MAA5: Analyyttinen geometria 1/5

ITSEISARVO

ITSEISARVO
ITSEISARVOYHTÄLÖ

ITSEISARVOEPÄYHTÄLÖ

Itseisarvo

Määritelmä

|a|=\begin{cases}{} a&\ \text{kun}\ a\ge0\\ -a&\ \text{kun}\ a<0 \end{cases}
∣a∣={a kun a≥0−a kun a&lt;0|a|=\begin{cases}{} a&amp;\ \text{kun}\ a\ge0\\ -a&amp;\ \text{kun}\ a&lt;0 \end{cases}

Reaaliluvun a itseisarvo on

Minkään luvun itseisarvo ei siis ole negatiivinen!

  • kertoo luvun etäisyyden nollasta lukusuoralla

|-3| = 3

|3| = 3

Sekä luvun -3 että luvun 3 etäisyys nollasta on 3.

Saat piirrettyä lukusuoran näppärästi GeoGebralla piilottamalla y-akselin ja koordinaattiruudukon näkyvistä.

Perustaso

Itseisarvoyhtälö

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälö

|2x-1|=5
∣2x−1∣=5|2x-1|=5

Ratkaisu

Yhtälö toteutuu, kun luvun 2x-1 etäisyys nollasta on 5. 

Luvut, joiden etäisyys nollasta on 5, ovat -5 ja 5.

Siis

2x-1=5
2x−1=52x-1=5

tai

2x-1=-5
2x−1=−52x-1=-5
2x=5+1
2x=5+12x=5+1
2x=6\qquad ||:2
2x=6∣∣:22x=6\qquad ||:2
x=3
x=3x=3
2x=-5+1
2x=−5+12x=-5+1
2x=-4\qquad ||:2
2x=−4∣∣:22x=-4\qquad ||:2
x=-2
x=−2x=-2

Tarkistetaan vielä sijoittamalla saadut ratkaisut alkuperäiseen yhtälöön:

Perustaso

x=3:\qquad |2\cdot 3-1|=|6-1|=|5|=5
x=3:∣2⋅3−1∣=∣6−1∣=∣5∣=5x=3:\qquad |2\cdot 3-1|=|6-1|=|5|=5
|2\cdot (-2)-1|=|-4-1|=|-5|=5
∣2⋅(−2)−1∣=∣−4−1∣=∣−5∣=5|2\cdot (-2)-1|=|-4-1|=|-5|=5
x=-2:
x=−2:x=-2:

Vastaus: Yhtälön ratkaisut ovat x=-2 ja x=3

Lause

|a|=|b|, \text{ jos ja vain jos }a=b\text{ tai } a=-b
∣a∣=∣b∣, jos ja vain jos a=b tai a=−b|a|=|b|, \text{ jos ja vain jos }a=b\text{ tai } a=-b

Taitaja

Esimerkki 2

Ratkaise yhtälö

|x-2|=|5-2x|
∣x−2∣=∣5−2x∣|x-2|=|5-2x|

Ratkaisu

Yhtälö toteutuu, jos

x-2=5-2x
x−2=5−2xx-2=5-2x

tai

x-2=-(5-2x)
x−2=−(5−2x)x-2=-(5-2x)
x+2x=5+2
x+2x=5+2x+2x=5+2
3x=7\qquad ||:3
3x=7∣∣:33x=7\qquad ||:3
x=\frac{7}{3}
x=73x=\frac{7}{3}
x-2x=-5+2
x−2x=−5+2x-2x=-5+2
x-2=-5+2x
x−2=−5+2xx-2=-5+2x
-x=-3
−x=−3-x=-3
x=3
x=3x=3

Vastaus:                  tai

x=\frac{7}{3}
x=73x=\frac{7}{3}
x=3
x=3x=3

Lause

Lukujen a ja b välinen etäisyys on |a-b|.

Taitaja

Lause: Itseisarvon ominaisuuksia

|a|^2=a^2
∣a∣2=a2|a|^2=a^2
|ab|=|a||b|
∣ab∣=∣a∣∣b∣|ab|=|a||b|
\sqrt{a^2}=|a|
a2=∣a∣\sqrt{a^2}=|a|
|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|},\text{ kun }b\neq 0
∣ab∣=∣a∣∣b∣, kun b̸=0|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|},\text{ kun }b\neq 0

Itseisarvoepäyhtälö

Lause

Epäyhtälön                   ratkaisu:

|x|< a
∣x∣&lt;a|x|&lt; a
\text{1) väli }-a< x< a, \text{ jos }a>0
1) va¨li −a&lt;x&lt;a, jos a&gt;0\text{1) väli }-a&lt; x&lt; a, \text{ jos }a&gt;0
\text{2) ei ratkaisua, jos }a\leq 0.
2) ei ratkaisua, jos a≤0.\text{2) ei ratkaisua, jos }a\leq 0.

Lause

Epäyhtälön                   ratkaisu:

|x|>a
∣x∣&gt;a|x|&gt;a
\text{1) } x<-a \text{ tai } x>a, \text{ jos }a>0.
1) x&lt;−a tai x&gt;a, jos a&gt;0.\text{1) } x&lt;-a \text{ tai } x&gt;a, \text{ jos }a&gt;0.
\text{2) kaikki luvut } x, \text{ jos }a< 0.
2) kaikki luvut x, jos a&lt;0.\text{2) kaikki luvut } x, \text{ jos }a&lt; 0.