.size() -W.size()\)
複雜度證明
1. 注意到由於\(i - p[i - 1] \geq 0\)，\(m\)必然遞增
2. \(m + i = (m + i - p[i - 1]) + (p[i - 1]) \)在更新時呈非嚴格遞增
因此均攤複雜度\(O(n)\)
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#define ll long long
#define maxn 20005
using namespace std;
int kmp[maxn];
int main() {
ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
int t;
cin >> t;
while (t--) {
string s;
cin >> s;
int q;
cin >> q;
while (q--) {
string p;
cin >> p;
int ps = p.size(), ss = s.size(), ans = 0;
kmp[0] = 0;
for (int i = 1;i < ps;i++) {
kmp[i] = kmp[i - 1];
while (p[i] != p[kmp[i]]) {
if (kmp[i] == 0) {
kmp[i] = -1;
break;
}
kmp[i] = kmp[kmp[i] - 1];
}
kmp[i]++;
}
int ind = 0;
for (int m = 0;m < ss - ps + 1;) {
while (ind < ps && p[ind] == s[m + ind]) ind++;
ind--;
if (ind == ps - 1) ans++;
if (ind == -1) {
m++;
ind = 0;
} else {
m = m + ind - kmp[ind] + 1;
ind = kmp[ind];
}
}
cout << ans << "\n";
}
}
return 0;
}KMP 的應用
找到字串中有多少的獨特的子字串，複雜度\(O(n^2)\)
每次增加一個字元更新答案
從反的做回來，KMP開下去。
新的子字串->前綴！
a b a c c a b a
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|
有 \(max(p[i])\)個字串絕對有重複過！
答案增加 \(len - max(p[i])\)
自動機觀點
資訊科學的自動機(Automaton)是一個有向圖。有一個節點為起點，每一條有向邊上有某個輸入(字元)。
TIOJ 1531
TIOJ 1091
字串與圖論:
TRIE~
aka 字典樹
存取字串之間的相似關係！
把字串問題用圖論觀點解釋！
每個節點是一個狀態，每條邊有一個字元，由父節點到葉節點是字串。重複的字元會合併。
例: 給定\(n\)個字串\(S_1, ..., S_n\)，每次詢問一個字串\(T\)，輸出有幾個字串有\(T\)是他的前綴。
\(n \leq 10^5, |S| \leq 10^6, \sum |T| \leq 10^6\)
CHE
CHEESE
CHEIS
CCC
OR
c
c
c
o
r
h
e
e
e
i
s
s
DFS!
Manacher's Algorithm
看看怪問題
輸入一個字串，輸出最長的回文子字串長度。
\(|S| \leq 10^6\)
暴力做: 對每個回文的中心找最長回文。\(|S|^2\)
奇數/偶數回文長度?
在每兩個原本字串的字元間放一個特殊字元"*"
abbacbc-> *a*b*b*a*c*b*c*
偶數回文的中心會在特殊字元。
因此只要考慮以每個字元為中心就好!
怪陣列
令\(f[i]\)代表以第\(i\)個字元為中心時延伸最長的回文長度 (也就是說\([i - f[i], i + f[i]]\)是回文)
另外維護\(r, mid\)代表目前看到的\(i + f[i]\)最大值以及對應的\(i\)。
假設當前的\(i > r\)，就暴力匹配。
否則...?
從左做到右考慮回文中心...
跟Z Algorithm 一樣，考慮某個非嚴格遞增的量!
Z: 目前匹配到最右邊的字串與左界
Manacher: 目前找到最右邊的回文與中心
*b*a*b*b*a*a*
\(f[i]\)至少是\(min(r - i, f[mid - (i - mid)])\)
然後再暴力匹配!
//Challenge: Accepted
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <utility>
#define maxn 2000005
#define ll long long
using namespace std;
int p[maxn];
string s;
int main() {
ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
int n;
cin >> n;
string in;
cin >> in;
s += '.';
for (int i = 0;i < n;i++) {
s += in[i];
s += '.';
}
//cout << s << endl;
n = 2 * n + 1;
int l = -1, r = -1, ans = 0;
for (int i = 0;i < n;i++) {
int len = min(i, n - 1 - i);
if (i <= r) {
p[i] = min(p[2 * l - i], r - i);
}
for (int j = p[i] + 1;j <= len;j++) {
if (s[i + j] != s[i - j]) break;
p[i]++;
}
ans = max(ans, p[i]);
if (i + p[i] > r) {
r = i + p[i];
l = i;
}
//cout << p[i] << " " << l << " " << r << endl;
}
cout << ans << "\n";
}