Radiaanit

\color{Salmon}\alpha=\dfrac{\color{Orange}b}{\color{CornflowerBlue}r}
α=​r​​b​​

Kulma radiaaneina määritellään ympyräkaaren pituuden ja ympyrän säteen suhteena

360^{\circ}=2\pi \text{ rad}
360​∘​​=2π rad
180^{\circ}=\pi \text{ rad}
180​∘​​=π rad

Kulma radiaaneina

Esimerkki

Määritä radiaaneina

90^{\circ}, \ 45^{\circ} \text{ ja } 330 ^{\circ}
90​∘​​, 45​∘​​ ja 330​∘​​
180^{\circ} = \pi \ \text{rad}
180​∘​​=π rad
90^{\circ} =\dfrac{ \pi}{2} \ \text{rad}
90​∘​​=​2​​π​​ rad
45^{\circ} =\dfrac{ \pi}{4} \ \text{rad}
45​∘​​=​4​​π​​ rad
180^{\circ} = \pi \text{ rad}
180​∘​​=π rad
1^{\circ}= \dfrac{\pi}{180} \text{ rad}
1​∘​​=​180​​π​​ rad
330^{\circ}=330 \cdot \dfrac{\pi}{180} \text{ rad}
330​∘​​=330⋅​180​​π​​ rad
330^{\circ}=\dfrac{11\pi}{6} \text{ rad}
330​∘​​=​6​​11π​​ rad
\qquad ||:2
∣∣:2
\qquad ||:2
∣∣:2
\qquad ||:180
∣∣:180
\qquad ||\cdot 330
∣∣⋅330

Esimerkki

Määritä asteina 3 ja 0,5

\pi \ \text{rad}=180^{\circ}
π rad=180​∘​​
1 \text{ rad}= \ \dfrac{180}{\pi}^{\circ}
1 rad= ​π​​180​​​∘​​
\qquad ||:\pi
∣∣:π
\qquad ||\cdot 3
∣∣⋅3
3 \text{ rad}=\ \dfrac{540}{\pi}^{\circ}
3 rad= ​π​​540​​​∘​​
1 \text{ rad}=\ \dfrac{180}{\pi}^{\circ}
1 rad= ​π​​180​​​∘​​
\qquad ||:2
∣∣:2
0,5 \text{ rad}= \ \dfrac{90}{\pi}^{\circ}
0,5 rad= ​π​​90​​​∘​​
3 \text{ rad}\approx 171,9^{\circ}
3 rad≈171,9​∘​​
0,5 \text{ rad} \approx 28,6^{\circ}
0,5 rad≈28,6​∘​​

Yksikköympyrä

Trigonometriset funktiot voidaan määritellä yleisemmin yksikköympyrän avulla.

Huomataan, että yksikköympyrän kehäpisteen koodinaatit voidaan ilmaista sinin ja kosinin avulla.

P(\cos \alpha, \sin \alpha)
P(cosα,sinα)
P(x, \ y)
P(x, y)

=

Esimerkki

Määritä yksikköympyrän avulla

\sin 30^{\circ}, \ \cos 60^{\circ}
sin30∘, cos60∘\sin 30^{\circ}, \ \cos 60^{\circ}
\text{ ja } \sin 135^{\circ}
 ja sin135∘\text{ ja } \sin 135^{\circ}

Ratkaisu

\sin 30^{\circ}\approx 0,5
sin30∘≈0,5\sin 30^{\circ}\approx 0,5
\cos 60^{\circ}\approx 0,5
cos60∘≈0,5\cos 60^{\circ}\approx 0,5
\sin 135^{\circ}\approx 0,71
sin135∘≈0,71\sin 135^{\circ}\approx 0,71

Sinin symmetria

Kosinin parillisuus

Kosinin parillisuus

Sinin symmetria

\sin \alpha = \sin(180^{\circ}-\alpha)
sinα=sin(180​∘​​−α)
\cos \alpha=\cos (-\alpha)
cosα=cos(−α)

Jaksollisuus

\sin \alpha = \sin (\alpha + n \cdot 360^{\circ}), \ n=0, \pm 1, \pm 2 \ldots
sinα=sin(α+n⋅360​∘​​), n=0,±1,±2…
\cos \alpha = \cos (\alpha + n \cdot 360^{\circ}), \ n=0, \pm 1, \pm 2 \ldots
cosα=cos(α+n⋅360​∘​​), n=0,±1,±2…

Sini- ja kosinifunktion kuvaajat

Tangenttifunktio

\sin \alpha = y
sinα=y
\cos \alpha = x
cosα=x
\tan \alpha=\dfrac{y}{x}
tanα=​x​​y​​
\tan \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
tanα=​cosα​​sinα​​

Esimerkki

Määritä yksikköympyrän avulla

\text{a) } \sin (-130^{\circ}), \ \text{b) } \cos \dfrac{3 \pi}{2},
a) sin(−130​∘​​), b) cos​2​​3π​​,
\sin (-130^{\circ}) \approx -0,8
sin(−130​∘​​)≈−0,8
\pi \text{ rad} = 180^{\circ}
π rad=180​∘​​
\dfrac{3\pi }{2} \text{ rad}= 270^{\circ}
​2​​3π​​ rad=270​∘​​
\cos 270^{\circ}\approx 0
cos270​∘​​≈0

a-kohta

b-kohta

\pi \text{ rad} = 180^{\circ}
π rad=180​∘​​
\tan 30^{\circ}=\dfrac{\sin 30^{\circ}}{\cos 30^{\circ}}
tan30​∘​​=​cos30​∘​​​​sin30​∘​​​​
\dfrac{\pi}{6} \text{ rad} = 30^{\circ}
​6​​π​​ rad=30​∘​​
\tan \dfrac{\pi}{6}
tan​6​​π​​

Esimerkki

Määritä yksikköympyrän avulla

Ratkaisu

\cos 30^{\circ}=0,87
cos30​∘​​=0,87
\sin 30^{\circ}=0,50
sin30​∘​​=0,50
\tan 30^{\circ}=\dfrac{0,50}{0,87}
tan30​∘​​=​0,87​​0,50​​
\tan 30^{\circ} \approx 0,57
tan30​∘​​≈0,57

Esimerkki

Millaisia arvoja lausekkeet voivat saada?

\text{a) }1+\sin x
a) 1+sinx
\text{b) }-1+2\cos x
b) −1+2cosx

Ratkaisu

\text{a) }
a) 
0\leq1+\sin x\leq 2
0≤1+sinx≤2
-1 \leq \sin x \leq 1
−1≤sinx≤1

, joten

\text{b) }
b) 
-1 \leq \cos x \leq 1
−1≤cosx≤1
-2 \leq 2\cos x \leq 2
−2≤2cosx≤2

, joten

-3 \leq -1+2\cos x \leq 1
−3≤−1+2cosx≤1

. Nyt

MAB8/3: Trigonometriset funktiot

By Opetus.tv

MAB8/3: Trigonometriset funktiot

  • 3,616

More from Opetus.tv