Middelværdier på mangfoldigheder

Pernille E.H. Hansen

University of Copenhagen

Indhold

Motivation
Mangfoldigheder
Fréchet middelværdien
Den generaliserede centrale middelværdisætning
Diffusionsmiddelværdien

Middelværdi på $ \mathbb{R}^n $

Y_1,...,Y_N\overset{\text{iid}}{\sim} Y

\rightarrow \mu = \mathbb{E}[Y] = \int y dP_Y(y)

\rightarrow \mu_N=\frac1N\sum_{i=1}^NY_i

Eksisterer entydigt hvis $\mathbb{E}[|Y|]<\infty $
Store tals lov $$ \mu_N \overset{a.s.}{\to} \mu$$
Den centrale grænseværdisætning $$\sqrt{N}\mu_N \to \mathcal{N}(\mu,\Sigma)$$

\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N X_i

$X_1 ,...,X_N\overset{\text{iid}}{\sim} X \in M :$

$ Y :\Omega \to \mathbb{R}^n $

$ M $ ikke lineært rum

$X: \Omega\to M :$

\mathbb{E}[X]

Ikke lineært data?

Mål:

Udvikle statistiske begreber og metoder for ikke lineært data
Beskrive deres opførsel (eksistens, entydighed, konsistens, osv.)

Medicinsk billedanalyse

Alzheimer's Ændringer i
Corpus Callosum (CC)

Hypotese: (AD) kan blive opdaget fra form på (CC).

Mål:

Bruge ikke lineær statistik til at diagnosticere (AD)
Skelne mellem undertyper

Mangfoldigheder

En topologisk mangfoldighed $M$ af dimension $ n$ er et topologisk rum der opfylder

$ M$ er Hausdorff
$ M $ er 2. countable
$ M $ er lokalt homeomorf til $ \mathbb{R}^n$

En glat mangfoldighed er udstryret med et atlas $ (U_\alpha,\varphi_\alpha )$ med glatte transitions afbildninger.

\varphi_\alpha

\varphi_\beta

U_\alpha

U_\beta

\mathbb{R}^n

Mangfoldigheder

Til ethvert punkt $ x\in M $ findes et tangetrum $T_xM\cong \mathbb{R}^n $.

En Riemannsk metrik er en samling af indre produkter $\langle \cdot,\cdot\rangle_x $.

Den nedarvede metrik på $ M $ er da

$$ dist(x,y) = \inf \{ L(\gamma) | \gamma(0)=x,\gamma(1)=y \} $$

Længden af en kurve $ \gamma:[0,1] \to M $$$L(\gamma) = \int^1_0 || \gamma'(t) ||_{\gamma(t)}dt$$

Geodæter er lokalt længdeminimerende kurver.

$ x$

$ y $

Mangfoldigheder

For sandsynlighedsrum $ (\Omega, \mathcal{B}, P) $ kan vi betragte stokastiske variabel $ X: \Omega \to M $

Afbildningen $p_X: M\to [0,1] $ er en tæthed for $ X$ mht. volumemålet $ dM$ hvis

$$ P(x\in B) = \int_B p_X(y) d M(y)$$

for alle $ B\in \mathcal{B}(M) $.

For $ f:M \to \mathbb{R}^d $ er $f(X):\Omega \to \mathbb{R}^d$ er reel stok. variabel, med middelværdi

$$ \mathbb{E}[f(X)] = \int f(y) p_X(y) dM(y)$$

Mangfoldigheder

Fréchet middelværdien

Middelværdien $ \mathbb{E}[X] $ af $ X: \Omega \to \mathbb{R}^n $ opfylder

= \arg\min_{y\in \mathbb{R}} \int dist(x,y)^2 dP_X(x)

\mathbb{E}[X] = \arg\min_{y\in \mathbb{R}} Var(X,y)

Definition:

E = \arg\min_{y\in\mathcal{M}} \mathbb{E}[\text{dist}(y,X)^2]

Det Riemannske center af en stok. variabel $ X:\Omega \to M$ er

Hvis $ M = \{ \mu \} $, siger vi at $ \mu$ er Fréchet middelværdien af $ X $.

Eksistens og entydighed

Eksistens er ikke garanteret
Entydighed er bestemt heller ikke!

Sætning [Karcher & Kendall]

Der eksisterer en entydig Fréchet middelværdi i $ B = B(y,r) \subset M$, hvis $ X:\Omega \to M $ kun har masse i $ B$ og B opfylder:

Entydige geodæter
Begrænset krumning og radius

Estimator

For $ X_1,...,X_N\overset{\text{iid}}{\sim} X$ defineres den empiriske Fréchet funktionen

$$ F_N(y) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N dist(y,X_i)^2$$

og dermed de empiriske Fréchet middelværdier

$$ E_N = \arg\min_{y\in M} F_N(y) $$

Den generaliserede centrale grænseværdisætning

På $ \mathbb{R}^m $

\sqrt{n}\mu_n \overset{\mathcal{D}}{\to} \mathcal{N}(\mu,\Sigma)

CLT:

For $ X_1,...,X_N\overset{iid}{\sim} X $ på $ \mathbb{R}^m $ med $ \mathbb{E}[X] = \mu $ og $ \mu_N = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N X_i $

På Riemannsk mangfoldiged $ M $

n^{\frac{1}{2(k+1)}}\mu_n \overset{\mathcal{D}}{\to} \mathcal{L}

GCLT:

For $ X_1,...,X_N\overset{iid}{\sim} X $ på $ M $ med $ E = \{\mu\} $ og estimator $ \mu_N \in E$

$ k\geq 0 $

Konsekvenser:

Regression (normalfordelt fejlled)
Konfidensinterval

Eksempel

Entydig Fréchet m. $ \mu $

med rate $ \sqrt{n}$

\alpha < 0.56:

Entydig Fréchet m. $ \mu $

med rate $ n^{1/6} $

\alpha \simeq 0.56:

Uendeligt mange m.

\alpha > 0.56:

*Stephan Huckemann & Benjamin Eltzner (2018)

\mu

P(X = \mu) = 1-\alpha

P(X\in \mathbb{L}) = \alpha

under polskifte

Magnetiske nordpolspositioner

150 dataset bestående af den magnetiske nordpolsposition
Empirisk Fréchet middelværdi for $ k\in [1,1000] $
Varians udregnes og skaleres med $k$

Diffusions-middelværdier

Brownian motion på mangfoldigheder

p(x,y,t) \approx \text{ "sandsynlighed"}

\text{for at ramme }y \text{ til tid }t\text{ med start i }x

B_t = y

For $ X_1,...,X_N \overset{iid}{\sim} X \in M $

$$ \mu = \arg\max_{y\in M} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \ln(p(y,X_i,t))$$

mest sandsynlighed start af $ (B_t)$

En Brownian motion på $ M $ er en Markov process $ (B_t )$ med tæthed $ p(x,y,t) $ hvor $p$ er varmeledningsfunktion på $ M$

Diffusions $t$-middelværdier

Fix $t>0$. Diffusions $t$-middelværdier $E_t(X)$ af en stoc. variabel $X: \Omega \to M$ er de værdier der minimerer log-likelihood funktionen,

$$ L_t(y) = \mathbb{E}[-\ln p(y,X,t)]$$

Altså,

$$ E_t(X) = \arg\min_{y\in M} \mathbb{E}[-\ln p(y,X,t)]$$

På $\mathbb{R}^n$?

Varmeledningsfunktionen på $\mathbb{R}^n$ for ethvert $t>0$ er

p(x,y,t) =\frac{1}{(4\pi t)^{m/2}} e^{\frac{-\text{dist}_{\mathbb{R}^m}(x,y)^2}{4t}}

E_t(X)=\arg\min_{y\in \mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} \frac{2}{n}\ln(4\pi t) - \left(\frac{\text{dist}_{\mathbb{R}^n}(x,y)^2}{4t}\right)d\mathbb{P}_X(x)

= \arg\min_{y\in \mathbb{R}^n} \int_{\R^n} \text{dist}_{\mathbb{R}^n}(x,y)^2 d\mathbb{P}_X(x) = \mathbb{E}[X]

For $ X:\Omega \to \mathbb{R}^n $, har vi

Eksempel på Sfæren

Betragt $X: \Omega \to \mathcal{S}^2 $:

For $t>0$ og $\alpha\in [0,1/2]$, hvad er diffusions $t$-middelværdierne?

\mu

-\mu

P(X = -\mu) = \alpha

P(X = \mu) = 1-\alpha

\mu

-\mu

P(X = \mu) = 1-\alpha

P(X = -\mu) = \alpha

For $m\geq 2$ og $t>0.838$ eksisterer $\alpha(t)$ så

Fréchet middelværdierne

$\alpha = 0$: Entydig
$ \alpha>0$: Uendelig mange

Diffusion $t$-middelværdierne

$ \alpha \leq \alpha(t) $: Entydig diffusions $t$-middelværdi i $\mu$
$ \alpha > \alpha(t)$ : Uendeligt mange

Derudover, $\alpha(t) \to 1/2$ når $t\to \infty$

Estimator

For $ X_1,...,X_N\overset{\text{iid}}{\sim} X$ defineres den empiriske Diffusions $t$-funktion

$$ L_{t,N}(y) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N -\ln(p(y,X_i,t))$$

og dermed de empiriske Diffusions $t$-middelværdier

$$ E_{t,N} = \arg\min_{y\in M} L_{t,N}(y) $$

n^{\frac{1}{2(k+1)}}\mu_n \overset{\mathcal{D}}{\to} \mathcal{L}

GCLT:

For $ X_1,...,X_N\overset{iid}{\sim} X $ på $ M $ med $ E_t = \{\mu_t\} $ og estimator $ \mu_{t,N} \in E_{t,N}$

\mu

-\mu

P(X = \mu) = 1-\alpha

P(X = -\mu) = \alpha

For $t>0.838$ eksisterer $\alpha(t)$ så

Diffusion $t$-middelværdierne

$ \alpha \leq \alpha(t) $: Entydig diffusions $t$-middelværdi
$ \alpha > \alpha(t)$ : Uendeligt mange

$ \alpha < \alpha(t) $: rate $ \sqrt{n} $
$ \alpha = \alpha(t)$ : rate $ n^{1/6} $

under polskifte

Magnetiske nordpolspositioner

Middelværdier på mangfoldigheder

Indhold

Middelværdi på \( \mathbb{R}^n \)

Ikke lineært data?

Medicinsk billedanalyse

Mangfoldigheder

Mangfoldigheder

Mangfoldigheder

Mangfoldigheder

Fréchet middelværdien

Eksistens og entydighed

Estimator

Den generaliserede centrale grænseværdisætning

På \( \mathbb{R}^m \)

CLT:

På Riemannsk mangfoldiged \( M \)

GCLT:

Eksempel

Diffusions-middelværdier

Brownian motion på mangfoldigheder

Diffusions \(t\)-middelværdier

På \(\mathbb{R}^n\)?

Eksempel på Sfæren

Fréchet middelværdierne

Diffusion \(t\)-middelværdierne

Estimator

GCLT:

Diffusion \(t\)-middelværdierne

Tak for jeres opmærksomed!