Indhold

Motivation
Mangfoldigheder
Fréchet middelværdien
Den generaliserede centrale middelværdisætning
Diffusionsmiddelværdien

Middelværdi på $\mathbb{R}^n$

Y_1,...,Y_N\overset{\text{iid}}{\sim} Y

Y_1,...,Y_N\overset{\text{iid}}{\sim} Y

\rightarrow \mu = \mathbb{E}[Y] = \int y dP_Y(y)

\rightarrow \mu = \mathbb{E}[Y] = \int y dP_Y(y)

\rightarrow \mu_N=\frac1N\sum_{i=1}^NY_i

\rightarrow \mu_N=\frac1N\sum_{i=1}^NY_i

Eksisterer entydigt hvis $\mathbb{E}[|Y|]<\infty$
Store tals lov $\mu_N \overset{a.s.}{\to} \mu$
Den centrale grænseværdisætning $\sqrt{N}\mu_N \to \mathcal{N}(\mu,\Sigma)$

\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N X_i

\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N X_i

$X_1 ,...,X_N\overset{\text{iid}}{\sim} X \in M :$

$Y :\Omega \to \mathbb{R}^n$

$M$ ikke lineært rum

$X: \Omega\to M :$

\mathbb{E}[X]

\mathbb{E}[X]

Ikke lineært data?

Mål:

Udvikle statistiske begreber og metoder for ikke lineært data
Beskrive deres opførsel (eksistens, entydighed, konsistens, osv.)

Medicinsk billedanalyse

Alzheimer's Ændringer i
Corpus Callosum (CC)

Hypotese: (AD) kan blive opdaget fra form på (CC).

Mål:

Bruge ikke lineær statistik til at diagnosticere (AD)
Skelne mellem undertyper

Mangfoldigheder

En topologisk mangfoldighed $M$ af dimension $n$ er et topologisk rum der opfylder

$M$ er Hausdorff
$M$ er 2. countable
$M$ er lokalt homeomorf til $\mathbb{R}^n$

En glat mangfoldighed er udstryret med et atlas $(U_\alpha,\varphi_\alpha )$ med glatte transitions afbildninger.

\varphi_\alpha

\varphi_\alpha

\varphi_\beta

\varphi_\beta

U_\alpha

U_\alpha

U_\beta

U_\beta

M

M

\mathbb{R}^n

\mathbb{R}^n

\mathbb{R}^n

\mathbb{R}^n

Mangfoldigheder

Til ethvert punkt $x\in M$ findes et tangetrum $T_xM\cong \mathbb{R}^n$ .

En Riemannsk metrik er en samling af indre produkter $\langle \cdot,\cdot\rangle_x$ .

Den nedarvede metrik på $M$ er da

$dist(x,y) = \inf \{ L(\gamma) | \gamma(0)=x,\gamma(1)=y \}$

Længden af en kurve $\gamma:[0,1] \to M$ $L(\gamma) = \int^1_0 || \gamma'(t) ||_{\gamma(t)}dt$

Geodæter er lokalt længdeminimerende kurver.

$x$

$y$

Mangfoldigheder

For sandsynlighedsrum $(\Omega, \mathcal{B}, P)$ kan vi betragte stokastiske variabel $X: \Omega \to M$

Afbildningen $p_X: M\to [0,1]$ er en tæthed for $X$ mht. volumemålet $dM$ hvis

$P(x\in B) = \int_B p_X(y) d M(y)$

for alle $B\in \mathcal{B}(M)$ .

For $f:M \to \mathbb{R}^d$ er $f(X):\Omega \to \mathbb{R}^d$ er reel stok. variabel, med middelværdi

$\mathbb{E}[f(X)] = \int f(y) p_X(y) dM(y)$

Mangfoldigheder

Fréchet middelværdien

Middelværdien $\mathbb{E}[X]$ af $X: \Omega \to \mathbb{R}^n$ opfylder

= \arg\min_{y\in \mathbb{R}} \int dist(x,y)^2 dP_X(x)

= \arg\min_{y\in \mathbb{R}} \int dist(x,y)^2 dP_X(x)

\mathbb{E}[X] = \arg\min_{y\in \mathbb{R}} Var(X,y)

\mathbb{E}[X] = \arg\min_{y\in \mathbb{R}} Var(X,y)

Definition:

E = \arg\min_{y\in\mathcal{M}} \mathbb{E}[\text{dist}(y,X)^2]

E = \arg\min_{y\in\mathcal{M}} \mathbb{E}[\text{dist}(y,X)^2]

Det Riemannske center af en stok. variabel $X:\Omega \to M$ er

Hvis $M = \{ \mu \}$ , siger vi at $\mu$ er Fréchet middelværdien af $X$ .

Eksistens og entydighed

Eksistens er ikke garanteret
Entydighed er bestemt heller ikke!

Sætning [Karcher & Kendall]

Der eksisterer en entydig Fréchet middelværdi i $B = B(y,r) \subset M$ , hvis $X:\Omega \to M$ kun har masse i $B$ og B opfylder:

Entydige geodæter
Begrænset krumning og radius

Estimator

For $X_1,...,X_N\overset{\text{iid}}{\sim} X$ defineres den empiriske Fréchet funktionen

$F_N(y) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N dist(y,X_i)^2$

og dermed de empiriske Fréchet middelværdier

$E_N = \arg\min_{y\in M} F_N(y)$

Den generaliserede centrale grænseværdisætning

På $\mathbb{R}^m$

\sqrt{n}\mu_n \overset{\mathcal{D}}{\to} \mathcal{N}(\mu,\Sigma)

\sqrt{n}\mu_n \overset{\mathcal{D}}{\to} \mathcal{N}(\mu,\Sigma)

CLT:

For $X_1,...,X_N\overset{iid}{\sim} X$ på $\mathbb{R}^m$ med $\mathbb{E}[X] = \mu$ og $\mu_N = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N X_i$

På Riemannsk mangfoldiged $M$

n^{\frac{1}{2(k+1)}}\mu_n \overset{\mathcal{D}}{\to} \mathcal{L}

n^{\frac{1}{2(k+1)}}\mu_n \overset{\mathcal{D}}{\to} \mathcal{L}

GCLT:

For $X_1,...,X_N\overset{iid}{\sim} X$ på $M$ med $E = \{\mu\}$ og estimator $\mu_N \in E$

$k\geq 0$

Konsekvenser:

Regression (normalfordelt fejlled)
Konfidensinterval

Eksempel

Entydig Fréchet m. $\mu$

med rate $\sqrt{n}$

\alpha < 0.56:

\alpha < 0.56:

Entydig Fréchet m. $\mu$

med rate $n^{1/6}$

\alpha \simeq 0.56:

\alpha \simeq 0.56:

Uendeligt mange m.

\alpha > 0.56:

\alpha > 0.56:

*Stephan Huckemann & Benjamin Eltzner (2018)

\mu

\mu

P(X = \mu) = 1-\alpha

P(X = \mu) = 1-\alpha

P(X\in \mathbb{L}) = \alpha

P(X\in \mathbb{L}) = \alpha

under polskifte

Magnetiske nordpolspositioner

150 dataset bestående af den magnetiske nordpolsposition
Empirisk Fréchet middelværdi for $k\in [1,1000]$
Varians udregnes og skaleres med $k$

Diffusions-middelværdier

Brownian motion på mangfoldigheder

p(x,y,t) \approx \text{ "sandsynlighed"}

p(x,y,t) \approx \text{ "sandsynlighed"}

\text{for at ramme }y \text{ til tid }t\text{ med start i }x

\text{for at ramme }y \text{ til tid }t\text{ med start i }x

x

x

B_t = y

B_t = y

For $X_1,...,X_N \overset{iid}{\sim} X \in M$

$\mu = \arg\max_{y\in M} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \ln(p(y,X_i,t))$

mest sandsynlighed start af $(B_t)$

En Brownian motion på $M$ er en Markov process $(B_t )$ med tæthed $p(x,y,t)$ hvor $p$ er varmeledningsfunktion på $M$

Diffusions $t$ -middelværdier

Fix $t>0$ . Diffusions $t$ -middelværdier $E_t(X)$ af en stoc. variabel $X: \Omega \to M$ er de værdier der minimerer log-likelihood funktionen,

$L_t(y) = \mathbb{E}[-\ln p(y,X,t)]$

Altså,

$E_t(X) = \arg\min_{y\in M} \mathbb{E}[-\ln p(y,X,t)]$

På $\mathbb{R}^n$ ?

Varmeledningsfunktionen på $\mathbb{R}^n$ for ethvert $t>0$ er

p(x,y,t) =\frac{1}{(4\pi t)^{m/2}} e^{\frac{-\text{dist}_{\mathbb{R}^m}(x,y)^2}{4t}}

p(x,y,t) =\frac{1}{(4\pi t)^{m/2}} e^{\frac{-\text{dist}_{\mathbb{R}^m}(x,y)^2}{4t}}

E_t(X)=\arg\min_{y\in \mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} \frac{2}{n}\ln(4\pi t) - \left(\frac{\text{dist}_{\mathbb{R}^n}(x,y)^2}{4t}\right)d\mathbb{P}_X(x)

E_t(X)=\arg\min_{y\in \mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} \frac{2}{n}\ln(4\pi t) - \left(\frac{\text{dist}_{\mathbb{R}^n}(x,y)^2}{4t}\right)d\mathbb{P}_X(x)

= \arg\min_{y\in \mathbb{R}^n} \int_{\R^n} \text{dist}_{\mathbb{R}^n}(x,y)^2 d\mathbb{P}_X(x) = \mathbb{E}[X]

= \arg\min_{y\in \mathbb{R}^n} \int_{\R^n} \text{dist}_{\mathbb{R}^n}(x,y)^2 d\mathbb{P}_X(x) = \mathbb{E}[X]

For $X:\Omega \to \mathbb{R}^n$ , har vi

Eksempel på Sfæren

Betragt $X: \Omega \to \mathcal{S}^2$ :

For $t>0$ og $\alpha\in [0,1/2]$ , hvad er diffusions $t$ -middelværdierne?

\mu

\mu

-\mu

-\mu

P(X = -\mu) = \alpha

P(X = -\mu) = \alpha

P(X = \mu) = 1-\alpha

P(X = \mu) = 1-\alpha

\mu

\mu

-\mu

-\mu

P(X = \mu) = 1-\alpha

P(X = \mu) = 1-\alpha

P(X = -\mu) = \alpha

P(X = -\mu) = \alpha

For $m\geq 2$ og $t>0.838$ eksisterer $\alpha(t)$ så

Fréchet middelværdierne

$\alpha = 0$ : Entydig
$\alpha>0$ : Uendelig mange

Diffusion $t$ -middelværdierne

$\alpha \leq \alpha(t)$ : Entydig diffusions $t$ -middelværdi i $\mu$
$\alpha > \alpha(t)$ : Uendeligt mange

Derudover, $\alpha(t) \to 1/2$ når $t\to \infty$

Estimator

For $X_1,...,X_N\overset{\text{iid}}{\sim} X$ defineres den empiriske Diffusions $t$ -funktion

$L_{t,N}(y) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N -\ln(p(y,X_i,t))$

og dermed de empiriske Diffusions $t$ -middelværdier

$E_{t,N} = \arg\min_{y\in M} L_{t,N}(y)$

n^{\frac{1}{2(k+1)}}\mu_n \overset{\mathcal{D}}{\to} \mathcal{L}

n^{\frac{1}{2(k+1)}}\mu_n \overset{\mathcal{D}}{\to} \mathcal{L}

GCLT:

For $X_1,...,X_N\overset{iid}{\sim} X$ på $M$ med $E_t = \{\mu_t\}$ og estimator $\mu_{t,N} \in E_{t,N}$

\mu

\mu

-\mu

-\mu

P(X = \mu) = 1-\alpha

P(X = \mu) = 1-\alpha

P(X = -\mu) = \alpha

P(X = -\mu) = \alpha

For $t>0.838$ eksisterer $\alpha(t)$ så

Diffusion $t$ -middelværdierne

$\alpha \leq \alpha(t)$ : Entydig diffusions $t$ -middelværdi
$\alpha > \alpha(t)$ : Uendeligt mange

$\alpha < \alpha(t)$ : rate $\sqrt{n}$
$\alpha = \alpha(t)$ : rate $n^{1/6}$

under polskifte

Magnetiske nordpolspositioner

Middelværdier på mangfoldigheder

Indhold

Middelværdi på $\mathbb{R}^n$

Ikke lineært data?

Medicinsk billedanalyse

Mangfoldigheder

Mangfoldigheder

Mangfoldigheder

Mangfoldigheder

Fréchet middelværdien

Eksistens og entydighed

Estimator

Den generaliserede centrale grænseværdisætning

På $\mathbb{R}^m$

CLT:

På Riemannsk mangfoldiged $M$

GCLT:

Eksempel

Diffusions-middelværdier

Brownian motion på mangfoldigheder

Diffusions $t$ -middelværdier

På $\mathbb{R}^n$ ?

Eksempel på Sfæren

Fréchet middelværdierne

Diffusion $t$ -middelværdierne

Estimator

GCLT:

Diffusion $t$ -middelværdierne

Tak for jeres opmærksomed!