Opetus.tv PRO
Opetus.tv
MAA5: Analyyttinen geometria 1/5
ITSEISARVO
ITSEISARVO
ITSEISARVOYHTÄLÖ
ITSEISARVOEPÄYHTÄLÖ
Itseisarvo
Määritelmä
|a|=\begin{cases}{}
a&\ \text{kun}\ a\ge0\\
-a&\ \text{kun}\ a<0
\end{cases}
Reaaliluvun a itseisarvo on
Minkään luvun itseisarvo ei siis ole negatiivinen!
- kertoo luvun etäisyyden nollasta lukusuoralla
|-3| = 3
|3| = 3
Sekä luvun -3 että luvun 3 etäisyys nollasta on 3.
Saat piirrettyä lukusuoran näppärästi GeoGebralla piilottamalla y-akselin ja koordinaattiruudukon näkyvistä.
Perustaso
Itseisarvoyhtälö
Esimerkki 1
Ratkaise yhtälö
|2x-1|=5
Ratkaisu
Yhtälö toteutuu, kun luvun 2x-1 etäisyys nollasta on 5.
Luvut, joiden etäisyys nollasta on 5, ovat -5 ja 5.
Siis
2x-1=5
tai
2x-1=-5
2x=5+1
2x=6\qquad ||:2
x=3
2x=-5+1
2x=-4\qquad ||:2
x=-2
Tarkistetaan vielä sijoittamalla saadut ratkaisut alkuperäiseen yhtälöön:
Perustaso
x=3:\qquad |2\cdot 3-1|=|6-1|=|5|=5
|2\cdot (-2)-1|=|-4-1|=|-5|=5
x=-2:
Vastaus: Yhtälön ratkaisut ovat x=-2 ja x=3
Lause
|a|=|b|, \text{ jos ja vain jos }a=b\text{ tai } a=-b
Taitaja
Esimerkki 2
Ratkaise yhtälö
|x-2|=|5-2x|
Ratkaisu
Yhtälö toteutuu, jos
x-2=5-2x
tai
x-2=-(5-2x)
x+2x=5+2
3x=7\qquad ||:3
x=\frac{7}{3}
x-2x=-5+2
x-2=-5+2x
-x=-3
x=3
Vastaus: tai
x=\frac{7}{3}
x=3
Lause
Lukujen a ja b välinen etäisyys on |a-b|.
Taitaja
Lause: Itseisarvon ominaisuuksia
|a|^2=a^2
|ab|=|a||b|
\sqrt{a^2}=|a|
|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|},\text{ kun }b\neq 0
Itseisarvoepäyhtälö
Lause
Epäyhtälön ratkaisu:
|x|< a
\text{1) väli }-a< x< a, \text{ jos }a>0
\text{2) ei ratkaisua, jos }a\leq 0.
Lause
Epäyhtälön ratkaisu:
|x|>a
\text{1) } x<-a \text{ tai } x>a, \text{ jos }a>0.
\text{2) kaikki luvut } x, \text{ jos }a< 0.
MAA5: Analyyttinen geometria 1/5 Itseisarvo
By Opetus.tv
