Opetus.tv PRO
Opetus.tv
Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on A ja valitaan kehältä piste B.
1. Kuinka suuri on pisteiden A ja B välinen etäisyys?
|AB|=\sqrt{(4-1)^2+(4-2)^2}{}
|AB|=\sqrt{13}
Pythagoraan lause
2. Valitaan kehältä piste (x, y).
Kuinka kaukana tämä piste on pisteestä A?
(\color{Salmon}x-1)^2+(\color{Salmon}y-2)^2=(\sqrt{13})^2
Pythagoraan lause
3. Mikä on ympyrän yhtälö?
(\color{Salmon}x-1)^2+(\color{Salmon}y-2)^2=13
Kaikki ympyrän pisteet toteuttavat yhtälön
Ympyrän yhtälö
Jos ympyrän keskipiste on (a, b) ja säde r, niin ympyrän yhtälö on
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
Esimerkki
Ympyrän keskipiste on (5,0) ja säde 2. Määritä ympyrän yhtälö.
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
||(a, b)=(5,0)
(x-5)^2+(y-0)^2=r^2
||r=2
(x-5)^2+y^2=2^2
(x-5)^2+y^2=4
Ratkaisu
Esimerkki
Ympyrän yhtälö on
||(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
Ratkaisu
x^2+y^2=2.
Mikä on ympyrän keskipiste ja säde?
x^2+y^2=2
Keskipiste (0,0) ja säde
(x-0)^2+(y-0)^2=(\sqrt{2})^2
\sqrt{2}.
Esimerkki
Pistejoukon yhtälö on
-y^3+x^2+3=0
Onko piste (1, -1) pistejoukossa?
Onko piste (2, -1) pistejoukon ala- vai yläpuolella?
a)
b)
Ratkaisu a-kohtaan
Piste (1, -1) on pistejoukossa jos se toteuttaa pistejoukon yhtälön.
-y^3+x^2+3=0
-(-1)^3+1^2+3=0
1+1+3=0
Sijoitetaan x = 1 ja y = -1 pistejoukon yhtälöön.
5=0
Epätosi
||x=1, \ y=-1
Piste (1, -1) ei ole pistejoukossa.
Ratkaisu b-kohtaan
Ratkaistaan pistejoukon pisteen y-koordinaatti, kun x-koordinaatti on 2.
-y^3+x^2+3=0
||x=2
-y^3+2^2+3=0
-y^3+7=0
y^3=7
Pistejoukon piste
on pisteen (2,-1) yläpuolella.
MAA4/5: Ympyrän yhtälö
By Opetus.tv
