«Position Auctions»
by Hal R. Varian, 2006
slabod@
MEM-seminar, 26.07.2018
Введение
$$x_1, p_1, v_1$$
$$x_2, p_2, v_2$$
$$x_3, p_3, v_3$$
$$x_4, p_4, v_4$$
\ge
\ge
\ge
Формализация
- участники
- позиции
- CTR — clickthrough-rate
для
$$A > S$$
Ценность клика
для \(a\) ценность \(v_1\)
выгода \(u_{as} = v_a x_s\)
порядок \(b_1 > b_2 > \ldots > b_A\)
цены \(p_i = b_{i + 1}\)
\(v_s, \, x_s, \, p_s = b_{s + 1}, \, u_s\)
Net profit
Nash equilibrium
известно:
Symmetric Nash equilibrium
\Leftrightarrow
SNE \(\subseteq\) NE
Неотрицательная выгода
Возрастающая ценность клика
Возрастающие цены (?!)
Возрастающие цены (!)
+ \, \{\ldots\}
\Rightarrow
SNE
NE
\Rightarrow
SNE
\Rightarrow
Проверка одного шага
Явное решение SNE
s \rightarrow s + 1
s + 1 \rightarrow s
\Rightarrow
\Rightarrow
\Rightarrow
\Rightarrow
\Rightarrow
Верхнее и нижнее решение
\Rightarrow
\Rightarrow
Крайний случай рекурсии
\Rightarrow
\Rightarrow
Первый исключённый ставит свою ценность
≈ Vickrey auction
Граничные значения
выгода на позиции \(s \: = \)
максимальная ставка, пока \(s + 1\) не захочет поменяться:
\Rightarrow
Граничные значения
выгода на позиции \(s \: = \)
максимальная ставка без убытка при обмене с \(s + 1\):
\Rightarrow
NE revenue vs SNE revenue
NE revenue vs SNE revenue
— максимум NE
— максимум SNE
\Rightarrow
\ge
\Rightarrow
\Rightarrow
\ge
NE revenue vs SNE revenue
Vickrey-Clarke-Groves (VCG) mechanism
z \in Z
Доказательство truthfulness
1. Честный вариант
=
2. Нечестный вариант
сообщили \(r_a(.)\)
сообщили \(r'_a(.)\)
u_a(z') + \sum\limits_{b \neq a} r_b(z') \,\le\, r_a(z) + \sum\limits_{b \neq a} r_b(z)
= \max\limits_{x} \, \{\, u_a(x) + \sum\limits_{b \neq a} r_b(x) \,\}
VCG для position auctions
цена
Bounds on values
\Rightarrow
\Rightarrow
\Rightarrow
\Rightarrow
Bounds on values
\Rightarrow
- Условия существования решения
- Механизм определения \(b_a\)
- Возрастание marginal cost клика
\Rightarrow
Геометрическая интерпретация
Геометрическая интерпретация
Аукционы рекламы
участники упорядочены по
минимальный платёж для позиции \(t\)
для участника \(s\) —
\Rightarrow
Аукционы рекламы
Nash equilibrium
\Rightarrow
\Rightarrow
\Rightarrow
Аукционы рекламы
Эмпирический анализ
Эмпирический анализ
Эмпирический анализ
Спасибо за внимание!