Traccia

Geometria analitica nello spazio: Condizioni di parallelismo e perpendicolarità tra retta e piano e loro posizione reciproca

La classe

Indirizzo: Liceo Scientifico Tradizionale

Anno: II anno II biennio (IV anno)

Rifermento normativo: Indicazioni nazionali riguardanti gli obiettivi specifici di apprendimento (DPR 89/2010)

Composizione classe: 20-25 alunni e alunne, con possibili casi di DSA discalculici (107/2010)

TIC

Geogebra: - costruzione retta e piano nello spazio

- studio delle posizioni reciproche tra retta e piano nello spazio

-Lezioni frontali

-Esercizi svolti

- Strumenti digitali

-BYOD

Metodologie

Obiettivi specifici di apprendimento

CONOSCENZE: piani e rette nello spazio, loro posizioni reciproche, perpendicolarità e parallelismo
ABILITÀ: scrivere le equazioni di un piano e una retta nello spazio, determinare le loro posizioni reciproche
COMPETENZE: applicare gli strumenti della geometria analitica e dell'algebra lineare per studiare la disposizone di rette e piani nello spazio

Programma lezioni

Lezione 1. Richiami di geometria analitica euclidea nello spazio

Lezione 2. Richiami di algebra lineare e condizioni di parallelismo e perpendicolarità tra retta e piano nello spazio

Lezione 3. Studio delle posizioni reciproche retta-piano

Lezione 4. Verifica competenze acquisite

Prerequisiti

Calcolo algebrico e polinomi
Geometria analitica nel piano
Geometria euclidea nel piano
Sistemi di equazioni lineari
Calcolo vettoriale e matriciale

Differenziazione obiettivi di apprendimento

Livello alto: analizzare in dettaglio i casi degeneri delle equazioni studiate sia analaticamente che con GeoGebra
Livello base: assimilare e risolvere semplici esercizi inerenti al materiale presentato
DSA discalculici: risolvere e interpretare le equazioni attraverso il solo utilizzo di GeoGebra

Lezione 1

L'equazione della retta nel piano $Oxy$

ax+by = c \ \ \ a,b,c\in\mathbb{R}

ax+by = c \ \ \ a,b,c\in\mathbb{R}

Formula in coordinate cartesiane

Retta passante per due punti $P,Q$

\frac{y-y_Q}{y_P-y_Q} = \frac{x-x_Q}{x_P-x_Q}

\frac{y-y_Q}{y_P-y_Q} = \frac{x-x_Q}{x_P-x_Q}

Formula parametrica, di parametro $t\in\mathbb{R}$

y = t(y_P-y_Q) + y_Q \\ x = t(x_P-x_Q) + x_Q

y = t(y_P-y_Q) + y_Q \\ x = t(x_P-x_Q) + x_Q

L'equazione della retta nello spazio $Oxyz$

a_1x+b_1y+c_1z = d_1\\ a_2x+b_2y+c_2z = d_2

a_1x+b_1y+c_1z = d_1\\ a_2x+b_2y+c_2z = d_2

Formula in coordinate cartesiane: intersezione di due piani

Retta passante per due punti $P,Q$

\frac{z-z_Q}{z_P-z_Q} =\frac{y-y_Q}{y_P-y_Q} = \frac{x-x_Q}{x_P-x_Q}

\frac{z-z_Q}{z_P-z_Q} =\frac{y-y_Q}{y_P-y_Q} = \frac{x-x_Q}{x_P-x_Q}

Formula parametrica, di parametro $t\in\mathbb{R}$

z = t(z_P-z_Q) + z_Q \ \ \ y = t(y_P-y_Q) + y_Q \\ x = t(x_P-x_Q) + x_Q

z = t(z_P-z_Q) + z_Q \ \ \ y = t(y_P-y_Q) + y_Q \\ x = t(x_P-x_Q) + x_Q

\lbrace

\lbrace

L'equazione della retta nello spazio $Oxyz$

x+y+z = 1\\ ax+by+cz = d

x+y+z = 1\\ ax+by+cz = d

\lbrace

\lbrace

https://www.geogebra.org/3d/j2rcg2zj

L'equazione della retta nello spazio $Oxyz$

https://www.geogebra.org/3d/awk23tyv

P=(a,b,c) \ \ Q=(d,a,b)

P=(a,b,c) \ \ Q=(d,a,b)

L'equazione del piano nello spazio $Oxyz$

ax+by+cz = d \ \ \ a,b,c,d\in\mathbb{R}

ax+by+cz = d \ \ \ a,b,c,d\in\mathbb{R}

Formula in coordinate cartesiane

Piano passante per tre punti $P,Q,R$

det\begin{bmatrix} x-x_P & y-y_P & z-z_P \\ x_Q-x_P & y_Q-y_P & z_Q-z_P \\ x_R-x_P & y_R-y_P & z_R-z_P \end{bmatrix}=0

det\begin{bmatrix} x-x_P & y-y_P & z-z_P \\ x_Q-x_P & y_Q-y_P & z_Q-z_P \\ x_R-x_P & y_R-y_P & z_R-z_P \end{bmatrix}=0

Formula parametrica, di parametri $t,s\in\mathbb{R}$

z-z_R = t(z_P-z_Q) + s(z_P-z_R)\ \ \ y-y_R = t(y_P-y_Q) + s(y_P-y_R) \\ x-x_R = t(x_P-x_Q) + s(x_P-x_R)

z-z_R = t(z_P-z_Q) + s(z_P-z_R)\ \ \ y-y_R = t(y_P-y_Q) + s(y_P-y_R) \\ x-x_R = t(x_P-x_Q) + s(x_P-x_R)

L'equazione del piano nello spazio $Oxyz$

ax+by+cz = d \ \ \ a,b,c,d\in\mathbb{R}

ax+by+cz = d \ \ \ a,b,c,d\in\mathbb{R}

https://www.geogebra.org/3d/pwdvq4pc

L'equazione del piano nello spazio $Oxyz$

Piano passante per tre punti $P,Q,R$

https://www.geogebra.org/3d/zrgnsngf

Lezione 2

Rette parallele nel piano $Oxy$

a_1x+b_1y = c_1 \ \ \ a_2x+b_2y = c_2

a_1x+b_1y = c_1 \ \ \ a_2x+b_2y = c_2

sono parallele se e solo se

a_1b_2=a_2b_1

a_1b_2=a_2b_1

Due rette nel piano in coordinate cartesiane

det\begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{bmatrix}=0

det\begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{bmatrix}=0

\iff

\iff

\iff

\iff

\begin{bmatrix} a_1\\ b_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a_2 \\ b_2 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} a_1\\ b_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a_2 \\ b_2 \end{bmatrix}

sono paralleli

Rette perpendicolari nel piano $Oxy$

a_1x+b_1y = c_1 \ \ \ a_2x+b_2y = c_2

a_1x+b_1y = c_1 \ \ \ a_2x+b_2y = c_2

sono perpendicolari se e solo se

a_1a_2+b_1b_2=0

a_1a_2+b_1b_2=0

Due rette nel piano in coordinate cartesiane

\iff

\iff

\begin{bmatrix} a_1\\ b_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a_2 \\ b_2 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} a_1\\ b_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a_2 \\ b_2 \end{bmatrix}

sono perpendicolari

\langle\begin{bmatrix} a_1\\ b_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a_2 \\ b_2 \end{bmatrix}\rangle=0

\langle\begin{bmatrix} a_1\\ b_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a_2 \\ b_2 \end{bmatrix}\rangle=0

\iff

\iff

Retta parallela ad un piano nello spazio $Oxyz$

a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2

a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2

sono paralleli se e solo se

Una retta

det\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}=0

det\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}=0

e un piano nello spazio in coordinate cartesiane

a_3x+b_3y+c_3z=d_3

a_3x+b_3y+c_3z=d_3

\lbrace

\lbrace

Retta parallela ad un piano nello spazio $Oxyz$

https://www.geogebra.org/3d/etaqzbyr

Rette perpendicolari nel piano $Oxy$

a_1x+b_1y = c_1 \ \ \ a_2x+b_2y = c_2

a_1x+b_1y = c_1 \ \ \ a_2x+b_2y = c_2

sono perpendicolari se e solo se

a_1a_2+b_1b_2=0

a_1a_2+b_1b_2=0

Due rette nel piano in coordinate cartesiane

\iff

\iff

\begin{bmatrix} a_1\\ b_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a_2 \\ b_2 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} a_1\\ b_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a_2 \\ b_2 \end{bmatrix}

sono perpendicolari

\langle\begin{bmatrix} a_1\\ b_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a_2 \\ b_2 \end{bmatrix}\rangle=0

\langle\begin{bmatrix} a_1\\ b_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a_2 \\ b_2 \end{bmatrix}\rangle=0

\iff

\iff

Retta perpendicolare ad un piano nello spazio $Oxyz$

a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2

a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2

Una retta

e un piano nello spazio in coordinate cartesiane

a_3x+b_3y+c_3z=d_3

a_3x+b_3y+c_3z=d_3

sono perpendicolari se e solo se

\langle\begin{bmatrix} a_1\\ b_1 \\ c_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a_3 \\ b_3 \\ c_3 \end{bmatrix}\rangle=0

\langle\begin{bmatrix} a_1\\ b_1 \\ c_1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a_3 \\ b_3 \\ c_3 \end{bmatrix}\rangle=0

\langle\begin{bmatrix} a_2\\ b_2 \\ c_2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a_3 \\ b_3 \\ c_3 \end{bmatrix}\rangle=0

\langle\begin{bmatrix} a_2\\ b_2 \\ c_2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a_3 \\ b_3 \\ c_3 \end{bmatrix}\rangle=0

\lbrace

\lbrace

Retta perpendicolare ad un piano nello spazio $Oxyz$

https://www.geogebra.org/3d/bvqbpuxe

Lezione 3

Posizioni reciproche tra rette nel piano $Oxy$

a_1x+b_1y = c_1 \ \ \ a_2x+b_2y = c_2

a_1x+b_1y = c_1 \ \ \ a_2x+b_2y = c_2

Due rette nel piano in coordinate cartesiane

Parallele non coincidenti

Incidenti

Rette coincidenti

A:=\begin{bmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{bmatrix} \hspace{1cm} A|c:=\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2 \end{bmatrix}

A:=\begin{bmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{bmatrix} \hspace{1cm} A|c:=\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2 \end{bmatrix}

$Rk(A)<Rk(A|c)$
$Rk(A)=Rk(A|c)=2$
$Rk(A)=Rk(A|c)=1$

Posizioni reciproche tra retta e piano nello spazio $Oxyz$

a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2

a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2

Una retta

e un piano nello spazio in coordinate cartesiane

a_3x+b_3y+c_3z=d_3

a_3x+b_3y+c_3z=d_3

Paralleli con la retta esterna al piano

Incidenti

Retta giace sul piano

A:=\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix} \hspace{1cm} A|d:=\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1\\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2\\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \end{bmatrix}

A:=\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix} \hspace{1cm} A|d:=\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1\\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2\\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \end{bmatrix}

$Rk(A)<Rk(A|d)$
$Rk(A)=Rk(A|d)=3$
$Rk(A)=Rk(A|d)=2$

\lbrace

\lbrace

Posizioni reciproche tra retta e piano nello spazio $Oxyz$

https://www.geogebra.org/3d/dyrdef4d

Lezione 4

Esercizi classici di calcolo dei punti di intersezione retta-piano nello spazio
Prova laboratoriale con GeoGebra

N.B.: per i DSA discalculici solo prova 2.

Bibliografia

Libro di testo

Matematica blu Zanichelli 2.0 - Geometria nello spazio

GeoGebra

https://wiki.geogebra.org/it

Normative

L. 107/2015 - Buona scuola
L. 170/2010 - DSA
D.P.R. 89/2010 - Regolamento licei

Prova orale concorso ordinario