算法大地

完全命中

@piepie01 @Arvin127

Outline

• Introduction
• Dynamic Programming
• Max flow
• 2-SAT
• Topological Sort
• Tree
• Greedy

做學問的人

做學問的人

Introduction

: There exist positive constants 

such that

for all

and

Introduction

: There exist positive constants 

such that

for all

and

• Most matter : time
• Times counting

Time -- selection sort

1. Pick the largest one.
2. Put it to the end of the list.

n items

Time -- selection sort

1. Pick the largest one.
2. Put it to the end of the list.

n items

Time -- selection sort

1. Pick the largest one.
2. Put it to the end of the list.

n items

Time -- selection sort

1. Pick the largest one.
2. Put it to the end of the list.

n items

Dynamic Programming

橘子的近親 -- 柳丁(暫定)

DP -- what really matter

• 將問題切成很多小問題
• 每個小問題會用到以前解過的小問題

DP -- Orange

• Weights : 1, 3, 5
• 什麼橘子都沒有，我們能擺出甚麼組合

weight

能擺成

DP -- Orange

• Weights : 1, 3, 5
• 什麼橘子都沒有，我們能擺出甚麼組合
• 1進來了

weight

能擺成

DP -- Orange

• Weights : 1, 3, 5
• 什麼橘子都沒有，我們能擺出甚麼組合
• 1進來了
• 3進來了

weight

能擺成

等等，什麼意思

weight

能擺成

• 我現在有1和3

• 表上的訊息代表什麼？

DP -- Orange

• Weights : 1, 3, 5
• 什麼橘子都沒有，我們能擺出甚麼組合
• 1進來了
• 3進來了
• 5進來了

weight

能擺成

DP -- Orange

• 有表了，然後呢？

weight

能擺成

• Sum = 1 + 3 + 5 = 9
• Mean = 9 / 2 = 4.5
• Answer = ?

Time -- Orange

• 來談談時間吧

weight

能擺成

• n = Sum
• 一個數字進來，更新表格：n
• 最多會有幾個數字：n
• 從平均尋找答案的最多次數：n / 2

Time -- Orange

• n = Sum
• 一個數字進來，更新表格：n
• 最多會有幾個數字：n
• 從平均尋找答案的最多次數：n / 2
• Time : 

Greedy

橘子的近親 -- 柳丁(暫定)

Trivial Solution

• 讓兩兩和最大的值最小
• 先排序~
• 第一個配最後一個、第二個配倒數第二個......
• 最佳解?

Proof

• 定義:假設隨意一種配對中，兩兩和最大值為m
• 目標:任意的配對方式，都可以透過某種轉換變成我想的解答，而不增加m的值
• 符合這個目標，我們的證明就完成啦~

Proof

• 假設我們有六個數字，排序為a1, a2, a3, b3, b2, b1
• 我們的配對為(a1, b1), (a2, b2), (a3, b3)

Proof

• 現在將六個數字重新隨機配對，假如我發現某一個配對為(ai, aj)
• 一定有另一個配對為(bx, by) -- (想一下~~~

Proof

• 現在將六個數字重新隨機配對，假如我發現某一個配對為(ai, aj)
• 一定有另一個配對為(bx, by) -- (想一下~~~

• 但是，與其擺成(ai, aj), (bx, by)，擺成(ai, bx), (aj, by), m值可能比較小
• 從表上想個例子

Proof

• 剩下的配對有可能是甚麼
• (a1, b3), (a3, b1) VS (a1, b1), (a3, b3)

2-SAT

貫徹愛與真實的正義

Intro to 2-SAT

• 小團體?
• 生活化
• 愛恨情仇

Intro to 2-SAT

• 現在你想辦一個班遊，但是你喜歡班上的某些人，也不喜歡班上的某些人

(小明or小美)  and  (不要小王or要小惠)  and  (...or...)......

This is 2-SAT

(x or y)  and  (not z or b)  and  (...or...)......

都市更新

(x or y)  and  (not z or b)  and  (...or...)......

• 起點 -> 終點
• 第一條路 : r1, r2
• 第二條路 : r3, r4
• 我們的式子 : (r1 and r2) or (r3 and r4)
• 我們不一樣

都市更新 之 直接解答

(x or y)  and  (not z or b)  and  (...or...)......

• (r1 and r2) or (r3 and r4)
• (r1 or r3) and (r1 or r4) and (r2 or r3) and (r2 or r4)

Tree

庭院深深深幾點

英文教室

• 根：root
• 葉子：leaf
• 深度：depth
• 子樹：subtree
• 節點：node

英文教室

• 根：root
• 葉子：leaf
• 深度：depth
• 子樹：subtree
• 節點：node

英文教室

• 根：root
• 葉子：leaf
• 深度：depth
• 子樹：subtree
• 節點：node

英文教室

• 根：root
• 葉子：leaf
• 深度：depth
• 子樹：subtree
• 節點：node

0

1

1

2

2

3

3

英文教室

• 根：root
• 葉子：leaf
• 深度：depth
• 子樹：subtree
• 節點：node

英文教室

• 根：root
• 葉子：leaf
• 深度：depth
• 子樹：subtree
• 節點：node

必勝法

猜拳贏就贏啦(?

Why?

不負責任證明：

        因為每個人在每個節點會有最佳解，

        所以一開始就可以知道誰會贏啦～～～

Why?

負責任證明：

        現在有黃隊VS綠隊，假設黃隊先走

Why?

負責任證明：

    現在有黃隊VS綠隊，假設黃隊先走

Tip：

    從葉子們往上看

    走任一條路徑的時候，誰會贏

In this case：

    深度是偶數的黃色贏；反之綠色贏

搞定葉子了，接下來呢？

Why?

負責任證明：

    現在有黃隊VS綠隊，假設黃隊先走

Tip：

    從葉子們往上看

    走任一條路徑的時候，誰會贏

In this case：

    深度是偶數的黃色贏；反之綠色贏

節點上重要的是：

    誰在選擇？

誰來選擇？(黃隊先走)

• 黃隊選擇
• 選哪都輸
• 這個節點贏的是綠色

誰來選擇？(黃隊先走)

• 綠隊選擇
• 選右邊會贏
• 這個節點贏的是綠色

誰來選擇？(黃隊先走)

• 黃隊選擇
• 選哪都輸
• 這個節點贏的是綠色

Why?

負責任證明：

    現在有黃隊VS綠隊，假設黃隊先走

Tip：

    從葉子們往上看

    走任一條路徑的時候，誰會贏

In this case：

    深度是偶數的黃色贏；反之綠色贏

節點上重要的是：

    誰在選擇？

結論：

    綠隊是後手，在這棵樹上，後手贏

Topological Sort

派派的派 > 派 > 派派

英文教室

• 相鄰： adjacent
•  環：cycle
• 分支度：degree
• 有向無環圖：DAG

(Directed Acyclic Graph)

英文教室

• 相鄰： adjacent
•  環：cycle
• 分支度：degree
• 有向無環圖：DAG

(Directed Acyclic Graph)

is adjacent to

英文教室

• 相鄰： adjacent
•  環：cycle
• 分支度：degree
• 有向無環圖：DAG

(Directed Acyclic Graph)

cycle: 可以跟著箭頭走到自己。

英文教室

• 相鄰： adjacent
•  環：cycle
• 分支度：degree
• 有向無環圖：DAG

(Directed Acyclic Graph)

in-degree: 有幾個進來的。

out-degree: 有幾個出去的。

degree = in-degree + out-degree

英文教室

• 相鄰： adjacent
•  環：cycle
• 分支度：degree
• 有向無環圖：DAG

(Directed Acyclic Graph)

DAG：

1. 圖的邊有箭頭 (directed graph)

2. 沒有環 (Acyclic)

拓樸排序

找出一個合理的大小關係

假設...

如果 A 比 B 還要大是

所以...

•  A > C
•  B > C
•  A > D
•  A > E
•  C > E
•  B > A

A

B

E

D

C

Step 1 : 找出所有 in-degree

A

B

E

D

C

0

1

2

2

1

Step 2 :    把in-deg=0的拔出來放到隊伍。

A

B

E

D

C

1

2

2

1

B

0

1

Step 3

重複 Step 2

A

E

D

C

2

1

B

1

1

0

A

Step 2-2 ...

0

E

D

C

1

0

B

0

A

What about multiple in-deg=0?

因為CD還沒有分出高下！

那接下來呢？

•  等到剩下一個in-deg=0的點

•  隨便選一個in-deg=0

那接下來呢？

•  等到剩下一個in-deg=0的點

•  隨便選一個in-deg=0

E

D

C

1

1

B

A

Step 2-3 ...(如果多加一個E > D

0

C

E

D

1

B

A

Step 2-4 ...

0

C

E

D

B

A

Step 2-5 - 終於排完了！

C

E

D

那接下來呢？

•  等到剩下一個in-deg=0的點

•  隨便選一個in-deg=0

 隨便選一個in-deg=0

如果接下來都沒有提示，

其實就是先假裝它們已經有順序了！

Excercise

派派說要先找in-deg=0的點，

會不會本來就沒有這個東西呢?

不會！

拓樸排序不能有環(Acyclic)!

那麼沒有環代表什麼呢 :) ?

Flow

讓小河流一會

假設現在有一張圖...

s

t

S： 水源

T： 目標地點

邊：水管

邊上面的數字： 水管的容量

7

7

10

Maximum Flow Problem

要如何控制水流，
才能讓到T的水最大呢？

How 2 Solve ?

自己去讀演算法啦!

Any question?(頒獎~~~

投影片連結

第三名 -- 六小

分數：44.2

第二名 -- 一小

分數：45.3

第一名 -- 八小

分數：46