Radiaanit

\color{Salmon}\alpha=\dfrac{\color{Orange}b}{\color{CornflowerBlue}r}

α = \frac{​ b ​ ​}{​ r ​}

Kulma radiaaneina määritellään ympyräkaaren pituuden ja ympyrän säteen suhteena

360^{\circ}=2\pi \text{ rad}

36 0 ​ \circ ​ ​ = 2 π r a d

180^{\circ}=\pi \text{ rad}

18 0 ​ \circ ​ ​ = π r a d

Kulma radiaaneina

Esimerkki

Määritä radiaaneina

90^{\circ}, \ 45^{\circ} \text{ ja } 330 ^{\circ}

9 0 ​ \circ ​ ​, 4 5 ​ \circ ​ ​ j a 33 0 ​ \circ ​ ​

180^{\circ} = \pi \ \text{rad}

18 0 ​ \circ ​ ​ = π r a d

90^{\circ} =\dfrac{ \pi}{2} \ \text{rad}

9 0 ​ \circ ​ ​ = \frac{​ π ​ ​}{​ 2 ​} r a d

45^{\circ} =\dfrac{ \pi}{4} \ \text{rad}

4 5 ​ \circ ​ ​ = \frac{​ π ​ ​}{​ 4 ​} r a d

180^{\circ} = \pi \text{ rad}

18 0 ​ \circ ​ ​ = π r a d

1^{\circ}= \dfrac{\pi}{180} \text{ rad}

1 ​ \circ ​ ​ = \frac{​ π ​ ​}{​ 1 8 0 ​} r a d

330^{\circ}=330 \cdot \dfrac{\pi}{180} \text{ rad}

33 0 ​ \circ ​ ​ = 330 \cdot \frac{​ π ​ ​}{​ 1 8 0 ​} r a d

330^{\circ}=\dfrac{11\pi}{6} \text{ rad}

33 0 ​ \circ ​ ​ = \frac{​ 1 1 π ​ ​}{​ 6 ​} r a d

\qquad ||:2

∣ ∣ : 2

\qquad ||:2

∣ ∣ : 2

\qquad ||:180

∣ ∣ : 180

\qquad ||\cdot 330

∣ ∣ \cdot 330

Esimerkki

Määritä asteina 3 ja 0,5

\pi \ \text{rad}=180^{\circ}

π r a d = 18 0 ​ \circ ​ ​

1 \text{ rad}= \ \dfrac{180}{\pi}^{\circ}

1 r a d = \frac{​ 1 8 0 ​ ​}{​ π ​} ​ \circ ​ ​

\qquad ||:\pi

∣ ∣ : π

\qquad ||\cdot 3

∣ ∣ \cdot 3

3 \text{ rad}=\ \dfrac{540}{\pi}^{\circ}

3 r a d = \frac{​ 5 4 0 ​ ​}{​ π ​} ​ \circ ​ ​

1 \text{ rad}=\ \dfrac{180}{\pi}^{\circ}

1 r a d = \frac{​ 1 8 0 ​ ​}{​ π ​} ​ \circ ​ ​

\qquad ||:2

∣ ∣ : 2

0,5 \text{ rad}= \ \dfrac{90}{\pi}^{\circ}

0, 5 r a d = \frac{​ 9 0 ​ ​}{​ π ​} ​ \circ ​ ​

3 \text{ rad}\approx 171,9^{\circ}

3 r a d \approx 171, 9 ​ \circ ​ ​

0,5 \text{ rad} \approx 28,6^{\circ}

0, 5 r a d \approx 28, 6 ​ \circ ​ ​

Yksikköympyrä

Trigonometriset funktiot voidaan määritellä yleisemmin yksikköympyrän avulla.

Huomataan, että yksikköympyrän kehäpisteen koodinaatit voidaan ilmaista sinin ja kosinin avulla.

P(\cos \alpha, \sin \alpha)

P (cos α, sin α)

P(x, \ y)

P (x, y)

Esimerkki

Määritä yksikköympyrän avulla

\sin 30^{\circ}, \ \cos 60^{\circ}

\sin 30^{\circ}, \ \cos 60^{\circ}

\text{ ja } \sin 135^{\circ}

\text{ ja } \sin 135^{\circ}

Ratkaisu

\sin 30^{\circ}\approx 0,5

\sin 30^{\circ}\approx 0,5

\cos 60^{\circ}\approx 0,5

\cos 60^{\circ}\approx 0,5

\sin 135^{\circ}\approx 0,71

\sin 135^{\circ}\approx 0,71

Sinin symmetria

Kosinin parillisuus

Sinin symmetria

\sin \alpha = \sin(180^{\circ}-\alpha)

sin α = sin (18 0 ​ \circ ​ ​ - α)

\cos \alpha=\cos (-\alpha)

cos α = cos (- α)

Jaksollisuus

\sin \alpha = \sin (\alpha + n \cdot 360^{\circ}), \ n=0, \pm 1, \pm 2 \ldots

sin α = sin (α + n \cdot 36 0 ​ \circ ​ ​), n = 0, \pm 1, \pm 2 \dots

\cos \alpha = \cos (\alpha + n \cdot 360^{\circ}), \ n=0, \pm 1, \pm 2 \ldots

cos α = cos (α + n \cdot 36 0 ​ \circ ​ ​), n = 0, \pm 1, \pm 2 \dots

Sini- ja kosinifunktion kuvaajat

Tangenttifunktio

\sin \alpha = y

sin α = y

\cos \alpha = x

cos α = x

\tan \alpha=\dfrac{y}{x}

tan α = \frac{​ y ​ ​}{​ x ​}

\tan \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

tan α = \frac{​ sin α ​ ​}{​ cos α ​}

Esimerkki

Määritä yksikköympyrän avulla

\text{a) } \sin (-130^{\circ}), \ \text{b) } \cos \dfrac{3 \pi}{2},

a) sin (- 13 0 ​ \circ ​ ​), b) cos \frac{​ 3 π ​ ​}{​ 2 ​},

\sin (-130^{\circ}) \approx -0,8

sin (- 13 0 ​ \circ ​ ​) \approx - 0, 8

\pi \text{ rad} = 180^{\circ}

π r a d = 18 0 ​ \circ ​ ​

\dfrac{3\pi }{2} \text{ rad}= 270^{\circ}

\frac{​ 3 π ​ ​}{​ 2 ​} r a d = 27 0 ​ \circ ​ ​

\cos 270^{\circ}\approx 0

cos 27 0 ​ \circ ​ ​ \approx 0

a-kohta

b-kohta

\pi \text{ rad} = 180^{\circ}

π r a d = 18 0 ​ \circ ​ ​

\tan 30^{\circ}=\dfrac{\sin 30^{\circ}}{\cos 30^{\circ}}

tan 3 0 ​ \circ ​ ​ = \frac{​ sin 3 0 ​ \circ ​ ​ ​ ​}{​ cos 3 0 ​ \circ ​ ​ ​}

\dfrac{\pi}{6} \text{ rad} = 30^{\circ}

\frac{​ π ​ ​}{​ 6 ​} r a d = 3 0 ​ \circ ​ ​

\tan \dfrac{\pi}{6}

tan \frac{​ π ​ ​}{​ 6 ​}

Esimerkki

Määritä yksikköympyrän avulla

Ratkaisu

\cos 30^{\circ}=0,87

cos 3 0 ​ \circ ​ ​ = 0, 87

\sin 30^{\circ}=0,50

sin 3 0 ​ \circ ​ ​ = 0, 50

\tan 30^{\circ}=\dfrac{0,50}{0,87}

tan 3 0 ​ \circ ​ ​ = \frac{​ 0 , 5 0 ​ ​}{​ 0 , 8 7 ​}

\tan 30^{\circ} \approx 0,57

tan 3 0 ​ \circ ​ ​ \approx 0, 57

Esimerkki

Millaisia arvoja lausekkeet voivat saada?

\text{a) }1+\sin x

a) 1 + sin x

\text{b) }-1+2\cos x

b) - 1 + 2 cos x

Ratkaisu

\text{a) }

a)

0\leq1+\sin x\leq 2

0 \leq 1 + sin x \leq 2

-1 \leq \sin x \leq 1

- 1 \leq sin x \leq 1

, joten

\text{b) }

b)

-1 \leq \cos x \leq 1

- 1 \leq cos x \leq 1

-2 \leq 2\cos x \leq 2

- 2 \leq 2 cos x \leq 2

, joten

-3 \leq -1+2\cos x \leq 1

- 3 \leq - 1 + 2 cos x \leq 1

. Nyt