Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on A ja valitaan kehältä piste B.

1. Kuinka suuri on pisteiden A ja B välinen etäisyys?

|AB|=\sqrt{(4-1)^2+(4-2)^2}{}
∣AB∣=(4−1)2+(4−2)2|AB|=\sqrt{(4-1)^2+(4-2)^2}{}
|AB|=\sqrt{13}
∣AB∣=13|AB|=\sqrt{13}

Pythagoraan lause

  2. Valitaan kehältä piste (x, y).

       Kuinka kaukana tämä piste on pisteestä A?

(\color{Salmon}x-1)^2+(\color{Salmon}y-2)^2=(\sqrt{13})^2
(x−1)2+(y−2)2=(13)2(\color{Salmon}x-1)^2+(\color{Salmon}y-2)^2=(\sqrt{13})^2

Pythagoraan lause

  3. Mikä on ympyrän yhtälö?

(\color{Salmon}x-1)^2+(\color{Salmon}y-2)^2=13
(x−1)2+(y−2)2=13(\color{Salmon}x-1)^2+(\color{Salmon}y-2)^2=13

Kaikki ympyrän pisteet toteuttavat yhtälön

Ympyrän yhtälö

Jos ympyrän keskipiste on (a, b) ja säde r, niin ympyrän yhtälö on

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Esimerkki

Ympyrän keskipiste on (5,0) ja säde 2. Määritä ympyrän yhtälö.

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
||(a, b)=(5,0)
∣∣(a,b)=(5,0)||(a, b)=(5,0)
(x-5)^2+(y-0)^2=r^2
(x−5)2+(y−0)2=r2(x-5)^2+(y-0)^2=r^2
||r=2
∣∣r=2||r=2
(x-5)^2+y^2=2^2
(x−5)2+y2=22(x-5)^2+y^2=2^2
(x-5)^2+y^2=4
(x−5)2+y2=4(x-5)^2+y^2=4

Ratkaisu

Esimerkki

Ympyrän yhtälö on 

||(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
∣∣(x−a)2+(y−b)2=r2||(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Ratkaisu

x^2+y^2=2.
x2+y2=2.x^2+y^2=2.

Mikä on ympyrän keskipiste ja säde?

x^2+y^2=2
x2+y2=2x^2+y^2=2

Keskipiste (0,0) ja säde 

(x-0)^2+(y-0)^2=(\sqrt{2})^2
(x−0)2+(y−0)2=(2)2(x-0)^2+(y-0)^2=(\sqrt{2})^2
\sqrt{2}.
2.\sqrt{2}.

Esimerkki 

Pistejoukon yhtälö on 

-y^3+x^2+3=0
−y3+x2+3=0-y^3+x^2+3=0

Onko piste (1, -1) pistejoukossa?

Onko piste (2, -1) pistejoukon ala- vai yläpuolella?

a)

b)

Ratkaisu a-kohtaan

Piste (1, -1) on pistejoukossa jos se toteuttaa pistejoukon yhtälön.

-y^3+x^2+3=0
−y3+x2+3=0-y^3+x^2+3=0
-(-1)^3+1^2+3=0
−(−1)3+12+3=0-(-1)^3+1^2+3=0
1+1+3=0
1+1+3=01+1+3=0

Sijoitetaan x = 1 ja y = -1 pistejoukon yhtälöön.

5=0
5=05=0

Epätosi

||x=1, \ y=-1
∣∣x=1, y=−1||x=1, \ y=-1

Piste (1, -1) ei ole pistejoukossa.

Ratkaisu b-kohtaan

Ratkaistaan pistejoukon pisteen y-koordinaatti, kun x-koordinaatti on 2.

-y^3+x^2+3=0
−y3+x2+3=0-y^3+x^2+3=0
||x=2
∣∣x=2||x=2
-y^3+2^2+3=0
−y3+22+3=0-y^3+2^2+3=0
-y^3+7=0
−y3+7=0-y^3+7=0
y^3=7
y3=7y^3=7

Pistejoukon piste 

on pisteen (2,-1) yläpuolella.