Stochastic Properties of the Random Waypoint

Mobility Model

 

資訊所 P76064570 瞿旭民

 

5/9 - Group 1

Outline

  • Introduction & Motivation
  • Formal Manner
  • Transition length
  • Transition time
  • Spatial distribution
  • Movement direction on known position 
  • Discussion of cell change rate

Introduction & Movtivation

本篇論文的幾項重點：

  • Transition time & length
    • 探討 mobile node 於兩個 waypoint 之間移動距離與時間
  • Spatial distribution
    • 探討 nodes 於 system area 上的空間分佈關係
  • Direction angle 
    • 探討 node 於出發時（e.g. movement transition）選擇其行進方向的行為（與角度有關）
  • Cell change rate
    • 探討於一次移動時，穿越多少個 cell 

動機說明

  • Mobile network 當中的效能分析
  • 對 Mobility model 的行為做進一步的認識

而在 mobile network (wireless) 當中，許多 simulation 都需透過許多種不同的 model 來做完成; 像是 wireless communication 以及 mobile computing community 等等。

 

而最常並廣泛使用的 mobility model 則是 Random waypoint (RWP) model。

 

章節分配

  1. 定義 RWP 
  2. 透過幾何分佈理論來得到 node 移動的距離、時間的參數（stochastic parameter），並探討 system area（rect/circular） 之間的差異以及 pause time 的影響。 
  3. 對 RWP 中 node 的空間分佈做深入討論
  4. 計算在一個已知位置上的下個行進方向的機率分佈 
  5. 使用 RWP model 來研究 cellular-structured network 當中 mobile station 的移動行為(e.g. movement)，並獲得 cell change 的期望值，分別有 per movement period、per unit time (e.g. cell change rate)

Formal Manner of RWP

定義模型

為了後面的數學所需，這邊會先做定義與規劃：

RWP 的問題首先看到範圍定義 :

  • 一維，像是 line segment 
  • 二維，定義為 a x b 的四方形面積

再來看到 RWP 中的 node 定義 (i 表示 movement period、j 表示第幾個 node):

{ P_i^{(j)} }_{i \in N_0} = P_0^{j}, P_1^{j}, P_2^{j}, ...
Pi(j)i∈N0=P0j,P1j,P2j,...{ P_i^{(j)} }_{i \in N_0} = P_0^{j}, P_1^{j}, P_2^{j}, ...

定義模型 (conti.)

再來看到 V (speed)、T (pause time) 的選擇來決定 complete movement process，且這兩者皆為 random distribution : 

{ P_i, V_i, T_{p,i} }_{i \in N} = (P_1, V_1, T_{p,1}), (P_2, V_2, T_{p,2}), ...
Pi,Vi,Tp,ii∈N=(P1,V1,Tp,1),(P2,V2,Tp,2),...{ P_i, V_i, T_{p,i} }_{i \in N} = (P_1, V_1, T_{p,1}), (P_2, V_2, T_{p,2}), ...

這麼一來，一個 movement period "i" 可由向量（如下）做描述: 

(p_{i-1}, p_i, v_i, \tau_{p,i})
(pi−1,pi,vi,τp,i)(p_{i-1}, p_i, v_i, \tau_{p,i})

Transition Length

Transition Length

Stochastic Process: 

\begin{array}{lrl} {L_i^{j}}_{i \in N} = L_1^{j},L_2^{j},L_3^{j} ... , \\ with\ L_i^j = || P_i^{(j)} - P_{(i-1)}^{(j)} || \end{array}
Liji∈N=L1j,L2j,L3j...,with Lij=∣∣Pi(j)−P(i−1)(j)∣∣\begin{array}{lrl} {L_i^{j}}_{i \in N} = L_1^{j},L_2^{j},L_3^{j} ... , \\ with\ L_i^j = || P_i^{(j)} - P_{(i-1)}^{(j)} || \end{array}

Expectation of Stochastic Process: 

E\{L\} = \displaystyle \lim_{ m \to \infty } \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m l_i^j = \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n l_i^j
E{L}=limm→∞1m∑i=1mlij=limn→∞1n∑j=1nlijE\{L\} = \displaystyle \lim_{ m \to \infty } \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m l_i^j = \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n l_i^j

time average of node j

ensemble average at period i

One-dimensional

由於是 uniform distribution，所以 Point's location 的 pdf：

\begin{array}{lrl} f_{P_x}(x) \\ &=& \frac{1}{a},\ for\ 0 \leq x \leq a \\ &=& 0,\ else. \end{array}
fPx(x)=1a, for 0≤x≤a=0, else.\begin{array}{lrl} f_{P_x}(x) \\ &=& \frac{1}{a},\ for\ 0 \leq x \leq a \\ &=& 0,\ else. \end{array}
\begin{array}{lrl} f_{P_{x_1},P_{x_2}}(x_1,x_2) \\ &=& \frac{1}{a^2},\ for\ 0 \leq x_1, x_2 \leq a \\ &=& 0,\ else. \end{array}
fPx1,Px2(x1,x2)=1a2, for 0≤x1,x2≤a=0, else.\begin{array}{lrl} f_{P_{x_1},P_{x_2}}(x_1,x_2) \\ &=& \frac{1}{a^2},\ for\ 0 \leq x_1, x_2 \leq a \\ &=& 0,\ else. \end{array}

One-dimensional (conti.)

由於 L=|Px1 - Px2|，D = |x1-x2| <= l，所以我們可以求 P(L<=l) 進而得知: 

透過 0<= l <= a，我們得知當 l > a 時，P(L <= l) =1。 因此透過邊界指定我們可以計算得知：

P(L \leq l) = -\frac{1}{a^2}\cdot l^2 + \frac{2}{a} \cdot l
P(L≤l)=−1a2⋅l2+2a⋅lP(L \leq l) = -\frac{1}{a^2}\cdot l^2 + \frac{2}{a} \cdot l

One-dimensional (conti.)

對剛剛算出的 CDF 做微分，便可得：

f_L(l) = -\frac{2}{a^2}\cdot l + \frac{2}{a}
fL(l)=−2a2⋅l+2af_L(l) = -\frac{2}{a^2}\cdot l + \frac{2}{a}

因此我們可算出期望值：

E\{L\} = \int_0^a l\cdot f_L(l) dl = \frac{1}{3} a
E{L}=∫0al⋅fL(l)dl=13aE\{L\} = \int_0^a l\cdot f_L(l) dl = \frac{1}{3} a
E\{L^2\} = \int_0^a l^2 \cdot f_L(l) dl = \frac{1}{6} a^2
E{L2}=∫0al2⋅fL(l)dl=16a2E\{L^2\} = \int_0^a l^2 \cdot f_L(l) dl = \frac{1}{6} a^2

Expected distance: 

Second moment:

Rectangular Area

對於四方形同樣可得：

\begin{array}{lrl} f_{P_{x},P_{y}}(x,y) \\ &=& \frac{1}{ab},\ for\ 0 \leq x \leq a, \ 0 \leq y \leq b \\ &=& 0,\ else. \end{array}
fPx,Py(x,y)=1ab, for 0≤x≤a, 0≤y≤b=0, else.\begin{array}{lrl} f_{P_{x},P_{y}}(x,y) \\ &=& \frac{1}{ab},\ for\ 0 \leq x \leq a, \ 0 \leq y \leq b \\ &=& 0,\ else. \end{array}

而二維的 Length 部份我們可以使用兩個 1-dimension 做相乘（independent），分別代表 x,y 軸的 Lx, Ly:

\begin{array}{lrl} f_{L_{x},L_{y}}(l_x,l_y) \\ &=& f_L(l_x) \cdot f_L(l_y) \\ &=& \frac{4}{a^2 \cdot b^2} (-l_x + a)(-l_y+b) \end{array}
fLx,Ly(lx,ly)=fL(lx)⋅fL(ly)=4a2⋅b2(−lx+a)(−ly+b)\begin{array}{lrl} f_{L_{x},L_{y}}(l_x,l_y) \\ &=& f_L(l_x) \cdot f_L(l_y) \\ &=& \frac{4}{a^2 \cdot b^2} (-l_x + a)(-l_y+b) \end{array}

Rectangular Area (conti.)

同樣地，我們就可以透過剛剛的 PDF 來算 CDF：

再來對 CDF 做微分：

f_L(l) = -\frac{4}{a^2 \cdot b^2} \cdot f_0(l)
fL(l)=−4a2⋅b2⋅f0(l)f_L(l) = -\frac{4}{a^2 \cdot b^2} \cdot f_0(l)

Rectangular Area (conti.)

這樣就可以得到期望值：

Expected value:

Second moment:

E\{L^2\} = \frac{1}{6} (a^2 + b^2)
E{L2}=16(a2+b2)E\{L^2\} = \frac{1}{6} (a^2 + b^2)

同理，Circular area 的作法也是相同的概念！

Transition Time

討論

  • 速度的行為 
    • 定值、或是從 speed distribution 中挑選
    • 改變速度的時間點
    • 改變速度的原因與方式

空間從一維開始分析與討論、再到四方形及圓形區域。

最後再解釋距離與時間關係 ，並討論加入 pause time 的影響。

討論

考慮幾個速度選擇 - 常數 or 隨機變數：

  • 速度 V 為常數：

 

 

 

 

T = \frac{1}{v} L
T=1vLT = \frac{1}{v} L
E\{T\} = \frac{1}{v} E\{L\}
E{T}=1vE{L}E\{T\} = \frac{1}{v} E\{L\}
f_T(\tau) = v f_L(v \tau)
fT(τ)=vfL(vτ)f_T(\tau) = v f_L(v \tau)

討論

  • 速度 V 從 random distribution 中挑選：

 

 

 

 

決定速度 model

而這時我們就可以探討使用什麼 random distribution 來作為速度：

  • Uniform speed distribution
  • Discrete speed distribution
    • choose from a set of values
  • Beta speed distribution
    • non-uniform, continuous speed distribution bounded by v_min ~ v_max.
    • 是個適合用於表示隨機行為所佔比例的模型！

Time between direction change

有了時間計算方式後，我們再來看到 pause time 的影響：

T' = T + T_p
T′=T+TpT' = T + T_p
T
TT

原本的移動時間：

T_p
TpT_p

Pause time: 

而 Expected value 為以下，其代表方向改變所需的平均時間:

E\{T'\} = E\{T\} + E\{T_p\}
E{T′}=E{T}+E{Tp}E\{T'\} = E\{T\} + E\{T_p\}

從而可以獲得 PDF：

Spatial Distribution

Nodes in RWP

討論

在有了 length 跟 time 後，我們接著考慮 node 在 waypoints 之中移動所經過直線上的 locations, 而單一 node 位置 X = (x,y)，我們可以透過此定義來表示空間分佈的 PDF：

而計算一個 node 位於特定區域（A', A' ⊆ A ）底下的機率，就可以透過對上式做積分來得到：

Without Pause time

沒有 pause time 的情況，就是一個持續進行的移動過程。

而上方 fx(x) 的 PDF 所示，不管是四方形或是圓形區域，都會在中心有最大的機率。這說明了所有 node 於 RWP 當中，在中心位置出現的機率最高。

With Pause time

而考慮 pause time 影響的情況，則 spatial distribution：

f_X(x) = p_p f_{X,p}(x) + (1-p_p) f_{X,m}(x)
fX(x)=ppfX,p(x)+(1−pp)fX,m(x)f_X(x) = p_p f_{X,p}(x) + (1-p_p) f_{X,m}(x)

pause component

mobility component

代表當前正在目標點暫停的所有 nodes 的空間分佈

（uniform distribution）

代表所有移動 nodes 的空間分佈

（e.g. without pause time 的機率分佈）

With Pause time (conti.)

而 E{T_p} 與 p 的關係如下（四方形）：

p_p = \frac{E\{T_p\}}{E\{T_p\} + E\{T\}}
pp=E{Tp}E{Tp}+E{T}p_p = \frac{E\{T_p\}}{E\{T_p\} + E\{T\}}
E\{T_p\} = \frac{p_p}{1-p_p} \cdot \frac{E\{L\}}{v} , square\ area\ = a\cdot a
E{Tp}=pp1−pp⋅E{L}v,square area =a⋅aE\{T_p\} = \frac{p_p}{1-p_p} \cdot \frac{E\{L\}}{v} , square\ area\ = a\cdot a

再來看到 p (pause probability):

Movement Direction

On known position

討論

由於 node 在開始移動前並非以 uniformly distributed 的方式來選擇下個行進方向的角度，導致前面的空間分佈也不會是 uniformly distribution 的方式做分佈。

 

我們便來探討角度的選擇，在本篇中角度的 PDF 是由 node 所在的 system area 的形狀以及其出發的位置來做決定，接下來便會開始從一維的線段開始分析，再到二維的 circular system area。

One-dimensional line

在線段上，在定點上行動只有左、右兩種選擇; 並且移動目的的選擇為 uniform distribution，所以我們可得角度的 PDF：

Circular Area

\theta:
θ:\theta:

行進方向與中心的夾角

\gamma:
γ:\gamma:

行進方向

\phi:
ϕ:\phi:

起點與中心的夾角

\gamma= \theta + \phi + \pi
γ=θ+ϕ+π\gamma= \theta + \phi + \pi

Circular Area (conti.)

我們可以歸納出4個規則：

  • 方向的獨立性，於每個 starting waypoints 上 PDF 相同：

 

  • 於 Pr = 0 時，方向為一 uniform distribution PDF: 

 

  • 當 Pr != 0 時，方向會在 theta 接近 0 時最大、接近 pi 時最小（由於前面提過的空間分佈、愈近中心其機率愈高）：

 

 

  • 最後，其機率分佈呈現對稱性：

Circular Area (conti.)

接下來一樣透過 CDF 的 conditional probability (條件為 r，為 starting point 到圓心的距離) 的微分來獲得 theta 角度的機率分佈關係！

 

為灰色區域的部份（也是 destination 的可能位置）

A_\theta
AθA_\theta

而 A 的面積會跟移動距離( l )以及與圓心距離( r ) 有關

Circular Area (conti.)

對 CDF 做微分來獲得方向的機率分佈（都有 conditional）：

 

取隨機變數(r, phi)的邊界做積分消除 conditional probability，獲得方向的機率分佈：

 

Circular Area (conti.)

結果顯示：

f(\theta | r)
f(θ∣r)f(\theta | r)
f_{\theta}(\theta)
fθ(θ)f_{\theta}(\theta)

Cell Change Rate

Discussion

討論

在前面的部份主要都是在 cell 內做討論（length、time、direction），現在則開始討論不同 cell 間的問題，也就是 cell change rate。

為何討論 cell change rate? 有兩個原因：

  1. 使用 network service 時，在切換不同 cell 間需要傳送 signaling traffic 給兩邊的 cell
  2. RWP model 可以於 cellular network 中塑造 node 的 mobility 行為


而這兩個行為都會傳送 signaling traffic，並且這個 traffic 量會與 cell change rate 有關聯!

Cell change per transition

首先我們來討論，在 "一次移動過程" 中，會需要幾次的 cell changes：

其中 m 代表 transition 的數量，c_i 則代表第 i 次 transition 中的 cell changes 數量。接著我們只要能夠對 c_i 做討論，就可以得到 cell changes 總數的期望值。

Cell changes per unit time

針對每個 unit time 中每個 node 的平均 cell change 次數：

而這個值的意義是為 cell change rate、或是 cell change frequency，對於一個 node 或是一個特定 scenario 中 degree of mobility 很好的測量單位。

Examination

我們來看從速度與 cell 數量調整，來看 cell change rate 的變化：

Conclusion

本篇貢獻

  • 對現有 RWP model 的隨機性質做數學分析，並給予其正式的定義與描述
  • 本篇分析了幾項性質：
    • 兩個 waypoint 之間的 Length、Duration 
    • nodes 的空間分佈性質，以及對於 pause time 的相依性
    • 在移動前選擇的方向（ direction angle）
    • 於 cellular-structured network 的 RWP model 中 cell changes 的數量 （cell change rate）
  • 並通過分析得知，node 的空間分佈會讓 node 趨向於中心做移動的特性
  • 本篇透過數學分析的過程，來達到去隨機化的結果，提供 RWP Model 一個數學表示，讓我們在使用這個 model 時，能夠更加了解其性質，與對應的 simulation 結果之間的關係。

Reference

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