進階DP，DP優化

Topics Covered:

單調隊列優化
斜率優化
Slope Trick
Permutation Trick*
Aliens Trick

*Permutation Trick 是我自己命名的w

熱身一下吧

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1100

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1933

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1941

單調隊列優化

aka Sliding Window

當你要對每個東西找到前$k$個東西的最小值的時候...

用deque 維護

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1566

斜率優化

當你的DP式長這樣的時候...

$dp[i] = max_{j < i}(m_j * x_i + k_j)$

有沒有看起來很像一條直線？

$dp[i] = max_{j < i}(m_j * x_i + k_j)$

如果我們能保證 $m_j, x_i$遞增，那有什麼好的方法維護？

圖源：學長講義

"一路領先" 性質

實際上，我們需要支援兩種操作:

加入一條直線(或任何有優超性的函數)
詢問某個位置在所有函數下的最大值

優超性: 兩個函數$f, g$只在一個點相交

存在一個點$p$，使得

\forall x > p, f(x) \geq g(x) \\ \forall x \leq p, f(x) \leq g(x)

每條線段都只有一個最好的區間

跟單調隊列類似的想法

把線段存進去！

新增一條線段時，看看他能不能把後面的線段「完全取代掉」

跟單調隊列類似的想法

把線段存進去！

看某個點的最佳線段時，從前面把已經不會更好的線段淘汰掉

直接來Commando 吧

給你一個正整數序列與一個開口向下的二次函數$f$，你要把序列分成一些連續區間$l_1-r_1, ..., l_k-r_k$，使得

最大

\sum_{i = 1}^{k} f(\sum_{j = l}^{r} a[j])

數學推一波

令 $dp[i]$為做完前$i$個的答案

原本的$O(n^2)$解： $$dp[i] = max_{j < i} (dp[j] + f(\sum_{k = j + 1}^{i} a[k]))$$

變成前綴和展開

dp[i] = max_{j < i} (dp[j] + f(p_i - p_j))

dp[i] = max_{j < i} (dp[j] + a * p_i^2 - 2 * a * p_i * p_j + \\ a * p_j + b * p_i - b * p_j + c)

dp[i] = a * p_i^2 + b * p_i + max_{j < i} (- 2 * a * p_i * p_j + \\ a * p_j - b * p_j + c + dp[j])

變成前綴和展開

dp[i] = a * p_i^2 + b * p_i + max_{j < i} (- 2 * a * p_i * p_j + \\ a * p_j - b * p_j + c + dp[j])

把左邊看成斜率為$- 2 * a * p_j$的直線，$p_i$做為詢問的$x$值，去找該$x$值最大$y$值的直線

題目保證$p_j, p_i$遞增，所以斜率跟$x$值都是遞增的

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <deque>
#include <utility>
#define ll long long
#define pii pair<ll, ll>
#define ff first
#define ss second
using namespace std;
ll ax, bx, cx;
inline ll f(ll x) {
	return ax * x * x + bx * x + cx;
}
inline ll val(pii a, ll x) {
	return a.first * x + a.second;
}
inline bool comp(pii a, pii b, ll x) {
	return val(a, x) <= val(b, x);
}
int main() {
	int t;
	cin >> t;
	while (t--) {
		ll n;
		cin >>n;
		cin >> ax >> bx >> cx;
		ll arr[n], pref[n];
		for (int i = 0;i < n;i++) {
			cin >> arr[i];
			pref[i] = arr[i] + (i ? pref[i - 1] : 0);
		}
		ll dp[n];
		deque<pii > deq;
		deq.push_back(make_pair(0, cx));
		for (int i = 0;i < n;i++) {
			while (deq.size() >= 2) {
				pii cur = deq.front();
				deq.pop_front();
				pii rep = deq.front();
				//cout << val(cur, pref[i]) << "  " << val(rep, pref[i]) << endl;
				if (!comp(cur, rep, pref[i])) {
					deq.push_front(cur);
					break;
				}
			}
			/*
			if (deq.size()) {
				cout << deq.front().first << " " << deq.front().second <<endl;
			}
			*/
			dp[i] = ax * pref[i] * pref[i] + bx * pref[i] + (deq.size() ? val(deq.front(), pref[i]) : 0);
			//newline with -2a*pref[i], ax * pref[i] * pref[i] - b * pref[i] + pref[i] + dp[i])
			pii add = make_pair(-2 * ax * pref[i], ax * pref[i] * pref[i] - bx * pref[i] + cx + dp[i]);
			//cout << add.first << " " << add.ss << endl;
			while (deq.size() >= 2) {
				pii cur = deq.back();
				deq.pop_back();
				pii comp = deq.back();
				if ((add.ss - comp.ss) * (comp.ff - cur.ff) <= (cur.ss - comp.ss) * (comp.ff - add.ff)) {
					continue;
				} else {
					deq.push_back(cur);
					break;
				}
			}
			deq.push_back(add);
		}
		cout << dp[n - 1] << endl;
	}
}

類題：

https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1676

斜率不單調的話...

李超線段樹

對值域開一顆線段樹，每個節點內維護在該區間的中點數值最大的一條直線。

令這個位置為$m[cur]$

插入線段

藍色比較好，

紅色在左邊才有用

斜率: 紅 < 藍

紅色比較好，

藍色在右邊才有用

當前節點留下

比較好的線段，

比較差的下推!

比較兩線段在$m[cur]$的數值

單點查詢

從根節點開始，遇到線段就更新答案，

並往查詢位置的方向遞迴。

想法:

對於某節點的線段，他右邊的線段在$m[cur]$都會比較差，但在某個$>m[cur]$的地方會超過。

補充: 線段有轉移範圍?

只在轉移範圍的區間放線段，複雜度變$O(\log^2 n)$

或是你也可以寫

動態凸包

類題: 吐鈔機2

類題2：花枝遊戲

四邊形優化 / 分治優化

ORZCK

例題:CF 1603 D

例題: 2020 全國賽 pI - 黑白機

Slope Trick

看個例題: CF 713 C

給一個整數序列，每次操作可以選一個數字+1或-1，問最少需要幾次操作使序列嚴格遞增?

$n \leq 3000, a_i \leq 10^9$

$O(n^2)$? How about $n \leq 10^5$

糟糕作法

首先，讓$a_i := a_i - i$，問題變成要多少次操作讓$a$變非嚴格遞增。

令$f(i, j)$代表讓前$i$項非嚴格遞增，最後一項$\leq j$的最小代價。那麼

$f(i, j) = min(f(i-1, j) + |a_i - j|, f(i, j-1))$

複雜度$O(nC)$欸，好爛

考慮滾動?

考慮以$j$為$x$軸，$f(i, j)$為縱軸的函數圖形。

從$i-1$變成$i$的時候，可以看成是把每個位置$j$加上$|a_i - j|$，然後取前綴min!

ZCK: 你有聽過滾動DP嗎

a_1

a_2

a_1

a_2

a_3

a_2

a_3

用priority_queue 維護斜率改變的點!

假設最右邊斜率一定是零，則點$x$的斜率會是pq裡面比$x$大的數字個數

實作:

//default code
int a[maxn];
int main() {
	io
	int n;
	cin >> n;
	priority_queue<int, vector<int>, less<int> > pq;
	ll ans = 0;
	for (int i = 0;i < n;i++) cin >> a[i], a[i] -= i;
	for (int i = 0;i < n;i++) {
		pq.push(a[i]);
		if (pq.top() > a[i]) {
			pq.push(a[i]);
			ans += pq.top() - a[i];
			pq.pop();
		}
		//debug(pq.top());
	}
	cout << ans << endl;
}

ARC 123 pD

CF 1601 C

其他: USACO Guide

Permutation Trick

酷酷題: JOIOC Skycraper

有$n$棟大樓，第$i$棟高度為$a_i$。給定$L$，問有多少種方法將大樓排成一排，使得相鄰大樓的高度差總和$\sum_{1 \leq i < n} |a_i - a_{i+1}| \leq L$

$n \leq 100, a_i, L \leq 1000$

位元DP?

考慮每棟大樓對答案的貢獻

如果旁邊兩棟大樓都比他矮的話，貢獻$2a_i$

如果旁邊兩棟大樓都比他高的話，貢獻$-2a_i$

如果他在最左邊/右邊要特判

以此類推...

要怎麼枚舉排列?

由高到低放入!

先依$a_i$由大到小排序，假設算完前$i-1$項，新增$a_i$時旁邊的東西時需要知道哪些東西?

9 \ \ \ 5 \ \ \ 8

這裡之後會不會再放東西?

多一個維度

令$dp[i][j][k][l]$代表放入前$i$個東西，

下一項有$j$個中間的空格，$k$個兩邊的空格，

總代價為$l$的排列數。

轉移時，有放中間跟放旁邊兩種狀況:

放中間時，有少一個空格，沒改空格數，多一個空格三種...

放旁邊時以此類推...

最後答案是$\sum_{l \leq L}dp[n][0][0][l]$

這題的實作細節

實際上，因為我們$l$的狀態只能開到$L \leq 1000$，所以必須讓$dp$過程中的總代價遞增。

因此在做$dp[i]$時，我們可以把每個空格的高度看成$a_i$，這樣變成$i+1$時就能讓每個空格都多$a_i - a_{i+1}$的代價。

這顯然會遞增，我們就能在$O(n^2L)$做完這題。

實作

例: CSA Permutation Towers

Aliens優化

AKA 講師也不會的東西

UPD: 高三還是不太會

換個例題好了

我不想講AI-666了qwq

YTP 2021 程式挑戰賽 p6:

給一個整數陣列，選$k$個互不相鄰的數字使得總和最大。$1 \leq k \leq n \leq 2 \times 10^5$

簡單的二維DP: $dp[i][j]$代表前$i$個東西選$j$個的最大和。

觀察函數圖形

感覺起來拿越多東西，每個東西的作用會越來越少?

令$f(k)$為選$k$個東西的最大和，那麼

$f(k+1) - f(k)$遞減。

觀察函數圖形

先不考慮選$k$個的限制時，看一維的DP做法，可以得到選任意多個的最大值，也就是$max(f(i))$

假設現在選一個東西要多$C$的代價(可能是正或負)，那麼一維DP仍然可做，得到的是$max(f(i) + Ci)$

並且因為差分單調(斜率遞減)，我們可以二分搜$C$使得最大值發生在$i=k$

觀察函數圖形

Credit: Wiwiho

凸性的證明

可反悔Greedy!

$k=1$時，一定是選最大值。

假設後來不選他，一定要選到他旁邊兩個!

把這個「反悔」操作看成選一個東西。

2 4 3 5 -2

2 4 (3 + -2 - 5)

(2 + (-4) - 4)

顯然，每次選的最大值會非嚴格遞減，

也就符合了斜率單調。

AI 666

郵局設置問題$\infty$ EXTREME

OJDL: 疫苗分配

CSA Or Problem

Credits/Other Resources

ZCK DP 優化講義 (前面放的)
Wiwiho 的簡報 (資讀社團內)
USACO Guide

進階DP，DP優化

Topics Covered:

熱身一下吧

單調隊列優化

當你要對每個東西找到前\(k\)個東西的最小值的時候...

用deque 維護

斜率優化

當你的DP式長這樣的時候...

\(dp[i] = max_{j < i}(m_j * x_i + k_j)\)

\(dp[i] = max_{j < i}(m_j * x_i + k_j)\)

如果我們能保證 \(m_j, x_i\)遞增，那有什麼好的方法維護？

"一路領先" 性質

每條線段都只有一個最好的區間

跟單調隊列類似的想法

把線段存進去！

新增一條線段時，看看他能不能把後面的線段「完全取代掉」

跟單調隊列類似的想法

把線段存進去！

看某個點的最佳線段時，從前面把已經不會更好的線段淘汰掉

直接來Commando 吧

給你一個正整數序列與一個開口向下的二次函數\(f\)，你要把序列分成一些連續區間\(l_1-r_1, ..., l_k-r_k\)，使得

數學推一波

令 \(dp[i]\)為做完前\(i\)個的答案

原本的\(O(n^2)\)解： $$dp[i] = max_{j < i} (dp[j] + f(\sum_{k = j + 1}^{i} a[k]))$$

變成前綴和展開

變成前綴和展開

類題：

斜率不單調的話...

李超線段樹

插入線段

單點查詢

補充: 線段有轉移範圍?

或是你也可以寫

類題: 吐鈔機2

類題2：花枝遊戲

例題:CF 1603 D

例題: 2020 全國賽 pI - 黑白機

Slope Trick

糟糕作法

考慮滾動?

實作:

其他: USACO Guide

Permutation Trick

酷酷題: JOIOC Skycraper

考慮每棟大樓對答案的貢獻

由高到低放入!

多一個維度

這題的實作細節

例: CSA Permutation Towers

Aliens優化

換個例題好了

觀察函數圖形

觀察函數圖形

觀察函數圖形

凸性的證明

OJDL: 疫苗分配

Credits/Other Resources