Ранняя история и математические основы программирования:

Чёрч, Карри, Тьюринг

Кольцов Максим

Наивная теория множеств

Георг Кантор

  • 1870-1900 — создание Кантором основных идей теории
  • 1901— парадокс Рассела. Проблема теории Кантора — слишком "общее" построение множеств
\exists y \forall x (x \in y \Leftrightarrow P(x))
∃y∀x(x∈y⇔P(x))\exists y \forall x (x \in y \Leftrightarrow P(x))
\forall x (x \in y \Leftrightarrow x \in\!\!\!\!\!/ \; x)
∀x(x∈y⇔x∈/x)\forall x (x \in y \Leftrightarrow x \in\!\!\!\!\!/ \; x)
  • 1908-1921 — аксиоматика ZF
  • 1931 — теоремы Гёделя о неполноте

Математическая логика

  • Классическая логика: исчисление высказываний
  • Логика первого порядка: кванторы
  • Интуиционистская логика: важность доказательства
  • Математический конструктивизим
\frac{A \quad (A \to B)}{B}
A(A→B)B\frac{A \quad (A \to B)}{B}

Modus Ponens

Проблема останова

  • Проблема Гильберта — есть ли алгоритм, доказывающий формулы?
  • 1935-1936 — Алонзо Чёрч и Алан Тьюринг: нет

Алан Тьюринг

Алонзо Чёрч

Почему нет?

def g():
    if halts(g):
        loop_forever()

Машина Тьюринга

Бесконечная лента, головка и правила перехода

Лямбда-исчисление

  • Переменные: \( x \), \( y \)

  • Применение: \( f x \), \( f x y = (f x) y \)

  • Абстракция: \( \lambda x . f x \)

  • Бета-редукция:

    $$ (\lambda x . f z) y = f y $$

  • Функции нескольких переменных? \( \lambda x . (\lambda y . f x y) \)

  • Рекурсия? \( Y=\lambda f\,.(\lambda x\,. f(x\ x))\;(\lambda x\,. f(x\ x)) \)

Проблема останова?

(\lambda x . x) (\lambda x . x)
(λx.x)(λx.x)(\lambda x . x) (\lambda x . x)

Типизированное

λ-исчисление

  • Каждая переменная имеет тип: \( e : \tau \)
  • Если \( x : \sigma \), \(e : \tau \), то \( \lambda x . e : \sigma \to \tau \)
  • Если \( e_1 : \sigma \to \tau \), \( e_2 : \sigma \), то \( e_1 e_2 : \tau \)

Haskell как реализация лямбда-исчисления

f :: Integer -> String
f = \x -> (show x) ++ "!"

b :: String
b = f 1

fact :: Integer -> Integer
fact 0 = 1
fact n = n * fact (n - 1)

Изоморфизм

Карри-Говарда

Хаскел Карри

  • Все высказывания — типы
  • Есть терм — есть доказательство
\frac{A \quad (A \to B)}{B} \qquad \frac{a : A,\; f : A \to B}{f a : B}
A(A→B)Ba:A,f:A→Bfa:B\frac{A \quad (A \to B)}{B} \qquad \frac{a : A,\; f : A \to B}{f a : B}
\frac{A \vdash B}{A \to B} \qquad \frac{a : A \vdash b : B}{\lambda a . b : A \to B}
A⊢BA→Ba:A⊢b:Bλa.b:A→B\frac{A \vdash B}{A \to B} \qquad \frac{a : A \vdash b : B}{\lambda a . b : A \to B}

Автоматическое доказательство и проверка кода

  • 1989 — первая версия доказывателя теорем
  • 2004 — проверка теоремы о четырёх красках
  • 2015 — баг в TimSort, найденный с помощью KeY
Made with Slides.com