MAA5: Analyyttinen geometria 1/5

ITSEISARVO

ITSEISARVO
ITSEISARVOYHTÄLÖ

ITSEISARVOEPÄYHTÄLÖ

Itseisarvoyhtälö

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälö

|2x-1|=5

|2x-1|=5

Ratkaisu

Yhtälö toteutuu, kun luvun 2x-1 etäisyys nollasta on 5.

Luvut, joiden etäisyys nollasta on 5, ovat -5 ja 5.

Siis

2x-1=5

2x-1=5

tai

2x-1=-5

2x-1=-5

2x=5+1

2x=5+1

2x=6\qquad ||:2

2x=6\qquad ||:2

x=3

x=3

2x=-5+1

2x=-5+1

2x=-4\qquad ||:2

2x=-4\qquad ||:2

x=-2

x=-2

Tarkistetaan vielä sijoittamalla saadut ratkaisut alkuperäiseen yhtälöön:

Perustaso

x=3:\qquad |2\cdot 3-1|=|6-1|=|5|=5

x=3:\qquad |2\cdot 3-1|=|6-1|=|5|=5

|2\cdot (-2)-1|=|-4-1|=|-5|=5

|2\cdot (-2)-1|=|-4-1|=|-5|=5

x=-2:

x=-2:

Vastaus: Yhtälön ratkaisut ovat x=-2 ja x=3

Lause

|a|=|b|, \text{ jos ja vain jos }a=b\text{ tai } a=-b

|a|=|b|, \text{ jos ja vain jos }a=b\text{ tai } a=-b

Taitaja

Esimerkki 2

Ratkaise yhtälö

|x-2|=|5-2x|

|x-2|=|5-2x|

Ratkaisu

Yhtälö toteutuu, jos

x-2=5-2x

x-2=5-2x

tai

x-2=-(5-2x)

x-2=-(5-2x)

x+2x=5+2

x+2x=5+2

3x=7\qquad ||:3

3x=7\qquad ||:3

x=\frac{7}{3}

x=\frac{7}{3}

x-2x=-5+2

x-2x=-5+2

x-2=-5+2x

x-2=-5+2x

-x=-3

-x=-3

x=3

x=3

Vastaus: tai

x=\frac{7}{3}

x=\frac{7}{3}

x=3

x=3

Lause

Lukujen a ja b välinen etäisyys on |a-b|.

Taitaja

Lause: Itseisarvon ominaisuuksia

|a|^2=a^2

|a|^2=a^2

|ab|=|a||b|

|ab|=|a||b|

\sqrt{a^2}=|a|

\sqrt{a^2}=|a|

|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|},\text{ kun }b\neq 0

|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|},\text{ kun }b\neq 0

MAA5: Analyyttinen geometria 1/5 ITSEISARVO ITSEISARVO ITSEISARVOYHTÄLÖ ITSEISARVOEPÄYHTÄLÖ