Ранняя история и математические основы программирования:

Чёрч, Карри, Тьюринг

Кольцов Максим

Наивная теория множеств

Георг Кантор

1870-1900 — создание Кантором основных идей теории
1901— парадокс Рассела. Проблема теории Кантора — слишком "общее" построение множеств

\exists y \forall x (x \in y \Leftrightarrow P(x))

\exists y \forall x (x \in y \Leftrightarrow P(x))

\forall x (x \in y \Leftrightarrow x \in\!\!\!\!\!/ \; x)

\forall x (x \in y \Leftrightarrow x \in\!\!\!\!\!/ \; x)

1908-1921 — аксиоматика ZF
1931 — теоремы Гёделя о неполноте

Математическая логика

Классическая логика: исчисление высказываний
Логика первого порядка: кванторы
Интуиционистская логика: важность доказательства
Математический конструктивизим

\frac{A \quad (A \to B)}{B}

\frac{A \quad (A \to B)}{B}

Modus Ponens

Проблема останова

Проблема Гильберта — есть ли алгоритм, доказывающий формулы?
1935-1936 — Алонзо Чёрч и Алан Тьюринг: нет

Алан Тьюринг

Алонзо Чёрч

Почему нет?

def g():
    if halts(g):
        loop_forever()

Машина Тьюринга

Бесконечная лента, головка и правила перехода

Лямбда-исчисление

Переменные: $x$ , $y$
Применение: $f x$ , $f x y = (f x) y$
Абстракция: $\lambda x . f x$
Бета-редукция:

$(\lambda x . f z) y = f y$
Функции нескольких переменных? $\lambda x . (\lambda y . f x y)$
Рекурсия? $Y=\lambda f\,.(\lambda x\,. f(x\ x))\;(\lambda x\,. f(x\ x))$

Проблема останова?

(\lambda x . x) (\lambda x . x)

(\lambda x . x) (\lambda x . x)

Типизированное

λ-исчисление

Каждая переменная имеет тип: $e : \tau$
Если $x : \sigma$ , $e : \tau$ , то $\lambda x . e : \sigma \to \tau$
Если $e_1 : \sigma \to \tau$ , $e_2 : \sigma$ , то $e_1 e_2 : \tau$

Haskell как реализация лямбда-исчисления

f :: Integer -> String
f = \x -> (show x) ++ "!"

b :: String
b = f 1

fact :: Integer -> Integer
fact 0 = 1
fact n = n * fact (n - 1)

Изоморфизм

Карри-Говарда

Хаскел Карри

Все высказывания — типы
Есть терм — есть доказательство

\frac{A \quad (A \to B)}{B} \qquad \frac{a : A,\; f : A \to B}{f a : B}

\frac{A \quad (A \to B)}{B} \qquad \frac{a : A,\; f : A \to B}{f a : B}

\frac{A \vdash B}{A \to B} \qquad \frac{a : A \vdash b : B}{\lambda a . b : A \to B}

\frac{A \vdash B}{A \to B} \qquad \frac{a : A \vdash b : B}{\lambda a . b : A \to B}

Автоматическое доказательство и проверка кода

1989 — первая версия доказывателя теорем
2004 — проверка теоремы о четырёх красках
2015 — баг в TimSort, найденный с помощью KeY

Made with Slides.com