Fall med luftmotstånd

En iterativ modell

En boll kastas rakt upp i luften. Vi vill beskriva dess hastighet och läge i höjdled som funktion av tiden, givet att det finns ett luftmotstånd.

Disclaimer: beräkningarna och parametrarnas värden på de följande slajdarna syftar inte nödvändigtvis på en verklig boll under normala omständigheter; de syftar till att demonstrera en modell för hur rörelse under inverkan av luftmotstånd i ett gravitationsfält kan hanteras.

I en förenklad modell av rörelse under inverkan av luftmotstånd gäller att luftmotståndet är proportionellt mot hastigheten och motriktad denna. Eftersom hastigheten varierar kommer även luftmotståndet att göra det.

F_\text{luft}

ma=F_\text{res}

\displaystyle m\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{-dy}{dt}\;k\;-mg

Hastighet i mot-
satt riktning

Proportionalitetskonstant

Tyngden i
negativ riktning

Det som är markerat med rött är luftmotståndets bidrag till den resulterande kraften, medan tyngden är konstant oavsett luftmotstånd.

Modell för fall med luftmotstånd

Vi utgår från Newtons andra lag.

Här gäller att

a=\frac{d^2y}{dt^2}

v=\frac{dy}{dt}

och

\displaystyle m\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{-dy}{dt}\;k\;-mg

Hastigheten betecknas med \(v\):

\left\{\begin{matrix} &\frac{dy}{dt}&=& v\\[6pt] &\frac{dv}{dt}&=&\frac{-kv}{m}-g \end{matrix} \right .

\left\{\begin{matrix} &\frac{\Delta y}{\Delta t}&\approx& v\\[6pt] &\frac{\Delta v}{\Delta t}&\approx&\frac{-kv}{m}-g \end{matrix} \right .

\Rightarrow

\left\{\begin{matrix} &\Delta y&\approx& v \Delta t\\[6pt] &\Delta v&\approx&\left(\frac{-kv}{m}-g\right)\Delta t \end{matrix} \right .

\Rightarrow

\left\{\begin{matrix} &y_1&\approx& y_0 + v_1 \Delta t\\[6pt] &v_1&\approx& v_0 + \left(\frac{-kv_0}{m}-g\right)\Delta t \end{matrix} \right .

Här gäller att \(\Delta y = y_1-y_0\) och \(\Delta v = v_1-v_0\)

Förutsatt att vi känner till värdet på \(y_0\) och \(v_0\) vid en given tidpunkt \(t_0\), kan ett nytt värde bestämmas som gäller vid tidpunkten \(t_1\).

Ju mindre \(\Delta t\), desto närmare likhet.

Forts. modell för fall med luftmotstånd

\displaystyle\Leftrightarrow \frac{d^2y}{dt^2}=\frac{-k}{m}\frac{dy}{dt}-g

\left\{\begin{matrix} &y_{n+1}&\approx& y_n + v_n \Delta t\\[6pt] &v_{n+1}&\approx& v_n + \left(\frac{-kv_n}{m}-g\right)\Delta t \end{matrix} \right .

Begynnelsevillkor:

\(v_0=10\text{ m/s}\)

\(y_0=0\text{ m}\)

Parametervärden:

\(k=10\text{ Ns/m}\)

\(m=10\text{ kg}\)

\(g=10\text{ m/s}^2\)

Tidsintervall \(\Delta t=0.1\text{ s}\)

v_1\approx v_0 + \left(\frac{-kv_0}{m}-g\right)\Delta t = 10 + (-1\cdot 10 - 10)\cdot 0.1 = 10 - 2 = 8 \text{ m/s}

y_1\approx y_0 + v_1 \Delta t = 0 + 8\cdot 0.1 = 0.8\text{ m}

Eftersom \(y\) är kopplad till \(v\) börjar vi med att beräkna nästföljande \(v\), och använder sedan detta för att beräkna nästa värde på \(y\).

Vi itererar en gång till:

v_2\approx v_1 + \left(\frac{-kv_1}{m}-g\right)\Delta t = 8 + (-1\cdot 8 - 10)\cdot 0.1 = 8 - 1.8 = 6.2 \text{ m/s}

y_2\approx y_1 + v_2 \Delta t = 0.8 + 6.2\cdot 0.1 = 1.42\text{ m}

Genom att lägga in reglerna i ett kalkylark går det enkelt att göra många iterationer och att rita grafer.

Forts. modell för fall med luftmotstånd

Exempel

=A8+$D$4

=B8+C9*$D$4

=C8+($B$4/$C$4*(C8)*(-1)-$A$4)*$D$4

Cellerna med formlerna kopieras nedåt så många steg som iterationen ska fortsätta, därefter kan diagrammen ritas.

Här har 23 iterationer gjorts, det går att göra hundratals.

Google kalkylark

Formel för cell \(\texttt{A9}\)

Formel för cell \(\texttt{B9}\)

Formel för cell \(\texttt{C9}\)