"Matching Auctions for Search and Native Ads", 2018

Анонс

Аукционы рекламы
- allocation
- pricing
Separability нереалистично
Allocation curves
SGP- и VCG-цены
Эффективные алгоритмы
Две части доклада

Часть 1,

мотивационная

slabod@

MEM-seminar, 02.04.2019

Введение

\ge

\ge

\ge

\ge

\ge

\ge

$1$

$3$

$2$

$4$

$,p_{i_1}$

$,p_{i_2}$

$,p_{i_3}$

$,p_{i_4}$

i_1, b_{i_1}, v_{i_1}

i_1, b_{i_1}, v_{i_1}

i_2, b_{i_2}, v_{i_2}

i_2, b_{i_2}, v_{i_2}

i_3, b_{i_3}, v_{i_3}

i_3, b_{i_3}, v_{i_3}

i_4, b_{i_4}, v_{i_4}

i_4, b_{i_4}, v_{i_4}

$p_k \le b_k$

Формализация

Участники $i \in$
Слоты $j \in$
Вероятность клика
Utility
Ожидаемая польза

,n \ge m

,n \ge m

I

I

J

J

1

1

1

1

n

n

m

m

j

j

i

i

Задача платформы

Принять ставки $b_i \longleftrightarrow v_i$
Разместить биддеров по слотам
Максимизировать SW по $\sigma:$
$\sum\limits_j v_{i, j} \;=\; \sum\limits_j b_{\sigma(j)} \pi_{\sigma(j), j}$
Определить цены

$\sigma: J \to I$

$\sigma(j) = i$

Separability

$\sum_j \pi_{\sigma(j), j} b_{\sigma(j)} \;=$

$\sum_i x_i y_i \;\to\; \max$

x_1 \ge x_2 \ge \ldots \ge x_n

x_1 \ge x_2 \ge \ldots \ge x_n

y_1 \ge y_2 \ge \ldots \ge y_n

y_1 \ge y_2 \ge \ldots \ge y_n

b_1\beta_1 \ge b_2\beta_2 \ge \ldots \ge b_n\beta_n

b_1\beta_1 \ge b_2\beta_2 \ge \ldots \ge b_n\beta_n

ранжирование:

GSP — generalized second price auction

b_1\beta_1 \ge b_2\beta_2 \ge \ldots \ge b_n\beta_n

b_1\beta_1 \ge b_2\beta_2 \ge \ldots \ge b_n\beta_n

ранжирование:

минимальная возможная для $\sigma(j)$ для слота $j$ :

b_{\sigma(j)}\beta_{\sigma(j)} \ge b_{\sigma(j + 1)}\beta_{\sigma(j + 1)}

b_{\sigma(j)}\beta_{\sigma(j)} \ge b_{\sigma(j + 1)}\beta_{\sigma(j + 1)}

p_{\sigma(j)}

p_{\sigma(j)}

GSP — generalized second price auction

Существование равновесия
Легко анализируется и вычисляется
Separability критична

Нереалистичность separability: native ads

Внутри контента
1 – 2 рекламы на экране
$\alpha_j$ — вероятность увидеть слот $j$
— уменьшается
$\beta_i$ зависит от типа рекламы:
- CPM — per-impression, $\beta_i = 1$
- CPC — per click, $\beta_i = Pr[click | view]$
- conversion / app-installation, $\beta_i = \,?$

модель CPM сепарабельна:

$\pi_{i, j} = \alpha_j$

Нереалистичность separability: CPC

вероятность клика при условии просмотра: Yahoo Native Ads, 17m просмотров

другой смысл $\alpha_i$ , чем для CPM

Нереалистичность separability

Разные векторы $\alpha$ для разных моделей?
Не работает для смешанных моделей
Реклама в поиске по разному привлекает пользователя в зависимости от слота

Основные вопросы: allocation

I

I

J

J

1

1

1

1

n

n

m

m

j

j

i

i

Как определить соответствие bidder — slot без отделимости?

$\sigma(.):$ $\sum_j \pi_{\sigma(j), j} b_{\sigma(j)} \; \to \max$

Hungarian method: $O(nm^2)$

time $\le 1ms$

Yahoo Native Ads:

Паросочетания!

$\sigma: J \to I$

$\sigma(j) = i$

Основные вопросы: pricing

Как назначать цены для максимального паросочетания?

равновесны
вычислимы

VCG: Vickrey-Clarke-Groves mechanism

b \in B_1 \times B_2 \times \ldots \times B_n

b \in B_1 \times B_2 \times \ldots \times B_n

x: B_1 \times \ldots \times B_n \to \Sigma

x: B_1 \times \ldots \times B_n \to \Sigma

x(b) = \sigma = \argmax\limits_{\sigma}(SW)

x(b) = \sigma = \argmax\limits_{\sigma}(SW)

z \in Z

z \in Z

SW(z) = \sum\limits_b r_b(z) =

SW(z) = \sum\limits_b r_b(z) =

VCG: prices

p_a(z) =

p_a(z) =

-

-

u_a(z) - (

u_a(z) - (

-

-

)

)

цена

SW(z) =

SW(z) =

выигрыш $a:$

VCG: truthfulness

1. Честный вариант

=

=

2. Нечестный вариант

сообщили $r_a(.) = u_a(.)$

сообщили $r'_a(.) \neq u_a(.)$

u_a(z') + \sum\limits_{b \neq a} r_b(z') \,\le\, r_a(z) + \sum\limits_{b \neq a} r_b(z)

u_a(z') + \sum\limits_{b \neq a} r_b(z') \,\le\, r_a(z) + \sum\limits_{b \neq a} r_b(z)

= \max\limits_{x} \, \{\, u_a(x) + \sum\limits_{b \neq a} r_b(x) \,\}

= \max\limits_{x} \, \{\, u_a(x) + \sum\limits_{b \neq a} r_b(x) \,\}

VCG

Популярное решение без separability
Тяжело перейти с GSP
Yahoo: 20% ожидаемое падение выручки
Google Adwords

Allocation curves

Обобщения GSP?

(b_i, b_{-i}) \, \to \, Pr[\text{click on ad i}]

(b_i, b_{-i}) \, \to \, Pr[\text{click on ad i}]

t_1

t_1

t_2

t_2

t_3

t_3

t_4

t_4

0

0

1

1

0

0

Pr

Pr

b_i

b_i

фиксируем $b_{-i}$

Allocation curves: преимущества

Гибкость:
- подходит для разных механизмов цен
- можно вычислить GSP-пороги
- можно вычислить VCG-цены
Прозрачность:
- прогнозы и проверки
- информация для биддеров
- анализ цен

t_1

t_1

t_2

t_2

t_3

t_3

t_4

t_4

0

0

1

1

0

0

Pr

Pr

b_i

b_i

Allocation curves: separability

t_1

t_1

t_2

t_2

t_3

t_3

t_4

t_4

0

0

1

1

0

0

Pr

Pr

b_i

b_i

b_1\beta_1 \ge b_2\beta_2 \ge \ldots \ge b_n\beta_n

b_1\beta_1 \ge b_2\beta_2 \ge \ldots \ge b_n\beta_n

$\sum_j \pi_{\sigma(j), j} b_{\sigma(j)} \;=$

$\max \; SW$

\Leftrightarrow

\Leftrightarrow

Allocation curves: separability

Allocation curves: non-separability

SW =

SW =

b_2 = 1\$

b_2 = 1\$

Наивный алгоритм

Пусть ставки сделаны с точностью до цента

Для фиксированного $i \in I$ найдём

Для каждого слота $j \in J$
Бинпоиск ставки за $O(\log(100b_i))$
Поиск max паросочетания за $O(nm^2)$

Мы найдём все $a_i(.)$ за $O(nm^2)$ !

Multi-dimensional bidding

Думаем про конверсии:

Покупка
Загрузка приложения
Создание аккаунта
Чтение сайта долгое время

Multi-dimensional bidding

:\; f_i(b_i) = j

:\; f_i(b_i) = j

ожидаемая польза:

Мы снова найдём все $f_i(.)$ за $O(nm^2)$ !

Структура $a_i(.)$

Утверждение
$a_i(b) = p_i$ возрастает с увеличением $b$

b_1 < b_2

b_1 < b_2

p_1 > p_2

p_1 > p_2

V_1 < V_2

V_1 < V_2

V_1 + p_1(b_2 - b_1) \le V_2

V_1 + p_1(b_2 - b_1) \le V_2

I

I

J

J

1

1

1

1

n

n

m

m

j

j

i

i

p_1

p_1

p_2

p_2

пусть не так:

V_2 - p_2(b_2 - b_1) \le V_1

V_2 - p_2(b_2 - b_1) \le V_1

p_1(b_2 - b_1) \le p_2(b_2 - b_1)

p_1(b_2 - b_1) \le p_2(b_2 - b_1)

p_1 \le p_2

p_1 \le p_2

?!

?!

Часть 2,

алгоритмическая

slabod@

MEM-seminar, 09.04.2019

Напоминание

I

I

J

J

1

1

1

1

n

n

m

m

j

j

i

i

p_1

p_1

p_2

p_2

n - m

n - m

\subseteq J'

\subseteq J'

0

0

$\sigma(.):$ $V^{\sigma} \,= \, \sum_j \pi_{\sigma(j), j} b_{\sigma(j)} \; \to \max$

$\sigma: J' \to I$

$\sigma(j) = i$

n

n

(b_i, b_{-i}) \, \to \, Pr[\text{click on ad i}]

(b_i, b_{-i}) \, \to \, Pr[\text{click on ad i}]

Напоминание

I

I

J

J

1

1

1

1

n

n

m

m

j

j

j

j

p_1

p_1

p_2

p_2

n - m

n - m

\subseteq J'

\subseteq J'

$\sigma^* = \argmax(V^{\sigma})$

$\sigma^*(j) = j$

n

n

$\sigma^*$

План

= \, Pr[\text{click on ad i}]

= \, Pr[\text{click on ad i}]

Венгерский метод для максимального паросочетания
Max паросочетание с $\sigma(j) = i$
— min путь в $G$ между вершинами $i, j$
Floyd–Warshall $\Rightarrow$ все пути $\Rightarrow$ allocation curves
Алгоритм 1 за $O(n^3)$
Алгоритм 2 за $O(nm^2)$

Граф возможностей (augmentation graph)

1

1

1

1

j

j

j

j

i

i

Граф изменений (augmentating subgraph)

1

1

1

1

j

j

t

t

i

i

\sigma \to \sigma'

\sigma \to \sigma'

\sigma'

\sigma'

\sigma

\sigma

$t$ единственно

Свойства $H^{\sigma \to \sigma'}$ : структура

1

1

1

1

j

j

t

t

i

i

\sigma'

\sigma'

\sigma

\sigma

все входящие и исходящие степени

в $H^{\sigma \to \sigma'}$ равны $1$

Свойства $H^{\sigma \to \sigma'}$ : циклы

очевидно

\Rightarrow

\Rightarrow

\Rightarrow

\Rightarrow

$H$ разбивается на циклы

Фиксирование $\sigma(x) = y$

(i, j) \in C_0

(i, j) \in C_0

(x, y) \in C_0

(x, y) \in C_0

\sigma^* \cup C_0

\sigma^* \cup C_0

Фиксирование $\sigma(x) = y$

\Rightarrow

\Rightarrow

\Rightarrow

\Rightarrow

$\sigma'$ не оптимально

отрицательный цикл в $G_v$

\Rightarrow

\Rightarrow

\Rightarrow

\Rightarrow

$\sigma^*$ не оптимально

\sigma^* \cup C_0

\sigma^* \cup C_0

\sigma^* \cup C_0

\sigma^* \cup C_0

Фиксирование $\sigma(x) = y$

Кратчайшие пути

*

*

+

+

Обратная $\sigma$

$\sigma: J' \to I$

$\sigma(j) = i$

$\sigma^{-1}: I \to J'$

$\sigma^{-1}(i) = j$

$V^{\sigma}_{-i} \,= \, V^{\sigma} - \pi_{i, \sigma^{-1}(i)} b_i$

$\pi_{\sigma(j), j} b_{\sigma(j)} \,=\, \pi_{i, \sigma^{-1}(i)} b_i$

$V^{\sigma} \,= \, V^{\sigma}_{-i} + \pi_{i, \sigma^{-1}(i)} b_i$

для произвольной ставки $b_i:$

1

1

1

1

i

i

j

j

b_i

b_i

\sigma

\sigma

Configuration line

(b_i, b_{-i}) \, \to \, Pr[\text{click on ad i}]

(b_i, b_{-i}) \, \to \, Pr[\text{click on ad i}]

t_1

t_1

t_2

t_2

t_3

t_3

t_4

t_4

0

0

1

1

0

0

Pr

Pr

b_i

b_i

a_i(b_i)

a_i(b_i)

(здесь докладчик рисует картинки

и машет руками)

Нужные configuration line

\Rightarrow

\Rightarrow

коэффициент $\pi_{x, y}$ постоянен

\Rightarrow

\Rightarrow

максимизируем $V^{\sigma}_{-x}$ по $\sigma$

O(n^3)

O(n^3)

O(n^3)

O(n^3)

O(n^3)?

O(n^3)?

O(nm^2)

O(nm^2)

O(nm^2)

O(nm^2)

O(nm^2)

O(nm^2)

Upper envelope для $m$ прямых за $O(m^2)$

Пусть даны $m$ прямых вида $y = a_i x + b_i$
Добавляем прямые по очереди
Для каждой сохраняем её отрезки максимальности
При добавлени:
- ищем $\le m$ точек пересечения,
- $\le 2$ из них максимальны
- Изменяем $\le m$ отрезков максимальности

Спасибо за внимание!