一維數據分析

aka 泥悶得仙貝芝士！

算術平均數

加權平均數

幾何平均數

非常小小的例題     

以下是運算思維講師之一 rainple0130 這次段考的各科成績。請聰明的你來幫幫他算出他這次段考的加權平均分數ㄅ :partying_face:

一塊地毯在印度原產地賣給當地集貨商時是成本的\(6\)倍，集貨商賣給外銷商是其成本的\(4\)倍，外銷商賣給美國的進口商是其成本的\(3\)倍，而進口商賣給當地的大賣店是成本的\(3\)倍，大賣店賣給零售商則是其成本的\(2\)倍。試問平均每一經手者賣出價錢是其成本的幾倍？

[ 北一學資第二冊第二章數據分析 P.32 B部分第一題 ]

（若有必要，請使用計算機。）

不要問我怎麼拿到的w

非常小小的例題     

眾數 & 全距

眾數：一組數據中出現最多次的東東

全距：一組數據中最大與最小數之差

中位數

將一組\(n\)個數據由小排到大後，

(1)若\(n\)是奇數：令\(k = \frac{n+1}{2}\)，則中位數為\(x_k\)

(2)若\(n\)是偶數：令\(k = \frac{n}{2}\)，則中位數為\(\frac{x_k+x_{k+1}}{2}\)

百分位數

將一組\(n\)個數據由小排到大後，定義第\(k\)百分位數\(P_k\)為：

(1)若\(n\times\frac{k}{100}\)為整數：

令\(m = n\times\frac{k}{100}\)，則\(P_m = \frac{x_m+x_{m+1}}{2}\)

(2)若\(n\times\frac{k}{100}\)是非整數：

類推適用w (好我不知道我在說什麼

令\(m = (n\times\frac{k}{100}\)無條件進入到整數位)，則\(P_m=\frac{x_m+x_{m+1}}{2}\)

四分位數

第一四分位數為\(Q_1 = P_{25}\)

第二四分位數為\(Q_2 = P_{50}\)

第三四分位數為\(Q_3 = P_{75}\)

呈上頁，第\(k\)百分位數為\(P_k\)

很小的練習

一組數據\(22, 25, 29, 29, 25, 26, a, b, c\)，已知眾數是\(29\)，中位數是\(28\)，算術平均數是\(27\)，且\(a > b > c\))，求\(a\)。

很小的練習

在九年級的籃球比賽中，925 班進行班級的自主練習。導師將全班同學人數平分成甲、乙兩組。因為乙組的身高太矮，所以將原本甲組\(5\)為平均身高為\(165\)公分的同學調到乙組，再將乙組\(5\)位平均身高為\(153\)公分的同學調到甲組，結果乙組後來的平均身高增加\(3\)公分。試求全班人數？

一維數據分析

但試試你們沒學過的，吧

變異數\(\sigma^2\)

標準差\(\sigma\)

剛剛的變異數取正平方根而已la

母體標準差\(\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i-\mu_x)^2}  = \sqrt{\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \mu_x^2}\)

樣本標準差\(\sigma = \sqrt{\frac{1}{n-1}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i-\mu_x)^2}\)

非常小小的例題 :thonk:

酥育根很在意他的體態，習慣在起床後站上電子體重機五次，重複地量測體重。以下是他在某個早上的測量數據：

根據上面的數據，試求出酥育根體重的標準差？

數據的線性變換

•  \(\sigma_y = |a|\sigma_x\)

標準化分數(\(z\)分數)

設一組\(n\)個數據\(x_1, x_2, x_3,...,x_n\)的算術平均數為\(\mu_x\)，標準差為\(\sigma_x\)，則規定

標準化分數(\(z\)分數)的性質

(1)\(z_1', z_2', z_3',...,z_n'\)的算術平均數為0

這些性質會證明ㄇ(?

(2)\(z_1', z_2', z_3',...,z_n'\)的標準差為1

(3)\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i'^2 = n\)

某次段考後，多數同學成績偏低，因此決定將每人的原始成績取平方根再乘以\(10\)作為正式紀錄。今\(100\)位同學，發現調整後的平均為\(55\)分，標準差為\(20\)分，求這\(100\)位同學未調整前的平均數。

小小練習

設\(f(x) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i - x)^2\)，

則其在 \(x = \mu_x\)，也就是\(x\)是所有\(x_i\)的算術平均數時有最小值。

快速穿插小觀念 :thonk:

\(f(x) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i - x)^2 \\ = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} ({x_i}^2 - 2{x_i}{x} + x^2) \\ = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} {x_i}^2 - 2x \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i + \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x^2 \\ \)

\( \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x^2 - 2x\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i \\ = nx^2 - 2xn\mu_{x_i} \\ = n(x^2 - 2x\mu_{x_i} + {\mu_{x_i}}^2) \\ = n(x - \mu_{x_i})^2\)

所以 \(x = \mu_{x_i} \)，也就是算術平均數時有最小值！

有\(10\)名學生的數學考科及分數分別為\(x_1\)，\(x_2\)，\(x_3\)，...，\(x_{10}\)，其算術平均數為\(8\)分，標準差為\(2\)分。若令\(f(x)=(x_1-x)^2+(x_2-x)^2+...+(x_{10}-x)^2\)，請選出正確的選項。

(1) \(f(8)=20\)

(2) \(f(8)=40\)

(3) \({x_1}^2+{x_2}^2+...+{x_{10}}^2=680\)

(4) \(f(7)<f(8)\)

(5) \(f(8)<f(9)\)

小小練習

假設有\(n\)個數據成等差數列，且其公差為\(\sqrt{\frac{2}{3}}\)，若此資料的變異數為\(231\)，求\(n\)之值。

p.s. 為方便計算，可討論\(n\)為奇數的情況即可。

挑戰題 (嗎

可是他被歸類在 A 部分 :thonk:

二維數據分析 --- 相關係數

相關係數

設一組\(n\)個數據 \((x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3),...,(x_n,y_n)\)

將這些數據標準化為\((x_1', y_1'),(x_2', y_2'), (x_3', y_3'),..., (x_n', y_n')\)，則

定義相關係數\(r = \frac{\Sigma_{i=1}^{n} x_i'y_i'}{n}\)

我ㄉ數據沒有標準化怎麼辦

我ㄉ數據沒有標準化怎麼辦

相關係數\(r\)的意義

\(r = -1\)：

完全負相關

\(r = 1\)：

完全正相關

相關係數\(r\)的意義

\(-1 < r < 0\)：

負相關

\(0 < r < 1\)：

正相關

相關係數\(r\)的意義

\(r = 0\)：零相關

成立於當所有點所形成的圖形呈線對稱

相關係數\(r\)的性質

• \(-1\leq r \leq 1\)

• 令\(X\)與\(Y\)的相關係數為\(r_{(X,Y)}\)，則\(r_{(X,Y)} = r_{(Y,X)}\)

• 設\(X' = aX+b, Y' = cX+d\)，則：

當\(ac>0\)時，\(r_{(X',Y')} = r_{(X,Y)}\)

當\(ac<0\)時，\(r_{(X',Y')} = -r_{(X,Y)}\) 

五位同學在某次定期考中，國文與英文的成績分別如下：

小練習

求這五位同學兩科成績的相關係數。

令\(X\)代表每個高中生平均每天研讀數學的時間(以小時計)，則\(W = 7(24-X)\)代表每個高中生平均每週花在研讀數學以外的時間。令\(Y\)代表每個高中生數學學科能力測驗的成績。設\(X, Y\)之相關係數為\(0.83\)，求\(w, Y\)之相關係數。

小練習

二維數據分析 --- 回歸直線

what is 回歸直線

生出一組數據，把它變成散佈圖，

然後我們試圖找到一條距離這些點最近的理想直線

就是鼎鼎大名的回歸直線ㄌ🤤

正式的定義，還有我們具體要怎麼求出的部分ㄋ(?

尋找回歸直線 --- 最小平方法

尋找回歸直線 --- 最小平方法

人們的解決方法：改成求這些距離的平方和，就輕鬆解決啦~

於是我們現在要求的是：

\(\Sigma_{i=1}^{n} (y_i - (ax+b))^2\)的最小值

怎麼做呢? 土法煉鋼

尋找回歸直線 --- 最小平方法

我們直接來個實例

設\(5\)個二維數據為：

利用最小平方法，求\(Y\)對\(X\)的最適直線方程式。

ans: \(y=\frac{7}{10}x + 1\)

尋找回歸直線 --- 最小平方法

怎麼做呢？

設回歸直線為\(y=a+bx\)

則所求\(D = \Sigma_{i=1}^{5} (y_i - a - bx_i)^2)\)

\(= (0-a+2b)^2 + (0-a+b)^2 + ... +(3-a-2b)^2\)

\(= 5a^2 + 10b^2 -10a - 14b +11\)

\(= 5(a-1)^2 + 10(b-\frac{7}{10})^2 + \frac{11}{10}\)

由此可知，當\(a = 1, b = \frac{7}{10}\)時，所求\(D\)有最小值\(\frac{11}{10}\)

所以我們的回歸直線就是\(y = \frac{7}{10}x + 1\)

尋找回歸直線 --- 相關係數(?

很多數據怎麼辦?

我們的相關係數\(r\)派上用場ㄌ！

一組標準化數據的回歸直線為：\(y' = rx'\)

也就是說...

(1)標準化數據的回歸直線必通過\((0,0)\)

(2)標準化數據的回歸直線斜率為\(r\)

尋找回歸直線 --- 相關係數(?

一組標準化數據的回歸直線為：\(y' = rx'\)

以\(x' = \frac{x_i - \mu_x}{\sigma_x}, y' = \frac{y_i - \mu_y}{\sigma_y}\)代入

可以發現\(y - \mu_y = m(x - \mu_x)\)

而回歸直線必通過\((\mu_x, \mu_y)\)

其中，斜率\(m = r \cdot \frac{\sigma_y}{\sigma_x}  = \frac{S_{XY}}{S_{XX}} \)

你還醒著ㄇw

已知\(X\)與\(Y\)的二維數據\((x_i, y_i), i = 1, 2, ..., 5\)，如下表所示

小練習

標準化得\(X'\)與\(Y'\)的二維數據\((x_i, y_i)\)，其中\(x_i' = \frac{x_i-\mu_x}{\sigma_x}\)，\(y_i' = \frac{y_i-\mu_y}{\sigma_y}\)，\(i = 1, 2, ..., 5\)，求：

(1) \(X'\)與\(Y'\)的相關係數。

(2) \(Y'\)對\(X'\)的最適直線方程式

設二組數據\(x_1, x_2, ..., x_{10}\)與\(y_1, y_2, ..., y_{10}\)，\(x_1+x_2+...+x_10=140\)，\(y_1+y_2+..+y_10=1300\)，\({x_1}^2+{x_2}^+...+{x_{10}}^2 = 2528\)，\({y_1}^2+{y_2}^2+...+{y_{10}}^2 = 184730\)，\(x_1y_1 + x_2y_2 + ... + x_{10}y_{10} = 21040\)，利用最適直線，預測若\(x\)之值為\(25\)，\(y\)之值。

挑戰題 (吧