ALGORITMO LOCALMENTE ANIDADO PARA DESPLIEGUE DE REDES BASADO EN TESELACIONES VORONOI GENERALIZADAS

LUIS MANUEL ROMÁN GARCÍA

Dr. ANTE SALCEDO GONZÁLEZ

ASESOR

SUSTENTANTE

2018

Contenido

  • Despliegue de redes de telecomunicaciones

  • Elementos teóricos de despliegue

  • Descripción del algoritmo

  • Implementación y resultados

  • Conclusión
 

Despliegue de redes de telecomunicaciones

Despliegue de redes de telecomunicaciones

Relevancia de la digitalización

  • 2014: 40% de la población usa internet.

  • 2015: 4.5 billones de teléfonos móviles.

  • Impacto probado en economía, sociedad y gobierno.

  • El elemento crítico es el desarrollo de las telecomunicaciones, incluyendo el diseño y despliegue de redes de conectividad.

Digitalización: “transformación social disparada por la adopción masiva de tecnologías digitales para generar, procesar y compartir información”

Despliegue de redes de telecomunicaciones

Relevancia de la digitalización

Círculo virtuoso:

  • Incremento en el desarrollo económico debido al incremento en el desarrollo de telecomunicaciones.
  • Incremento en la demanda de servicios de telecomunicaciones debido a incrementos en la productividad económica.

Digitalización: “transformación social disparada por la adopción masiva de tecnologías digitales para generar, procesar y compartir información”

Despliegue de redes de telecomunicaciones

Relevancia de la digitalización

En general, el desarrollo de las telecomunicaciones genera:

  • Crecimiento en el capital de conocimiento, debido a un fácil acceso a la información.
  • Ganancias directas en eficiencia y productividad en la industria.
  • Derrames económicos y externalidades positivas.
  • Impacto en la demanda y en la estructura de la producción.

Digitalización: “transformación social disparada por la adopción masiva de tecnologías digitales para generar, procesar y compartir información”

Despliegue de redes de telecomunicaciones

El contexto rural

  • Las redes urbanas son mucho menos costosas y más fáciles de desplegar y mantener. 
  • La brecha de conectividad crece cada vez más.
  • La próxima gran diferencia entre comunidades viables y comunidades no viables puede ser el grado de desarrollo digital.

Penalización Rural: “Es más fácil y barato mejorar la conectividad de lugares que ya poseen infraestructura”

Despliegue de redes de telecomunicaciones

El contexto rural

Las dificultades se derivan de:

  • Aislamiento: por lo regular, las comunidades rurales se encuentran en regiones complejas, a distancias considerables de centros urbanos. 
  • Adopción: la falta de adopción evita un retorno sobre inversión lo suficientemente acelerado. 
  • Densidad poblacional: escasa población implica pocos ingresos.

Penalización Rural: “Es más fácil y barato mejorar la conectividad de lugares que ya poseen infraestructura”

Despliegue de redes de telecomunicaciones

Hacia una solución viable

Tres objetivos principales:

  • Desempeño: tiempo de respuesta y disponibilidad. Garantizar cierta tasa de transferencia. 
  • Redundancia y resiliencia: disponibilidad bajo circunstancias de fricción y fallas. 
  • Viabilidad económica: el mercado debe ser lo suficientemente atractivo como para justificar el despliegue. 

“La mayor parte de los costos asociados al despliegue de una red de telecomunicaciones están vinculados con el diseño topológico de la misma”

Despliegue de redes de telecomunicaciones

Hacia una solución viable

Debido a la naturaleza en conflicto de estos objetivos, el diseño de redes se divide en : 

  • Primaria: redundancia y durabilidad es la prioridad.
  • Secundaria: desempeño.
  • Terciaria: factibilidad económica.

“La mayor parte de los costos asociados al despliegue de una red de telecomunicaciones están vinculados con el diseño topológico de la misma”

Despliegue de redes de telecomunicaciones

Hacia una solución viable

Toda solución viable debe tomar en consideración los siguientes aspectos:

  • Favorecer aprovechamiento de infraestructura existente.
  • Localización de comunidades ubicadas en el 'margen' de la conectividad, i.e. reducir aislamiento.

“La mayor parte de los costos asociados al despliegue de una red de telecomunicaciones están vinculados con el diseño topológico de la misma”

Elementos teóricos de despliegue

Elementos teóricos de despliegue

Teselación de Voronoi

Dado un conjunto de puntos en posición general 

S = \{P_i\}_{i=0}^n;\quad P_i\in\Upsilon_\mu\forall i=1,2,\dots, n;\quad n\geq 3
S={Pi}i=0n;Pi∈Υμ∀i=1,2,…,n;n≥3S = \{P_i\}_{i=0}^n;\quad P_i\in\Upsilon_\mu\forall i=1,2,\dots, n;\quad n\geq 3

Definimos el polígono de Voronoi asociado a un punto           como

P_k
PkP_k
v(P_i) = \{ x \in \Upsilon_\mu | \mu(x, P_i) \leq \mu(x, P_j); \quad\forall_{i\neq j}\}
v(Pi)={x∈Υμ∣μ(x,Pi)≤μ(x,Pj);∀i≠j}v(P_i) = \{ x \in \Upsilon_\mu | \mu(x, P_i) \leq \mu(x, P_j); \quad\forall_{i\neq j}\}

Y la teselación de Voronoi asociada a S como

v(S) = \{ v(P_i) | P_i\in S\}
v(S)={v(Pi)∣Pi∈S}v(S) = \{ v(P_i) | P_i\in S\}

Teselación de Voronoi

Propiedades teselación

Como puede observarse, la definición de teselación de Voronoi es bastante general, ya que sólo depende de la noción de distancia. En general, hay dos factores que afectan la 'forma' y distribución de polígonos:

  • El tipo de métrica.
  • La naturaleza de la distribución seguida por la dispersión de puntos. 

Elementos teóricos de despliegue

Propiedades teselación | generalización 

En general, el tipo de métrica tendrá una gran influencia sobre el tipo de polígonos. Ej: métrica convexa implica polígonos convexos. En general, para que una métrica pueda ser utilizada para generar polígonos de Voronoi, ésta debe cumplir un número de  propiedades.

 

Elementos teóricos de despliegue

Distancia V

Dado un espacio de puntos

X=\{\xi_i\}_{i=1}^n; \xi_i\in S\subset\Upsilon\forall i; n\geq 3
X={ξi}i=1n;ξi∈S⊂Υ∀i;n≥3X=\{\xi_i\}_{i=1}^n; \xi_i\in S\subset\Upsilon\forall i; n\geq 3
\delta(x, \xi_i) = \begin{cases} 1 & \|x - \xi_i\| \leq \| x - \xi_j \| \\ 0 & otherwise \end{cases}
δ(x,ξi)={1∥x−ξi∥≤∥x−ξj∥0otherwise\delta(x, \xi_i) = \begin{cases} 1 & \|x - \xi_i\| \leq \| x - \xi_j \| \\ 0 & otherwise \end{cases}

Definimos la función de asignación

\mathscr{C(\xi_i)} = \{ x \in S | \delta(x, \xi_i) = 1 \}
C(ξi)={x∈S∣δ(x,ξi)=1}\mathscr{C(\xi_i)} = \{ x \in S | \delta(x, \xi_i) = 1 \}

La cerradura de un punto como

Elementos teóricos de despliegue

Distancia V

Debe cumplir las siguientes propiedades:

\displaystyle\sum_{i=1}^n \delta(x, \xi_i) \geq 1 \forall x \in S
∑i=1nδ(x,ξi)≥1∀x∈S\displaystyle\sum_{i=1}^n \delta(x, \xi_i) \geq 1 \forall x \in S
\exists i \neq j ;\mathscr{C}(\xi_i)\land \mathscr{C}(\xi_i)\neq \emptyset
∃i≠j;C(ξi)∧C(ξi)≠∅\exists i \neq j ;\mathscr{C}(\xi_i)\land \mathscr{C}(\xi_i)\neq \emptyset
\forall i \mathscr{C}(\xi_i)\neq \emptyset\Rightarrow \mu(\mathscr{C}(\xi_i)) > 0
∀iC(ξi)≠∅⇒μ(C(ξi))>0\forall i \mathscr{C}(\xi_i)\neq \emptyset\Rightarrow \mu(\mathscr{C}(\xi_i)) > 0

Elementos teóricos de despliegue

Generalización Voronoi

Generalización Voronoi

Distribuciones de puntos

Otro de los factores que puede afectar las diferentes propiedades de los polígonos de Voronoi es la forma de la distribución subyacente de puntos. Suponiendo que los puntos siguen una distribución

\xi\sim f \in S
ξ∼f∈S\xi\sim f \in S

Entonces

P(\xi\in B) = \frac{\int_B f(\zeta)d\zeta}{\int_S f(\zeta)d\zeta}
P(ξ∈B)=∫Bf(ζ)dζ∫Sf(ζ)dζP(\xi\in B) = \frac{\int_B f(\zeta)d\zeta}{\int_S f(\zeta)d\zeta}

Elementos teóricos de despliegue

Distribuciones de puntos

Como en este trabajo suponemos una distribución uniforme, por razones que discutiremos más adelante, tenemos que 

P(N(B) = k) = \binom{n}{k}\frac{|B|^k|S-B|^{n-k}}{|S|^n}
P(N(B)=k)=(nk)∣B∣k∣S−B∣n−k∣S∣nP(N(B) = k) = \binom{n}{k}\frac{|B|^k|S-B|^{n-k}}{|S|^n}

Elementos teóricos de despliegue

Distribuciones de puntos

Claro, hay distribuciones más complejas que nos pueden ayudar a asociar propiedades a los polígonos tales como área esperada y número de bordes esperados, como la distribución Poisson.

Elementos teóricos de despliegue

Distribuciones de puntos

K medias

Las razones por la que este algoritmo es tan utilizado incluyen:

 

  • Fácil implementación
  • Complejidad temporal O((m+K)*n)
  • Complejidad espacial O(I*m*n*K)

 

m = número de observaciones, n = número de dimensiones, k = número de centroides, I = número de iteraciones

Elementos teóricos de despliegue

K medias

Las razones por las que lo utilizamos:

 

  • Toda clusterización por k-medias induce una teselación de Voronoi. 
  • Puede verse como un problema de optimización en donde se buscarán, iterativamente, los centros de densidad de puntos.
  • Particiona el espacio de puntos en regiones uniformes.

 

Elementos teóricos de despliegue

Vornoi inducido

K medias

Las razones por las que lo utilizamos:

 

Puede verse como un problema de optimización en donde se buscarán, iterativamente, los centros de densidad de puntos

\displaystyle\min \displaystyle\sum_{i=1}^k\displaystyle\sum_{x\in C_i}d(x, C_i)
min⁡∑i=1k∑x∈Cid(x,Ci)\displaystyle\min \displaystyle\sum_{i=1}^k\displaystyle\sum_{x\in C_i}d(x, C_i)

Elementos teóricos de despliegue

Partición en regiones uniformes

Fuente: https://www.hipparchus.org/hipparchus-clustering/

Descripción del algoritmo

Descripción del algoritmo

Propiedades topológicas de la distribución de poblados rurales

Dado que el enfoque es en el contexto mexicano, todos los ejemplos de esta sección se llevarán a cabo en Mexico; no obstante, los principios son generales y aplicables en cualquier escenario rural. 

“Hay dos consideraciones esenciales a la hora de diseñar un algoritmo de cobertura: la ubicación de las localidades a cubrir y la ubicación de los puntos de acceso disponibles ”

Propiedades topológicas de la distribución de poblados rurales

Segmentación del territorio en celdas de 5km x 5km, una estimación pesimista del alcance de una radio base. Con el objetivo de estimar la distribución de la población.

Descripción del algoritmo

Distribución población

Distribución población

Distribución población

Distribución población

Distribución conectividad

Distribución conectividad y población

Búsqueda iterativa de regiones factibles | Algoritmo

El algoritmo sigue los siguientes pasos:

1. Identifica la siguiente región objetivo. Idealmente, debería tener un conjunto pequeño de comunidades 'grandes', grandes en el sentido de que su población justifica el despliegue de redes. A partir de ahí, éstas se consideran centroides conectados para las siguientes iteraciones. Del mismo modo, se busca que esta región tenga un gran número de poblados 'pequeños' los cuales serán los objetivos de cobertura. 

Descripción del algoritmo

Primer paso

Búsqueda iterativa de regiones factibles | Algoritmo

El algoritmo sigue los siguientes pasos:

2. Define un criterio de selección: favorecer áreas pequeñas con gran población 'low hanging fruits', o favorecer áreas grandes con población pequeña, éste puede ser el caso de un despliegue con fines sociales o cuantificar el comportamiento del algoritmo en el peor caso posible. 

Descripción del algoritmo

Búsqueda iterativa de regiones factibles | Algoritmo

El algoritmo sigue los siguientes pasos:

3. Itera cambiando objetivos, dependiendo los objetivos del despliegue, hasta alcanzar un punto de convergencia. 

Descripción del algoritmo

Parámetros de decisión

Como puede observarse, el algoritmo tiene un gran número de parámetros que dan flexibilidad al algoritmo para adaptarse a los objetivos del despliegue:

  • Max/Min pob
  • Distancia ponderada por población y distancia a carretera
  • Número de centroides
  • Tolerancias
  • Radio de conectividad

Descripción del algoritmo

Complejidad

Vemos que éste es un problema iterativo en donde cada iteración subdivide el problema en k instancias del problema original. En el caso general, esto equivaldría a resolver una relación de recurrencia estocástica en donde el número de subproblemas, así como las operaciones de cada uno, varían iteración con iteración.  No obstante, hay dos factores que simplifican el cálculo:

  • Búsqueda iterativa de regiones uniformes
  • Selección de una única celda

Descripción del algoritmo

Búsqueda de regiones uniformes

Optimización

La complejidad diminuye exponencialmente con el número de centroides. El costo computacional en las primeras iteraciones  recae en la fase de segmentación, no obstante, se pueden utilizar métricas 'inteligentes' para disminuir dicho costo. 

Descripción del algoritmo

Distancia del supremo

Implementación y resultados

Implementación y resultados

Selección de zona de despliegue

Se seleccionó el estado de Chiapas, México, por las siguientes razones:

  • Ideal para probar algoritmo en un escenario de alta complejidad
  • Distribución de conectividad limitada a unos cuantos poblados con alta densidad poblacional
  • Distribución de poblados en 'fronteras' de conectividad
  • Existencia de carreteras y caminos

Distribución localidades y población

Distribución carreteras

Resultados finales

Resultados finales

Resultados finales

Conclusión

Conclusión

Hacia una solución viable

  • Se diseñó e implementó un algoritmo para llevar cobertura a regiones rurales. Dicho algoritmo toma en consideración las realidades a las que se enfrenta el paradigma rural, y cuenta con la flexibilidad suficiente para adaptarse a los objetivos de despliegue. 
  • Posibles futuros pasos incluyen: fuzzy clustering, verificación de condiciones de frontera, caracterización de distribuciones de puntos más complejos y cálculo de complejidad general. 

“La mayor parte de los costos asociados al despliegue de una red de telecomunicaciones están vinculados con el diseño topológico de la misma”

Gracias

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