Mama, m'he caigut en un forat negre

Relativitat especial i general

Finestres al cel
Planes de Son, Juny-Juliol 2026

vELOCItat D'ESCAPament.

Old school

E_p=G\frac{Mm}{r}

E_k = 1/2 mv^2

Energía potencial gravitatòria

Energía cinètica

v_{esc}=\sqrt{2GM/r}

r_s = 2GM/c^2

Radi de Schwarzschild

vELOCItat D'ESCAPament.

Old school

radi de schwarzschild

Radi de Schwarzschild

Es defineix com la mida que hauria de tenir un objecte perquè la velocitat d'escapament de la seva superfície sigui superior a la de la llum.
Només depèn de la seva massa.

\text{Terra: } r_s = 9\text{ mm}

\text{Sol: } r_s = 3\text{ km}

\text{Sagitario A*: } r_s = 18 R_\odot

\text{Deneb: } r_s = 44 \text{ km}

\text{Humà: } r_s = 10^{-25} \text{ metres}

D'on venen Aquests monstres?

Observem forats negres estelars (5 - 100 masses solars)

I forats negres supermassius (> 100 000 Msun)

D'on venen Aquests monstres?

El problema d'aquesta explicació és que només serveix per explicar l'origen dels forats negres estel·lars. Els forats negres supermassius (SMBH) haurien de crear-se a partir de la fusió de forats negres més petits, però mai s'han observat forats negres de massa intermèdia.

SMBH

Ja tenim centenars de candidats!

D'on venen Aquests monstres?

Relativitat ESpecial

Per a entendre bé aquests objectes, no ens val amb la mecànica clàssica. Hem d'aprendre una mica de relativitat.

A la fi del segle XIX s'estava coent una revolució en la física. Maxwell havia unificat les lleis de l'electromagnetisme i aquestes eren incoherents amb la mecànica Newtoniana. A més, Michelson i Morley havien demostrat que la llum es propagava en el buit...

Relativitat ESpecial

La velocitat de la llum al buit (299 792 458 m/s) és una constant universal, independent de l'observador.

Què implica aquesta afirmació?

Relativitat Especial. Dilatació temporal

\tau= \frac{2d}c

Temps propi (observador al tren)

t= \frac{2D}c

Temps laboratori (observador al terra)

D^2 = d^2 + (vt/2)^2

t^2 = \frac{4(d^2 + v^2t^2/4)}{c^2} = \frac{4d^2}{c^2} + \frac{v^2t^2}{c^2}

\tau^2

t^2 = \tau^2 + \frac{v^2t^2}{c^2}

t^2 (1 - \frac{v^2}{c^2})= \tau^2

\tau = t \times \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}

Relativitat Especial.

Temps propi i massa en repòs

Quan les velocitats són molt elevades, fent servir el Factor de Lorentz (γ):

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}

\tau = 1/\gamma \cdot t

m_{ap} = \gamma \cdot m

Temps propi:

Massa aparent:

L_0 = \gamma \cdot L

Longitut pròpia:

Relativitat Especial.

Distorsió espacial

Relativitat Especial. Causalitat i cons de llum

Dos objectes només poden estar connectats causalment si un està en el con de llum de l'altre.

És a dir, els events fora del con de llum no poden afectar-nos.

Relativitat General. Una nova gravitació

F=m_ia

F=G\frac{Mm_g}{r^2}

Massa inercial:

Masa gravitacional:

g = G\frac M{r^2}

Aceleracion de la gravedad

m_g = m_i

Relativitat General. Una nova gravitació

m_g = m_i

Principi d'Equivalència

En un sistema de referència inercial local, les lleis de la física són les mateixes que en un sistema inercial en absència de camp gravitatori

Relativitat General. Sistema de referència inercial local

Sistema de referència inercial local: no es noten les forces de marea

Relativitat General. Curvatura del llum

Relativitat General. Dilatació temporal degut a la gravetat

La curvatura de la llum implica que també els rellotges canviaran.

t_{lab}=\frac \tau{\sqrt{1-r_s/r}}

Relativitat General. Les equacions d'einstein

R^{\alpha \beta} - \frac{1}{2}g^{\alpha \beta}R = \frac{8\pi G}{c^4} T^{\alpha \beta}

Deformación del espacio-tiempo

Masa-energía del sistema

Relativitat General. tots els elements d'una teoria perfecta

1. Resoldre un problema obert:

Va explicar la desviació de la precesió de mercuri

2. Fer una predicció falsable:

Va predir la desviació de les estrelles al voltant de masses grans com el sol. Es va comprovar amb l'Experiment d'Eddington al següent eclipsi total de sol.

Relativitat General. tots els elements d'una teoria perfecta

3. Fer-nos somiar:

L'Einstein va identificar la naturalesa del espai-temps com un medi on podria haver-hi ones, hipotetitzant l'existència d'ones gravitacionals.

Relativitat General. tots els elements d'una teoria perfecta

Els forats negres a

Relativitat general

Primera solució a l'ecuació de la relativitat general:

Métrica de Schwarzschild

Bàsicament és la solució que s'obté al colocar una massa al buit.

c^2 {d \tau}^{2} = \left(1 - \frac{r_s}{r} \right) c^2 dt^2 - \left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1} dr^2 - r^2 \left(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\varphi^2\right)

Què passa si caic dins?

En funció de la massa, forces de marea brutals, capaces de destruir una estrella
Dilatació temporal virtualment infinita. Un observador extern percep que el temps de caiguda és infinit
Un temible mur de foc?
Una biblioteca?