Tomografia & Emaranhamento

em Estados Quânticos de Variáveis Contínuas

Ludmila Augusta Soares Botelho

Departamento de Física - ICEx - Universidade Federal de Minas Gerais

representações

 (e limitadas)

 porém boas o suficiente!

Representações

Discretos

Contínuos

Experimento

Dados

Mecânica Quântica

Dados

Estado Quântico

Representações

Discretos

Contínuos

Estados Quânticos

Discretos

Contínuos

\vert \uparrow \rangle = \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ \end{bmatrix}
\vert \downarrow \rangle = \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ \end{bmatrix}
\vert 0 \rangle = \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ \end{bmatrix}
\vert 1 \rangle = \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ \end{bmatrix}

$$\left\vert \Phi^{+} \right\rangle = \frac{\vert 00 \rangle + \vert 11 \rangle }{\sqrt{2}}$$

$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbb{r},t)=\left[ \frac{-\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\mathbb{r},t)\right]\Psi(\mathbb{r},t)$$

E o video game?

Também começou do contínuo!

Estados Quânticos

  • Operador Densidade

\rho = \rho^\dagger
\rho \geq 0
\mathrm{tr}(\rho)= 1

Estados Quânticos

\rho =\begin{bmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix}

  • Dimensão

→n∈N \rightarrow n \in \mathbb{N}

Estados Quânticos

\rho =\begin{bmatrix} \quad & \quad & \quad \\ \quad & \text{\Huge?} & \quad \\ \quad & \quad & \quad \end{bmatrix}

  • Dimensão infinita

Espaço de Fase

  • Função de Wigner

$$W(q,p) = \frac{1}{2\pi\hbar} \int \left\langle q-\frac{v}{2}\right\vert \rho\left\vert q+\frac{v}{2}\right\rangle e^{ipv/\hbar}\mathrm{d}v$$

 

  • Pode assumir valores negativos
  • "Quase-probabilidade"

Espaço de Fase

Propiedade

Espaço de Hilbert

Espaço de Fase

Dimensão

Estrutura

$$\infty$$

$$2N$$

$$\otimes$$

$$\oplus$$

$$\mathcal{H}$$

Gaussianos

Descrição

$$\rho$$

$$\mathbf{d},\mathbf{\sigma}$$

$$\Gamma$$

Detecção Homódina

2-1

$$\vert \alpha \rangle$$

signal

50/50

Intensidade     Número de fótons

$$I_{21} = I_1 - I_2$$

$$ \propto$$

(balanceada)

\hat{n}_1=\hat{a}_1'^\dagger\hat{a}_1' \qquad \hat{n}_2=\hat{a}_2'^\dagger\hat{a}_2'\\ \hat{a}_1'=2^{1/2}(\hat{a}'-\alpha_{LO}) \qquad \hat{a}_2'=2^{1/2}(\hat{a}'+\alpha_{LO}) \\ \hat{n}_{21} = \hat{n}_{2} - \hat{n}_{1} = \alpha_{LO}^*\hat{a}+\alpha_{LO}\hat{a}^{\dagger} \\ \alpha = \vert\alpha_{LO}\vert(\cos{\theta} +i\sin{\theta}) \\ \hat{n}_{21} = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert{\alpha_{LO}}\vert \left[ (\cos{\theta} +i\sin{\theta})(\hat{q} - i\hat{p}) + (\cos{\theta} +i\sin{\theta})(\hat{q} - i\hat{p}) \right]\\
\hat{n}_{21} = \frac{2}{\sqrt{2}}\vert{\alpha_{LO}}\vert\hat{q}_{\theta}
\langle{q_{\theta}}\vert\rho \vert{q_{\theta}}\rangle = \frac{1}{2\pi\hbar} \int_{-\infty}^{\infty} W(q_{\theta}\cos{\theta} - p_{\theta}\sin{\theta},q_\theta \sin{\theta} + p_{\theta}\cos{\theta}) \mathrm{d}p_{\theta}

Tranformada de Radom

$$\langle{q_{\theta}}\vert\rho \vert{q_{\theta}}\rangle \rightarrow W(q,p)$$

$$W(q,p) \rightarrow \langle{q_{\theta}}\vert\rho \vert{q_{\theta}}\rangle  $$

?

W(q,p) = \frac{1}{2 \pi^{2}} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{0}^{\pi} pr(x,\theta) K(q\cos{\theta} + p\sin{}\theta -x) \mathrm{d}x \mathrm{d}\theta

Radom Inversa

K(x)= \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \vert{\xi}\vert \exp{(i\xi x)} \mathrm{d}\xi

E se for de muitos modos?

Otimização Convexa

maximize

minimize

sujeito a

$$\vec{a}\cdot \vec{x}$$

$$\vec{\beta}_i\cdot \vec{x}= b_i$$

$$\vec{\gamma}_j\cdot \vec{x} \leq c_j$$

  • Problemas Lineares

$$ \vec{x}\geq 0 $$

$$i=1,\dots,m $$

$$j=1,\dots,n$$

Otimização Convexa

min

s.t

$$\rho \succeq 0$$

$$\mathrm{Tr}(\rho) = 1$$

  • Programação Semidefinida

  • Base de Fock

$$\sum_{i \in \mathcal{I}} \Delta_i + \delta$$

$${\rho, \Delta, \delta}$$

$$\left\vert \mathrm{Tr}({E_i \rho) -f_i} \right\vert  \leqslant \Delta_i f_i$$

$$i \in \mathcal{I}$$

$$\mathrm{Tr}({ E_i\rho} )\leqslant \delta$$

$$i \notin \mathcal{I}$$

$$\vert q_{\theta}\rangle\!\langle{q_{\theta}}\vert= \sum \psi_n^*(q) \psi_m(q) \exp[i(m-n)]\vert{n}\rangle\!\langle{m}\vert$$

E agora para algo complemente diferente

Emaranhamento

  • Separabilidade

$$\rho_{AB} = \sum_\lambda \pi (\lambda)\rho_A^\lambda \otimes \rho_B^\lambda$$

Critérios de Separabilidades

  • Transposição Parcial

$$\rho^{T_B} = \sum_i p_i \left(\rho_i^A \otimes (\rho_i^B)^T\right)$$

Dimensão Grande

Critérios de Separabilidades

  • Matriz de Covariância
\gamma \geq \begin{pmatrix} \gamma_A & 0 \\ 0 & \gamma_B \end{pmatrix}
  • SDP

Mapas Positivos

  • Operador Densidade vs Matriz de Momentos
  • Testemunha de Emaranhamento

(Porém Não Completamente Positivos)

Sep

$$\rho$$

$$\mathit{W}$$

Ent

$$M$$

$$\mathit{W}'$$

Obrigada!

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